(共33张PPT)
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
复习引入
顶点式：y=a(x-h)2+k，(a≠ 0)
回忆1：二次函数的顶点式是什么？
对称轴：x=h
顶点坐标：(h, k)
回忆2：我们从哪几个方面概括了它的性质？
开口方向
对称轴
顶点坐标
最 值
增减性
请说出 y=2(x-2)2+4性质
向上
x=2
(2，4)
当x=2时，y最小值=4
当x<2时，y随着x的增大而减小；
当x>2时，y随着x的增大而增大.
x=2
开口方向
对称轴
顶点坐标
最 值
增减性
复习引入
请说出一个以（1，-2）为顶点的二次函数解析式
y=a(x-1)2-2
例如：当a=-3时， y=-3(x-1)2-2
顶点式：y=a(x-h)2+k，(a≠ 0)
请说出 y=-3(x-1)2-2 性质
向下
x=1
(1，-2)
当x=1时，y最大值=-2
当x<1时，y随着x的增大而增大；
当x>1时，y随着x的增大而减小.
x=1
开口方向
对称轴
顶点坐标
最 值
增减性
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究二次函数 的图象和性质？
研究函数的一般步骤：
探究新知
下定义
画图象
观察图象
概括特征
问题：如何画二次函数 的图象？
列表
描点
连线
找不到对称轴
二次函数具有对称性，要对称着取点，在不知道函数对称轴的情况下，列表时取点就会非常困难。
寻求新的方法来研究二次函数一般式的性质
探究新知
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题 怎样将
化成 y=a(x-h)2+k 的形式？
用配方法把下列二次多项式化为 m(x+n)2+p 的形式：
(1) x2-6x+5； (2)-3x2+6x+1.
知识回顾
用配方法把下列二次多项式化为 m(x+n)2+p 的形式：
(1) x2-6x+5；
知识回顾
用配方法把下列二次多项式化为 m(x+n)2+p 的形式：
(2)-3x2+6x+1.
知识回顾
解：
解：
想一想：配方法的
基本步骤有哪些？
配 方
配方的基本步骤：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
知识点（1）
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
(顶点式)
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
现学现卖
一“提”
二“配”
三“化”
感悟总结
结论：若要求二次函数一般式的图象性质，我们可以先把一般式通过配方化为顶点式，再根据顶点式来回答性质
思考：总不会每一个一般式求求性质时，都得先化为顶点式吧？有没有其他的方法？
发现：变换前后a不变
我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式 y=a(x-h)2+k？
y=ax +bx+c
得出结论
一般地，二次函数y=ax2+bx+c 可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：
公式
知识点（2）
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
例 求抛物线 y=2x2+3x-5 的对称轴和顶点坐标
解:
典例精析
思考：不用配方法，你能把 y=2x2+3x-5 化为顶点式吗？
y=2x2+3x-5
知识点（3）
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
公式法
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
1、用公式求顶点坐标：
公式法
用公式法把一般式化为顶点式的步骤：
2、用a和顶点坐标，直接写出顶点式
P39练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
P39练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
解：
化为顶点式：
你能否把它直接化为顶点式？
P39练习
解：
化为顶点式：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
你能否把它直接化为顶点式？
P39练习
解：
化为顶点式：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
你能否把它直接化为顶点式？
P39练习
解：
化为顶点式：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
你能否把它直接化为顶点式？
回顾本节课的学习过程，你有什么收获或发现？
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)一般式如何化为顶点式？
(3)配方法的一般步骤是什么？
(4)如何用公式求一般式的顶点坐标？
课堂总结
课堂总结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
一提、二配、三化
课外作业
课本第41页习题22.1的第6、第7题。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学设计
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k。 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴。
教学内容
教学重点： 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴。 教学难点： 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k。
教学过程
一、复习旧知 1、复习上节课顶点式的解析式y=a(x-h)2+k 顶点坐标（h，k),对称轴x=h 2、我们从哪几个方面概括了它的性质？ 开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性 3、说出的性质 4、请说出一个以（1，-2）为顶点的二次函数解析式，说出它的性质 设计意图：让学生明白只要知道二次函数顶点坐标，再给出a的值，就可以直接写出二次函数顶点式。为本节课用公式法把二次函数一般式化为顶点式作铺垫。同时，复习二次函数的顶点式的性质，只要知道顶点式，就可以很快读出二次函数图象的性质。本节课在探究一般式的性质时，学生就容易想到把一般式化为顶点式就好了。 二、探究新知 探究二次函数y＝x2－6x＋21的图象和性质 师：回顾研究函数的一般步骤，学习了解析式，下一步做什么？（画图象） （下定义---画图象---观察图象---概括特征） 从而引入问题：如何画二次函数y＝x2－6x＋21的图象？ 设计意图：复习研究函数的一般步骤，学生发现无法找到上面函数的对称轴，从而无法顺利完成画图象，为研究新的方法探究二次函数一般式的图象的性质作铺垫。 引入新课：提出思考：我们已经知道二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质，那么能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质呢？这就要用到以前所学的配方法。 回顾配方法：用配方法把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式： (1) x2-6x+5； (2)-3x2+6x+1. 请学生代表讲解，并指出配方法的注意事项。在复习配方法的同时，为接下来由一般式配方成项点式做好知识基础。 思考1:如何将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式 （配方，化为顶点式) 板书：这是我们这节课要掌握的第一个知识点：把二次函数的一般式，通过配方，化为顶点式。 总结配方法的一般步骤：一提、二配、三化 问题1：你能说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 请学生代表回答： 答：对称轴是x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题2：二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题3：你能说y＝x2－6x＋21的增减性吗？． 现学现卖： 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标 学生代表解答并讲解。 解：y=2x -8x+7 = 2（x -4x）+7 =2（x -4x+4）-8+7 = 2（x-2） -1. 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）. 思考：上面我们将两个数字系数的一般式通过配方化为了顶点式，从而总结出来它的性质。所以，我们知道了，要求一般式的性质，我们可以先把它配方成顶点式，再说出它的性质。同时，我们发现，变化前后，a没有变。但同时，引入颖问：总不会每一个一般式，我们都得把它化为顶点式吧。有没有其他求一般式性质的方法？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax +bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式？ = 问题：二次函数y=ax +bx+c的图象特征。 （1）二次函数 y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=-，顶点坐标是为(-，) （3）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 最值：当a>0时，x=-,函数有最小值是： 当a＜0时，x=-,函数有最大值是： （5）增减性： ①若a＞0，当x>时，y随x的增大而增大； 当x<时，y随x的增大而减小。 ②若a＜0，当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大。 板书：这是我们这节课要掌握的第二个知识点：掌握直接求一般式的顶点坐标和对称轴的公式。 例 求抛物线 y=2x2+3x-5 的对称轴和顶点坐标 学生思考后，讲解方法。其他同学补充，老师规范。 追问：观察变形前后有什么想同点？学生发现变形前后a不变。师：能不能根据上面所求顶点坐标，直接把y=2x2+3x-5 化为顶点式？ 学生写出后，总结用公式法把二次函数一般式化为顶点式的方法。 三、课堂练习 课本39页练习题 四、课堂小结 教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： (1)本节课学了哪些内容？ (2)一般式如何化为顶点式？ (3)配方法的一般步骤是什么？ (4)如何用公式求一般式的顶点坐标？ 五、布置作业 课本第41页习题22.1的第6、第7题。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k。 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴。
课前学习任务
1、复习顶点式的解析式y=a(x-h)2+k 2、我们从哪几个方面概括了它的性质？ 3、说出的性质 4、请说出一个以（1，-2）为顶点的二次函数解析式，说出它的性质
课上学习任务
【学习任务一】 回顾研究函数的一般步骤，学习了解析式，下一步做什么？（画图象） （下定义---画图象---观察图象---概括特征） 回顾配方法：用配方法把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式： (1) x2-6x+5； (2)-3x2+6x+1. 【学习任务二】 1、将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。 2、说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标 3、二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2怎样平移得到的？ 4、用配方法求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标 5、概括二次函数y=ax +bx+c的图象特征 6、求抛物线 y=2x2+3x-5 的对称轴和顶点坐标 7、根据上面所求顶点坐标，直接把y=2x2+3x-5 化为顶点式 8、总结用公式法把二次函数一般式化为顶点式的方法 课堂小结 回顾本节课所学内容，谈谈你的收获： (1)本节课学了哪些内容？ (2)一般式如何化为顶点式？ (3)配方法的一般步骤是什么？ (4)如何用公式求一般式的顶点坐标？ 我的困惑
