人教A版（2019）高中数学 必修第一册5.2.1 三角函数的概念（第一课时）

(共24张PPT)
第5章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念（第一课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 1.数学抽象、直观想象素养.
2.会求简单的三角函数（正弦、余弦、正切）的值； 2.数学运算素养.
温故知新
－32°
1.初中学习的三角函数的概念.
在Rt△ABC中，∠OMP=90°，则
的正弦：
的余弦：
的正切：
2.初中学习的30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值.
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
1
温故知新
3.上节可学习的弧度制
正实数
零
负实数
正角
零角
负角
任意角的集合
实数集R

在弧度制下，角的集合与实数集的一一对应，已经将角的范围扩展到了全体实数.
新知探究
如图，在单位圆O上的点P以A为起点作逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化.
三角函数的概念
如图， 以角的顶点O(单位圆的圆心)为坐标原点，以角的始边(射线OA)为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系. 则点A的坐标为(1,0).现设α的终边与单位圆的交点P为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
y
x
(1,0)
(x,y)
新知探究
当时，点P的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定吗？
一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标唯一确定吗？
三角函数的概念
y
x
(1,0)
(x,y)
利用勾股定理可以发现，当时，点P的坐标是,
当时，点P的坐标为（0，1），当时，点P的坐标为.
对于任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的,即为.
新知探究
三角函数的概念
y
x
(1,0)
(x,y)
设α是一个任意角, α∈R, 它的终边与单位圆交于点P(x,y), 则
(1)点P的纵坐标 y 叫α的正弦函数（sine function)，记作sinα, 即
(2)点P的横坐标 x 叫 α 的余弦函数(cosine function)，记作cosα, 即
(3)点P的纵坐标 与横坐标的比值叫α的正切，记作tanα, 即
可以看出，当时,的终边始终在y轴上,这时x=0，即此时tanα无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称
为正切函数(cangent funcion).
新知形成
三角函数的概念
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometrie function).通常记为
正弦函数：.
余弦函数：.
正切函数：.
实数
(角的弧度)
三角
函数值
角
新知形成
三角函数的概念
在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设,把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1,并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1,z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
z1与y1相等，对于余弦、正切也有相同的结论.（见本节例2）
新知形成
三角函数的概念
思考1：函数的定义域
∵对于任意角x(弧度数），其终边与单位圆的交点的纵、横坐标都存在.
∴函数的定义域为R.
∵终边在y轴上时，与单位圆交点的横坐标为0.
∴函数的定义域为.
即纵坐标与横坐标之比无意义.
新知形成
三角函数的概念
思考2：函数的值域
∵对于任意角x(弧度数），其终边与单位圆的交点
的纵、横坐标都在区间[-1,1].
∴函数的值域都为[-1,1].
∵纵坐标与横坐标之比为任意实数.
∴函数的值域为R.
新知形成
三角函数的概念
三角函数三要素
定义域
对应关系
值域
R
R
x（弧度数） 角的终边与单位圆交点的纵坐标
x（弧度数） 角的终边与单位圆交点的横坐标
x（弧度数） 角的终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值
[-1,1]
[-1,1]
R
新知形成
【例1】求的正弦、余弦和正切值.
解：
分析：按照三角函数的定义，考虑求三角函数值的步骤：
建立坐标系
→画出终边
→求出交点坐标
→求出比值
在坐标系中作出∠AOB=，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以
新知探求
【例2】如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为，点P与原点的距离为r.
求证：
证明：
分析：观察下图，可以发现 OMP∽ OM0P0,根据三角函数的定义可以得到证明.
设角的终边与单位圆交于点.分别过点作轴的垂线，,垂足分别、，则
， ,
， ,
OMP∽ OM0P0
新知探求
即 ，
因为
于是 ，
，
即
同理可得，
本例回答了前面“探究”中的结论是肯定的.我们给出的三角函数的概念与初中锐角三角函数的概念是一致的.
新知探求
设角是一个任意角,是终边上的任意一点，点与原点的距离 .则
①叫做的正弦，即
②叫做的余弦，即
③叫做的正切，即
因此，只要知道角终边上任意一点P的坐标，
就可以求得的各个三角函数值，并且这些三角函数值
不会随P点在终边上的位置改变而改变.
任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.
三角函数的概念的推广
初试身手
1.已知角的终边与单位圆交于点, 则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点(-4,3),则等于( )
A. B. C. D. 3.已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4,y)是角终边上一点，且, 则y= .
D
B
解：
∵,
∴
解得 y=-8
-8
初试身手
课本P179 练习第1，2题
1.利用三角函数的定义求出0，，，的三角函数值.
解：
,,.
,,不存在.
,,.
,,不存在.
思考：使的角还有吗？其它情况呢？
初试身手
课本P179 练习第1，2题
2.利用三角函数的定义求出的三角函数值.
解：
在坐标系中作出∠AOB=，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以
课堂小结
1.说说三角函数概念的抽象过程，它与幂、指、对函数的对应关系有何异同？
2.说说三角函数的定义
定义1
定义2
这两个定义等价吗 它与锐角三角函数相容吗？
3.求任意角的三角函数值的方法：先寻求任意角的终边与单位圆的交点P的坐标，再利用三角函数的定义得出该角的正弦值、余弦值、正切值.
作业布置
作业：p184 习题5.2 第1，2，3题.
补充：
已知角的终边上一点,且，求.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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