人教版 八年级上册 第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
第十三章 轴对称
第一课时
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
讲授新课
牧人饮马问题
一
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
　即　AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
典例精析
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
A
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
牧马人饮马问题
解题方法
最短路径问题
轴对称知识+线段公理