人教版 九年级上册 第二十四章 圆24.1.2垂直于弦的直径 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第二十四章 圆
人教版九年级数学上册
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。
2.理解并掌握垂径定理，并能应用它解决一些简单的计算、证明问题。（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。（难点）
学习目标
2
3
4
过
程
PROCESS
典例精析
5
6
巩固作业
实践探究
课堂总结
当堂测评
1
情境引入
问题：我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？
一
情境引入
学生活动：
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。
我们在学轴对称的时候已经学过
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。　
活 动 一
二
实践探究
在圆形纸片上操作：
①找出圆心，记作O
②作出一条直径，与⊙O交于C、D
③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD,交⊙O于点B，垂足为E。
沿着直径CD对折，你发现了什么？
有哪些相等的线段和弧？
活 动 二
·
O
A
B
C
D
E
相等的线段： AE=BE
⌒
⌒
相等的弧：AC＝BC　，AD＝BD
⌒
⌒
点A与点B重合，AE与BE重合，　
弧AC与弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
活 动 二
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，　
观察发现：
如果AB是⊙O的一条直径，以上结论成立吗？
·
O（E）
A
B
D
C
思考
D
·
O
A
B
E
C
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E，证明：AE=EB。
证明：连接OA，OB
在△OAB中
∵ OA=OB
∴ △OAB是等腰三角形
又∵ AB⊥CD
∴ AE =EB
证明定理
D
·
O
A
B
E
C
⌒
⌒
ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
证明定理
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E
条件
结论
过圆心，
垂直于弦
｝
｛
平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
分析
CD为直径，
CD⊥AB
｝
｛
点C平分弧
ACB
点D平分弧
ADB
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理：
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD
符号语言：
归纳定理
O
E
D
C
A
B
分析下列图形是否具备垂径定理的条件？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论？
强调：定理中的两个条件缺一不可
巩固定理
垂径定理的几个基本图形
补充：把直径延伸为半径、过圆心的直线，同样适用于垂径定理。
但是如果垂直、直径缺少一个都无法适用。
例1 (2023河北省中考题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图所示MN为水面截线,GH为台面截线，MN∥GH。已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C。求OC的长。
解：连接OM
∵O为圆心，OC⊥MN于点C,MN=48cm，
∴MC=MN=24cm，
．
∵AB=50cm，
∴OM=AB=25cm，
∴在RT△OMC中，
∴
三
典例精析
例2 若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d（弦心距），则R、a、d三者之间的关系式是 。
R
d
O
R2 =d2+( )2
图1
1.如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）。
A．4 B．6 C．7 D．8
D
2.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____，最大值为____。
3
5
图2
四
当堂测评
3.如图3，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则圆心O到AB的距离是（ ）。
A．3 mm B．4 mm C． 12 mm D． 5 mm
4.如图4，AB为圆O的弦，圆O的半径为5，OC⊥AB于点D，交圆O于点C，且CD=2，则AB的长是____。
8
C
图3
图4
5.已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB
∵AB∥CD
∴MN⊥CD
则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
结论：夹在两条平行弦间的弧相等
6．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD。
证明：过点O作OG⊥CD于点G
∵OG过圆心
∴CG＝DG
∵OA＝OB
∴AG＝BG
∴CG－AG＝DG－BG
∴AC＝BD
方法总结
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形利用垂径定理、勾股定理计算或建立方程。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
解决问题：我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？
·
O
A
B
C
D
E
本节课你学到了什么？
五
课堂总结
垂径定理
内容
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
辅助线：
连半径，作弦心距
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形
五
课堂总结
必做题：
1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
六
巩固作业
选做题：
1.已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm,CD=6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离。
2.如图，在平面直角坐标系xoy中，直径为10的OE交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且点A、B的坐标分别为（-2,0）（4,0）。试求圆心E和点C、D的坐标。
六
巩固作业