第六章 实数导学案
图片预览
文档简介
第6章 实数
6.1平方根（1）
【学习目标】
1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性
2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根
【学习重点】
了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根
【学习难点】理解算术平方根的双重非负性
［探究研讨］
【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形的面积 1 9 16 36
边长
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）
自学教材，回答问题：
1. 一般地，如果一个___ 数x的平方等于a，即=a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作=
2.由以上定义可知如果=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？
①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ）
③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ）
3.3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下
4.试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
【活动2】例：求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2) ；(3) 0.0001 ；⑷ 0；
［跟踪训练］
1.非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，的算术平方根____，0的算术平方根是____
2. 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
3.若是49的算术平方根，则=（ ）
A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
4.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 .
［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［跟踪训练］
1.
2.的算术平方根是_____,
3.若，则的算术平方根是（ ）
A. 49 B. 53 C.7 D .
【活动3】思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？
总结：1.正数有 的算术平方根
0的算术平方根是
负数
2.对于：a 0
0
［跟踪训练］
1．下列哪些数有算术平方根？
0.03， -， π， 0， （-3）2，（-1）3
2.下列各式中无意义的是（ ）
A． B． C. D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： ⑴ ⑵
5.若，则a= ,b= , ．
［提升能力］
1.一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍.
3.如图：
那么，有意义吗？
4.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.若，求的值。
［反思归纳］
算术平方根的定义、表示方法和性质
求一个非负数的算术平方根
的双重非负性
6.1平方根（2）
【学习目标】
1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数
3.能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感
【学习重点】能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小
【学习难点】通过估算能比较类似（a不是完全平方数）的数的大小
［知识回顾］
1、算术平方根的意义及表示方法。
2、说出下列各数的算术平方根。
100 0.0049 42
［探究研讨］
某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没 ( http: / / www.21cnjy.com )有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.
【活动1】
怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。
问题1：画出拼成的大正方形的草图。
问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）
讨论：有多大？
思考：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？
⑴ 121 ⑵ ⑶ 7 ⑷ 8
你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 的数，近似值为 （精确到0.1）
2.估算 的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“＞”把这些数字连接起来
总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根 （也较大/较小）
比较大小： ⑴ ⑵
⑶ ⑷-
【活动2】
例3
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,她可以怎样剪
若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2她又该怎样剪 只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗
［提升能力］
1.比较与的大小
2.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.
(1)试估算这块荒地的宽约为多少米 (误差小于1米)
(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少 (精确到0.01)
［反思归纳］
当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求的近似值
通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大
体会数学来自生活，又用之生活的思想
6.1平方根（3）
【学习目标】
1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题
3.体会从一般到特殊的数学思想方法
【学习重点】平方根的概念和表示方法
【学习难点】求一个非负数的平方根
【学习过程】
［知识回顾］
1.∵（ ）2=81 ∴81的算术平方根是 （对算术平方根概念的回忆）
2.求下列各数的算术平方根
⑴ ⑵ 0.25 ⑶ 225 ⑷ （-5）2
（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）
3.求下列各式的值
⑴ ⑵ ⑶ -
（为例5做准备）
［探究研讨］
【问题1】
①如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）
②填表
x2 1 9 16
x
总结平方根的概念：
例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根
⑴ 100 ⑵ ⑶ 0.25
你还能举出其它的例子吗？
【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？
，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）
【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？
总结平方根的性质：
正数有 个平方根，它们
0的平方根是
负数
【问题4】用什么方法来表示 ( http: / / www.21cnjy.com )正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？
被开方数a为什么要大于或等于0
在数字下面的横线上，表示该数的平方根
400 0.81 2
［巩固练习］
⑴ 10的平方根可表示为 ；算术平方根为 ；负的平方根可表示为
⑵（-4）2的平方根可表示为 ；算术平方根可表示为 ；负的平方根克表示为
例5：说出下列各式表示的意义，并求值
⑴ ⑵- ⑶±
［拓展延伸］
课本P751-3题
判断下列说法是否正确
⑴5是25的算术平方根 （ ）
⑵是的一个平方根 （ ）
⑶的平方根是－4 （ ）
⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）
2、⑴⑵⑶⑷
3、若，则，的平方根是
［能力提升］
x为何值时，下列各式有意义？
2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.
⑴-64 ⑵0 ⑶144 ⑷ ⑸ (- ) 2 ⑹
3. 如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数
4. 解方程 3x2-27=0
5.讨论：（1）（）2＝ ，（）2＝ ；
（2）＝ ，＝ ，＝ ；
通过计算你有什么发现？
［反思归纳］
⒈本节课学习内容
⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）
⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）
⑶平方根的性质
（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）
⑷平方根的表示方法：（a≥0）（不能丢符号）
6.2立方根
【学习目标】
1.了解立方根的概念，能用根号表示一个 ( http: / / www.21cnjy.com )数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系
2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别
3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。
【学习重点】立方根的概念和求法。
【学习难点】 立方根与平方根的区别。
【学习过程】
［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［探究研讨］
【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学方根（x2=a）有什么区别？
【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识
立方根（三次方根）的概念
什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？
立方根有什么性质？与平方根有什么不同？
数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？
［随学随练］
1.8有 个立方根，是 ，可以表示为 ，即： =
（考察数的立方根的性质和表示方法）
2.如果x3=8，那么x=
3.立方根等于本身的数为
4.-3是 的平方根，是 的立方根
5.表示，并求出下列数的立方根
⑴ -10 ⑵ ⑶ 0 ⑷-0.008
6.下列说法中不正确的是（ ）
（A） 8的立方根是2 （B） -8的立方根是-2
（C） 的立方根为2 （D ）125的立方根为±5
7. 的绝对值是（ ）
（A） 3 （B）-3 （C） （D） -
【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［巩固练习］
求下列各式的值
⑴ － ⑵+
【活动4】探究
因为所以
因为，所以
你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？
［巩固练习］
同学甲在计算上面例题的第2小题时，用了这种方法：=－=－5，你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？
同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：=－ =－
你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？
同学丙认为把立方根的性质=－，扩展到平方根中也会有类似的性质，即 =－，你认为正确吗？为什么？
2. 计算－+
［提升能力］
1. 当 时，有意义；当 时，有意义
2.下列等式成立的是（ ）
（A） =1 （B） =15 （C） =－5 （D）=－3
3.的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是
4.下列计算或命题中正确的有（ ）
①±4都是64的立方根 ②=x ③ 的立方根是3 ④=±4
（A） 1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个
5.求下列各式中的x
⑴8x3+125=0 ⑵（x+3）3+27=0
6.已知16x3=9，y3=8，求x+y的值
7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根
8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？
⑴（）3= （ ）3= （）3=
⑵= = =
你的发现是：
回忆：平方根有类似的性质吗？
［反思归纳］
立方根的概念、表示方法和性质
体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别
两个规律性的计算=－；（）3=
体会从特殊---一般----特殊的数学学习方法
6.3实数（1）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的概念
2.会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小
3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义
【学习重点】正确理解实数的概念
【学习难点】理解实数的概念; 体会数轴上的点与实数是一一对应的.
【学习过程】
【知识回顾】
1、什么是有理数 如何分类
2、是这样的数么
【合作交流，解读探究】
【活动1】
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
， ， ， ， ，
归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书)
讨论：是不是有理数呢？为什么？
归纳：不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以不是有理数.
是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.
定义：无限不循环小数又叫无理数，也是无理数
结论： 有理数和无理数统称为实数
学生举例：有理数 无理数
整理：
试探练习，回授调节：
1.填空： 在-19，3.878787…，，，，1.414，，，这些数中，
有理数是 ；
无理数是 ；
2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)是无理数. （ ）
(4)是无理数. （ ）
(5)带根号的数都是无理数. （ ）
(6)有理数都是实数. （ ）
【活动2】
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究
1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
2.
总结：
①事实上，每一个无理数都可以用数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
讨论： 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
【学以致用】
1、 的相反数是 ，绝对值
2、绝对值等于 的数是 ， 的平方是
3、
4、求绝对值
5.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
6.下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是0
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
【能力提升 】：
1、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
实数集合{ }
2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D.
3、已知四个命题，正确的有（ ）
（1）有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数
（3）无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数
（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
4、若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【总结反思 】：
无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数
2．开不尽方的数
3．有一定的规律，但不循环的无限小数
注意:带根号的数不一定是无理数
6.3实数（2）
【学习目标】
了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。
会用计算器进行实数的运算。
3. 进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。
4. 发展学生的类比与归纳能力。
【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题
【学习难点】能准确无误地进行实数运算
【学习过程】
【知识回顾】
1. 每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .
实数与数轴上的点就是 的， ( http: / / www.21cnjy.com )即每一个实数都可以用 上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 .
2、的相反数是 ．－π的相反数是 ．0的相反数是 ．
∣－∣= ，∣－π∣= ，∣0∣= ．
【合作交流，解读探究】
【活动1】
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、平方差公式、完全平方公式
4、有理数的混合运算顺序
【活动2】
例2、计算下列各式的值
（1）（+）- （2）+
总结： 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数）
（1）、+ （2）、
总结： 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
【拓展延伸】
1.计算：
(1)2－3； (2).
.
（3）
（4）
提示 （3）式的结构是平方差的形式 （4）式的结构是完全平方的形式
总结： 在实数范围内，乘法公式仍然适用
【能力提升】
1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。
（1）＋π＋（精确到0.01）；
（2）
（3）
（4）
(5)（－2）3×.
2.化简：进一步体会数形结合的思想。
（1） 已知实数在数轴上的位置如下，
化简
（2）、已知、、在数轴上如图，化简
应用：提升学生解决问题的能力。
如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是，，， .（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？ （3）将这个四边形向上平移个单位长度， 四边形的四个顶点的坐标变为多少？
【反思与归纳】
1.本节课学习的内容主要是实数的运算
2.学习方法：类比法
3.主要体现的数学思想：数形结合 类比
具有双重非负性
b
a
0
O’
O
O
O
O
3
2
4
5
1
6.1平方根（1）
【学习目标】
1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性
2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根
【学习重点】
了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根
【学习难点】理解算术平方根的双重非负性
［探究研讨］
【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形的面积 1 9 16 36
边长
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）
自学教材，回答问题：
1. 一般地，如果一个___ 数x的平方等于a，即=a，那么这个______叫做a的_________．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作=
2.由以上定义可知如果=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？
①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ）
③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ）
3.3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下
4.试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
【活动2】例：求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2) ；(3) 0.0001 ；⑷ 0；
［跟踪训练］
1.非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，的算术平方根____，0的算术平方根是____
2. 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
3.若是49的算术平方根，则=（ ）
A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
4.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 .
［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［跟踪训练］
1.
2.的算术平方根是_____,
3.若，则的算术平方根是（ ）
A. 49 B. 53 C.7 D .
【活动3】思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？
总结：1.正数有 的算术平方根
0的算术平方根是
负数
2.对于：a 0
0
［跟踪训练］
1．下列哪些数有算术平方根？
0.03， -， π， 0， （-3）2，（-1）3
2.下列各式中无意义的是（ ）
A． B． C. D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： ⑴ ⑵
5.若，则a= ,b= , ．
［提升能力］
1.一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍.
3.如图：
那么，有意义吗？
4.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.若，求的值。
［反思归纳］
算术平方根的定义、表示方法和性质
求一个非负数的算术平方根
的双重非负性
6.1平方根（2）
【学习目标】
1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数
3.能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感
【学习重点】能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小
【学习难点】通过估算能比较类似（a不是完全平方数）的数的大小
［知识回顾］
1、算术平方根的意义及表示方法。
2、说出下列各数的算术平方根。
100 0.0049 42
［探究研讨］
某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没 ( http: / / www.21cnjy.com )有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.
【活动1】
怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。
问题1：画出拼成的大正方形的草图。
问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）
讨论：有多大？
思考：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？
⑴ 121 ⑵ ⑶ 7 ⑷ 8
你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 的数，近似值为 （精确到0.1）
2.估算 的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“＞”把这些数字连接起来
总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根 （也较大/较小）
比较大小： ⑴ ⑵
⑶ ⑷-
【活动2】
例3
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,她可以怎样剪
若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2她又该怎样剪 只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗
［提升能力］
1.比较与的大小
2.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。
3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.
(1)试估算这块荒地的宽约为多少米 (误差小于1米)
(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少 (精确到0.01)
［反思归纳］
当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求的近似值
通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大
体会数学来自生活，又用之生活的思想
6.1平方根（3）
【学习目标】
1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题
3.体会从一般到特殊的数学思想方法
【学习重点】平方根的概念和表示方法
【学习难点】求一个非负数的平方根
【学习过程】
［知识回顾］
1.∵（ ）2=81 ∴81的算术平方根是 （对算术平方根概念的回忆）
2.求下列各数的算术平方根
⑴ ⑵ 0.25 ⑶ 225 ⑷ （-5）2
（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）
3.求下列各式的值
⑴ ⑵ ⑶ -
（为例5做准备）
［探究研讨］
【问题1】
①如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）
②填表
x2 1 9 16
x
总结平方根的概念：
例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根
⑴ 100 ⑵ ⑶ 0.25
你还能举出其它的例子吗？
【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？
，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）
【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？
总结平方根的性质：
正数有 个平方根，它们
0的平方根是
负数
【问题4】用什么方法来表示 ( http: / / www.21cnjy.com )正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？
被开方数a为什么要大于或等于0
在数字下面的横线上，表示该数的平方根
400 0.81 2
［巩固练习］
⑴ 10的平方根可表示为 ；算术平方根为 ；负的平方根可表示为
⑵（-4）2的平方根可表示为 ；算术平方根可表示为 ；负的平方根克表示为
例5：说出下列各式表示的意义，并求值
⑴ ⑵- ⑶±
［拓展延伸］
课本P751-3题
判断下列说法是否正确
⑴5是25的算术平方根 （ ）
⑵是的一个平方根 （ ）
⑶的平方根是－4 （ ）
⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）
2、⑴⑵⑶⑷
3、若，则，的平方根是
［能力提升］
x为何值时，下列各式有意义？
2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.
⑴-64 ⑵0 ⑶144 ⑷ ⑸ (- ) 2 ⑹
3. 如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数
4. 解方程 3x2-27=0
5.讨论：（1）（）2＝ ，（）2＝ ；
（2）＝ ，＝ ，＝ ；
通过计算你有什么发现？
［反思归纳］
⒈本节课学习内容
⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）
⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）
⑶平方根的性质
（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）
⑷平方根的表示方法：（a≥0）（不能丢符号）
6.2立方根
【学习目标】
1.了解立方根的概念，能用根号表示一个 ( http: / / www.21cnjy.com )数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系
2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别
3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。
【学习重点】立方根的概念和求法。
【学习难点】 立方根与平方根的区别。
【学习过程】
［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［探究研讨］
【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学方根（x2=a）有什么区别？
【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识
立方根（三次方根）的概念
什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？
立方根有什么性质？与平方根有什么不同？
数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？
［随学随练］
1.8有 个立方根，是 ，可以表示为 ，即： =
（考察数的立方根的性质和表示方法）
2.如果x3=8，那么x=
3.立方根等于本身的数为
4.-3是 的平方根，是 的立方根
5.表示，并求出下列数的立方根
⑴ -10 ⑵ ⑶ 0 ⑷-0.008
6.下列说法中不正确的是（ ）
（A） 8的立方根是2 （B） -8的立方根是-2
（C） 的立方根为2 （D ）125的立方根为±5
7. 的绝对值是（ ）
（A） 3 （B）-3 （C） （D） -
【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
［巩固练习］
求下列各式的值
⑴ － ⑵+
【活动4】探究
因为所以
因为，所以
你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？
［巩固练习］
同学甲在计算上面例题的第2小题时，用了这种方法：=－=－5，你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？
同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：=－ =－
你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？
同学丙认为把立方根的性质=－，扩展到平方根中也会有类似的性质，即 =－，你认为正确吗？为什么？
2. 计算－+
［提升能力］
1. 当 时，有意义；当 时，有意义
2.下列等式成立的是（ ）
（A） =1 （B） =15 （C） =－5 （D）=－3
3.的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是
4.下列计算或命题中正确的有（ ）
①±4都是64的立方根 ②=x ③ 的立方根是3 ④=±4
（A） 1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个
5.求下列各式中的x
⑴8x3+125=0 ⑵（x+3）3+27=0
6.已知16x3=9，y3=8，求x+y的值
7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根
8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？
⑴（）3= （ ）3= （）3=
⑵= = =
你的发现是：
回忆：平方根有类似的性质吗？
［反思归纳］
立方根的概念、表示方法和性质
体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别
两个规律性的计算=－；（）3=
体会从特殊---一般----特殊的数学学习方法
6.3实数（1）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的概念
2.会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小
3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义
【学习重点】正确理解实数的概念
【学习难点】理解实数的概念; 体会数轴上的点与实数是一一对应的.
【学习过程】
【知识回顾】
1、什么是有理数 如何分类
2、是这样的数么
【合作交流，解读探究】
【活动1】
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
， ， ， ， ，
归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书)
讨论：是不是有理数呢？为什么？
归纳：不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以不是有理数.
是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.
定义：无限不循环小数又叫无理数，也是无理数
结论： 有理数和无理数统称为实数
学生举例：有理数 无理数
整理：
试探练习，回授调节：
1.填空： 在-19，3.878787…，，，，1.414，，，这些数中，
有理数是 ；
无理数是 ；
2.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)是无理数. （ ）
(4)是无理数. （ ）
(5)带根号的数都是无理数. （ ）
(6)有理数都是实数. （ ）
【活动2】
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究
1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
2.
总结：
①事实上，每一个无理数都可以用数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
讨论： 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
【学以致用】
1、 的相反数是 ，绝对值
2、绝对值等于 的数是 ， 的平方是
3、
4、求绝对值
5.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
6.下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是0
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
【能力提升 】：
1、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
实数集合{ }
2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D.
3、已知四个命题，正确的有（ ）
（1）有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数
（3）无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数
（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
4、若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【总结反思 】：
无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数
2．开不尽方的数
3．有一定的规律，但不循环的无限小数
注意:带根号的数不一定是无理数
6.3实数（2）
【学习目标】
了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。
会用计算器进行实数的运算。
3. 进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。
4. 发展学生的类比与归纳能力。
【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题
【学习难点】能准确无误地进行实数运算
【学习过程】
【知识回顾】
1. 每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .
实数与数轴上的点就是 的， ( http: / / www.21cnjy.com )即每一个实数都可以用 上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 .
2、的相反数是 ．－π的相反数是 ．0的相反数是 ．
∣－∣= ，∣－π∣= ，∣0∣= ．
【合作交流，解读探究】
【活动1】
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、平方差公式、完全平方公式
4、有理数的混合运算顺序
【活动2】
例2、计算下列各式的值
（1）（+）- （2）+
总结： 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数）
（1）、+ （2）、
总结： 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
【拓展延伸】
1.计算：
(1)2－3； (2).
.
（3）
（4）
提示 （3）式的结构是平方差的形式 （4）式的结构是完全平方的形式
总结： 在实数范围内，乘法公式仍然适用
【能力提升】
1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。
（1）＋π＋（精确到0.01）；
（2）
（3）
（4）
(5)（－2）3×.
2.化简：进一步体会数形结合的思想。
（1） 已知实数在数轴上的位置如下，
化简
（2）、已知、、在数轴上如图，化简
应用：提升学生解决问题的能力。
如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是，，， .（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？ （3）将这个四边形向上平移个单位长度， 四边形的四个顶点的坐标变为多少？
【反思与归纳】
1.本节课学习的内容主要是实数的运算
2.学习方法：类比法
3.主要体现的数学思想：数形结合 类比
具有双重非负性
b
a
0
O’
O
O
O
O
3
2
4
5
1