7.3.3 余弦函数的性质与图象 同步练习（含解析）

7.3.3　余弦函数的性质与图象
一、必备知识基础练
1.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.c>b>a
2.函数y=cos x在区间(π,3π)上的图象的对称轴是(　　)
A.x=3π B.x=π C.x=2π D.x=π
3.函数y=cos x,x∈-的值域是(　　)
A.[-1,1] B.,1 C.-,1 D.[0,1]
4.(多选题)[2023浙江上城校级期末]已知函数f(x)=cosx+,若f(x)在[0,a]上的值域是-1,,则实数a的可能取值为(　　)
A. B. C. D.
5.(多选题)[2023河南新乡三模]已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是A,0,点B0,在f(x)的图象上,则(　　)
A.f(x)=cos2x+
B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递减
D.fx+是奇函数
6.[2023上海浦东校级期中]函数y=3cos+x的单调递减区间为　　　　　　　.
7.函数y=sin2x-cos x+2,x∈的最大值是　　　　　.
8.[2023广西钦南校级期中]已知函数f(x)=2cos2x-.
(1)求函数f(x)图象的对称轴与对称中心;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在区间-上的值域.
二、关键能力提升练
9.[2023河南模拟]已知函数f(x)=2cos(-3x),x∈[-],则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.[-,0] B.[-]
C.[-,-),[] D.[-],[]
10.[2023黑龙江漠河校级期末]函数y=1-cos)2x+)的值域是　　　　　.
11.[2023甘肃期末]关于函数f(x)=(1-sin x)(1+sin x)+2cos x,x∈[-π,π],有以下四个结论:
①f(x)是偶函数;
②f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减;
③f(x)有且仅有1个零点;
④f(x)的最小值是-1,最大值是3.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.[2023浙江嘉兴期末]若函数f(x)=cos(2x+)+a在区间[0,]上有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
13.设函数f(x)=cos+1,有以下结论:
①点是函数f(x)图象的一个对称中心;
②直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;
③函数f(x)的周期是π;
④将函数f(x)的图象向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是　　　　　.
14.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
15.[2023辽宁鞍山月考]已知函数f(x)=cos(2x+).
(1)求函数f(x)图象的对称中心以及函数的单调递减区间;
(2)若β∈(0,π),f()=-,求角β的大小.
16.已知函数f(x)=2cos(2x+),x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)=2cos(2x+)的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称,求m的最小值.
参考答案
一、必备知识基础练
1.C　由题意得sin 47°=sin(90°-43°)=cos 43°,所以b>a>c,故选C.
2.C　由余弦函数的性质可得函数y=cos x关于x=kπ,k∈Z对称,故函数y=cos x在区间(π,3π)上的图象的对称轴是x=2π.故选C.
3.B　当x=0时,取得最大值ymax=cos 0=1,
又由最小值cos(-)=cos,所以函数的值域为[,1].故选B.
4.BC　f(x)=cos(x+),因为x∈[0,a],所以x+∈[,a+].
又因为f(x)的值域是[-1,],所以a+∈[π,],
可知a的取值范围是[].故选BC.
5.ACD　因为点B(0,)在f(x)的图象上,所以f(0)=cos φ=.又因为0<φ<π,所以φ=.因为f(x)图象的一个对称中心是A(,0),所以+kπ,k∈Z,则ω=2+8k,k∈Z,又0<ω<10,所以ω=2,则f(x)=cos(2x+),A正确;
F()=cos=0,则直线x=不是f(x)图象的一条对称轴,B不正确;
当x∈[]时,2x+∈[2π,3π],f(x)单调递减,C正确;
F(+)cos(x+)-sin 2x,是奇函数,D正确.
故选ACD.
6.[kπ-,2kπ+]k∈Z　对于函数y=3cos+x)令2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,求得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,可得函数的单调递减区间为[kπ-,2kπ+]k∈Z.
7.3　y=sin2x-cos x+2=1-cos2x-cos x+2=-cos2x-cos x+3=-(os2x+cos x+)3=-(os x+)+.
因为≤x≤,0≤cos x≤,所以当x=,cos x=0时,函数y=sin2x-cos x+2取得最大值3.
8.解(1)由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称轴为x=,k∈Z,
由2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称中心为(,0)k∈Z.
(2)由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.
(3)当-≤x≤时,-≤2x-,
∴-≤cos(2x-)≤1,
∴-≤2cos(2x-)≤2,
故函数f(x)在区间[-]上的值域为[-,2].
二、关键能力提升练
9.D　f(x)=2cos(-3x)=2cos(3x-),
令2kπ-π≤3x-≤2kπ,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
令k=0,-≤x≤,令k=1,≤x≤,
又因为x∈[-],
所以f(x)的单调递增区间是[-],[].故选D.
10.[]　函数y=1-cos(2x+),当cos(2x+)=1时,函数取最小值为,当cos(2x+)=-1时,函数取最大值为.故函数的值域为[].
11.C　f(x)=(1-sin x)(1+sin x)+2cos x=1-sin2x+2cos x=cos2x+2cos x,f(-x)=cos2(-x)+2cos(-x)=cos2x+2cos x=f(x),故f(x)是偶函数,①正确;
令t=cos x,t∈[-1,1],f(t)=t2+2t=(t+1)2-1在t∈[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,②正确;
f(t)=(t+1)2-1,t∈[-1,1],则t=-1时,最小值为-1,t=1时,最大值为3,④正确;
令f(t)=(t+1)2-1=0得t=0或t=-2(舍去),即t=cos x=0,则x=+kπ(k∈Z),当k=-1时,x=-,当k=0时,x=,所以f(x)有两个零点,故③错误.
所以有3个正确结论,故选C.
12.[-)　f(x)=cos(2x+)+a=0 a=-cos(2x+)=cos(2x-),由函数f(x)=cos(2x+)+a在区间[0,]上有3个零点,可以转化为直线y=a和函数y=cos(2x-)在[0,]上有三个不同的交点,
因为x∈[0,],所以2x-∈[-],
当2x-∈[-,0]时,即当x∈[0,]时,函数y=cos(2x-)单调递增,当2x-∈[0,π]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递减,当2x-∈[π,2π]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递增,当2x-∈[2π,]时,即当x∈[]时,函数y=cos(2x-)单调递减,所以函数y=cos(2x-)在[0,]上的函数图象如下图所示:
因此要想直线y=a和函数y=cos(2x-)在[0,]上有三个不同的交点,
只需-≤a<,即实数a的取值范围是[-).
13.②③④　f(x)的对称中心的纵坐标为1,故①错;②正确;T==π,故③正确;f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=cos 2x+1的图象,它是偶函数,故④正确.
14.解(1)由题知f(x)的周期T=π,故=π,所以ω=2.
所以f(x)=2cos 2x.所以f=2cos.
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=2cos的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2cos的图象,
所以g(x)=2cos.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
15.解(1)函数f(x)=cos(2x+),
令2x+=kπ+,整理得x=,
所以函数的对称中心为(,0)(k∈Z).
令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),
整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数的单调递减区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)由于f()=cos(β+)=-,且β∈(0,π),故β+∈{},所以β+,整理得β=.
16.解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)函数f(x)=2cos(2x+)的图象向右平移m(m>0)个单位,得到图象对应的函数为g(x)=2cos(2x+-2m),
则g(x)是奇函数,g(0)=2cos(0+-2m)=0,
即-2m=kπ+,k∈Z,则m=-,k∈Z,
因为m>0,所以当k=-1时,mmin=.