课件27张PPT。24.1.4 圆周角（一）liudeguang1、复习提问：
（1）什么是圆心角？ （2）圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？ ∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
你知道∠ACB这一类的角名字吗？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。 圆周角的概念 ： 判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有
什么关系？
（1）当圆心在圆周角的一边上时，探究一：证明:(圆心在圆周角上) 结论：一条弧所对的圆周角等于
它所对圆心角的一半.COBA圆周角的关系.gsp2.当圆心在圆周角外部时结论： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 提示:能否转化为1的情况?过点A作直径AD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.∠BAD = ∠BOD,∠CAD = ∠COD,●ODBAC∠CAD- ∠BAD = ∠COD - ∠BOD, 结论： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 提示:能否转化为1的情况?过点A作直径AD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.∠BAD = ∠BOD,∠CAD = ∠COD,●ODBAC∠CAD+ ∠BAD = ∠COD + ∠BOD, 3.当圆心在圆周角内部时
圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
同弧所对的圆周角相等1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 推论：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径探究二：OABC２.９０°的圆周角所对的弦是否是直径？画板3
小结：（一）圆周角定理①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
②同弧所对的圆周角相等（二）推论：
① 半圆或直径所对的圆周角是直角。
②90°的圆周角所对的弦是圆的直径例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．例题例2.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．
解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，
∠AOB是圆心角．
又∵∠BAC=50°，∠ABC=47° ∴∠ACB=180°－(∠A＋∠B)
=180°－(50°＋47°)
=83°．∴ ∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．例题1.如图,在⊙O中,∠BOC =50°,求∠A的大小.练习2.试找出下图中
所有相等的圆周角。 练习3、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（2x+100）°和 （5x—30）°，求这条弧所对的
圆心角和圆周角的度数。 练习4、如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠BOC的度数。 练习５．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
６．一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
OADCB练习 (08福建龙岩)如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 . 走进中考（08湖南怀化）如图△内接于⊙O，点P是弧AC上任意一点（不与A,C重合），∠ABC=550,则∠POC的取值范围是________ 走进中考(08广东东莞/中山市)如图已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A BC=30°过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB= °． 走进中考(08湖北襄樊 )如图⊙O中，OA⊥BC，
∠CDA=250，则∠AOB的度数为___
走进中考（08辽宁沈阳）如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB ，垂足为 C，交 ⊙O于D点 ，点E 在 ⊙O上．
（1）若∠AOD=520 ，
求∠DEB 的度数；
（2）若OC=3 ，OA=5 ，
求 AB的长．
走进中考（08山东滨州）如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个走进中考（08年江苏镇江）推理运算如图，AB为直径，CD为弦，且AB⊥CD，垂足为H,
（1）∠OCD的平分线交⊙O于E，求证：E为弧
AB的中点；
（2）如果的半径为1， ，
①求O到弦AC的距离；
②填空：此时圆周上
存在 个点 到
直线AC的距离为 ．走进中考（08广东湛江） 25． 如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8，CD=24，
求⊙O的直径．E AB,CD是两条互相垂直的直径，AE,CF是互相垂直的弦，求证;AE=CF如图，AB为⊙O的直径，D为 AC弧的中点，DE⊥AB于点E，DE交AC于点F.BD交AC于G
求证：①AC=2DE；②AF=DF=FG
例题与练习G24.1.4 圆周角(一)
教学过程
知识与技能：理解圆周角的概念；掌握圆周角定理及其证明的思路．
过程与方法：通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法．
教学重点：本课教学重点是圆周角的概念和圆周角定理．
教学难点：对圆周角定理证明中所使用的转化方法的理解和掌握．
教学过程
1．什么叫圆心角．强调顶点在圆心的角的两边一定和圆相交．
2．叙述圆心角定理的内容．
如果把圆心角的顶点移动，就不再是圆心角了．当角的顶点移动到圆上时，如图7—92中，∠B1AC1的顶点在圆上，两边都不和圆相交；∠B2AC1的顶点在圆上，只有一边和圆相交；∠B2AC2顶点在圆上，两边都和圆相交，我们把顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．(写出课题)
学习新课
1．圆周角的定义顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．
从定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交．
观察图7—93中，哪些角是圆周角．
圆(1)，(2)中的∠B1A1C1和∠B2A2C2不是圆周角，因为它们的顶点不在圆上(一个顶点在圆内，一个顶点在圆外)；图(3)中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B3A3D3都是圆周角，它们的顶点都在圆上，并且两边都和圆相交；图(4)中的∠B4A4D4、∠D4A4C4都不是圆周角，因为它们的顶点虽在圆上，但它们的两边中至少有一边不和圆相交．
2．圆周角定理
圆心角和圆周角都是和圆有关的角，圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢？圆周角与圆心角之间有什么关系呢？
观察图7—94中，∠BAC、∠BA1C、∠BA2C都是BC所对的圆周角，BC所对的圆心角是∠BOC．其中∠BAC与∠BOC关系很容易发现，因为O点在边AB上，∠BOC是△OAC的外角，又因为OA=OC，可知∠BAC=∠ACO，所以周角定理．(写出定理)
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．求
证明：分三种情况讨论．
(1)如图7—95(1)中，圆心O在∠BAC一边上．
(2)如图7—95(2)中，圆心O在∠BAC的内部．
作直径AD，由(1)可知，
(3)如图7—95(3)中，圆心O在∠BAC的外部．
作直径AD，由(1)可知，
总结：定理证明用的是“分类讨论”方法．先证明圆心在圆周角的边上这种特殊情况，再证明圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部的情况．对后两种情况，是通过添加辅助线——作过圆周角顶点的直径．转化成已证过的特殊情况加以解决．这种“转化”思想方法是一种重要的数学思想方法．解题时我们总是把复杂问题转化成简单问题，把一般情况转比成特殊情况，把未知问题转化成已知问题．如平行四边形的面积问题，是转比成矩形的面积问题解决的；三角形面积问题是转化成平行四边形的面积问题解决的．学习圆周角定理，不仅要掌握定理的内容，还要重视对定理证明过程中所使用的“分类讨论”和“转化”方法的理解．在今后的学习中和解决数学问题时，应逐步学会运用这些方法．
圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系．因为“圆心角的度数和它所对弧的度数相等”，可以推知：
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
２.９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．
证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，
例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．
解：∵⊙O是△ABC的外接圆 ∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角． 又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°， ∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B) =180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．
四、小结
强调要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路．
说明圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍．”
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC =50°,求∠A的大小.
2、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x—30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
