第7章 一次方程组导学案
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第七章 一次方程组导学案
7.1二元一次方程组和它的解
教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
教学难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。
【预习检测与自主学习】
一、认真阅读教材P24-P26，解答下列问题.
1、二元一次方程的定义：每个方程都含有 ，并且未知数的次数是 ，这样的整式方程叫做二元一次方程. 它的基本形式是 .
2、二元一次方程组的定义： .
3、二元一次方程的解：使二元一次方程的左右两边相等的 的值，叫做二元一次方程的解.
4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中 的左右两边都相等的
的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5、检验一对数是不是某个二元一次方程组的解的方法：
.
【合作探究】
知识点一 二元一次方程与 二元一次方程的概念
我们来看一个问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?
______场数＋______场数＝总场数； ______积分＋______积分＝总积分，
这两个条件可以用方程
X+y=20
2x＋y=40 表示。
观察：这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
归纳：___________________________________________________叫做二元一次方程
注意：1.定义中未知数的项(单项式)的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1
2.二元一次方程的左边和右边都应是整式
2、二元一次方程的一般形式：ax + by + c = 0 （其中a≠0、b≠0 且a、b、c为常数）
注意：1.要判断一个方程是不是二元一次方程，一般先要把它化成二元一次方程的一般形式，再根据定义判断。
例1 下列方程中是二元一次方程的有 .
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8） .
方法小结：
.
【展示点拨】
（1）、若x|a|-1+(a-2)y=2是二元一次方程，求a的值
（2）、已知方程是关于、的二元一次方程.求、的值.
3、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程的解。
问题1 二元一次方程的解的个数？
探究一 用一个字母表示另一个字母
将下列方程变形，用y的式子表示x
（1）、， （2）、 2x+y=2， （3）、 （4）、，
【展示点拨】
1已知，用含x的式子表示y的形式是=________________．
2、已知x-2y=0.，用含x的式子表示y的形式是=________________．
3、已知2x+y=2，用含y的式子表示x的形式是x=________________．
探究二 二元一次方程的特殊解？
例求二元一次方程的所有非负整数解.
变式练习 求二元一次方程3x＋y＝8的正整数解.
探究三 二元一次方程的解的应用
【展示点拨】
已知方程mx+ny=10有两个解，分别是，则m=________，n=__________.
知识点二 二元一次方程组（你知道什么叫三元一次方程组吗?）
__________________________________________________________叫做二元一次方程组。
思考判断二元一次方程组的三个条件
（1）
（2）
（3）
例 下列方程组中是二元一次方程组的的有 .
（1） （2） （3） （4）
知识点三 二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程组的解.即：二元一次方程组的两个方程的________解。
例已知二元一次方程组
【展示点拨】
判断下面哪一对数值是这个方程组的解:
判断方法： .
【当堂训练】
（1）、判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（2）、已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。
① ②
③ ④
（3）方程组 ① ②的解为（ ）.
A. B. C. D.
（4 ） 某校现有校舍20000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）
做一做
如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍，
建造新校舍，请你根据题意列一个方程组.
教学反思： .
五、课后作业书上习题7.1选作第26页
7.2二元一次方程组的解法
第一课时
学习目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.学习过程：
【预习检测】
已知方程是二元一次方程，则m＝____，n＝_____．
2、方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3、是方程的解，则m＝______．
4、在中，如果= 6，那么= 。
【自主学习】
问题1回顾教材26页问题2，列出相应的方程组
思考：怎样解这个方程组？
问题2问题引导
我们解一元一次方程的步骤是什么？
回顾上节课，解决此题所列的一元一次方程，两者之间有什么关系？
能否把二元一次方程变成一元一次方程？其关键是什么？如何把二元一次方程变成一元一次方程？
怎样做才能够比较容易让某个未知数消失呢？
【合作探究】
探究二元一次方程组的解法
例：解二元一次方程组y-x=20000*30％,(1)
Y=4x (2)
观察(2)表明，Y与4x的值是相等的，因此，方程(1)中的Y可以看成 ，即将(2)代入(1)，消去了 ，得到了关于 的一元一次方程。
[归纳]（1）上面从二元一次方程组 到一元一次方程
的过程中，未知数的个数由 个变为 个，这种将未知数的个数由多化少，逐一求解的思想，叫做 思想。
（2）可以把方程②中的x换掉吗？如果可以，那么可以代换成什么？为什么？写出你代换后的方程。
.例1：用代入法解方程组
解：由①，得x= ③
把③代入②，得
解这个方程，得y＝ 。
把y＝ 代入③，得x=
∴原方程组的解是
[反思]（1）求得的未知数的值是原方程组的解吗？请检验。
（2）把③代入①可以吗？在下面试试。
（3）你认为用代入法解方程时，怎样避免（2）中这种情况发生？
（4）解此方程组的第一步为什么要“由①得”？而不是“由②得”呢？你认为在用代入法解方程组的第一步时应选择哪种方程变形比较简便呢？
（5）归纳用代入法解二元一次方程组的步骤：
【展示点拨】
用代入法解下列二元一次方程组
⑴ ⑵
3x-5y=6,
（3）
x+4y=-15
【当堂训练】
一填空
1、 把方程2x＝3y+7变形，用含y的代数式表示x，x＝ ；用含x的代数式表示y，则y＝ 。
2、若与是同类项，则a= ，b= ；
3、二元一次方程组的解是方程x－y=1的解，则k= 。
二 解答题1、如果（5a-7b+3）2+=0，求a与b的值。
拓展延伸 若方程组与有公共的解，求a，b.
教学反思：写出本节课你的成功与失败之处
课后作业：第29页练习
7.2 二元一次方程组的解法
第二课时
教学重点：用代入消元法解二元一次方程组．
教学难点：两种消元法的基本思想以及灵活运用．
【预习检测】
代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现_______，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做_________________，简称_________。
2、归纳总结用代入消元法解方程组的一般步骤：
从方程组中选一个系数____________的方程，将这个方程中的一个________，如y，用含x的代数式表示，即y=ax+b;
将y=ax+b代入________方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程；
解这个__________方程，求出x的值；
把求得x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到________的解。
【合作探究】
探究 二元一次方程组的解法
演示（1）变形为y= ,,即用x的代数式表示y，在代入方程（2）中，同座之间互相写出解题过程
2x-7y=8
3x-8y-10=0
思考：这个二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，怎么办呢怎样继续用代入法求解呢?
总结 同座之间互相总结出二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，的解题过程？
【展示点拨】
用代入法解下列方程组:
（1） (2)
【当堂训练】
1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______；若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。
2、若的解，则a=______，b=_______。
3、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。
4、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。
5、当k=______时，方程组的解中x与y的值相等。
6、已知关于的二元一次方程组 ax+by=8
,ax-by=2的解是x=5且y=3，求a与b的值
教学反思：
课后作业 ： 课本第30页练习1,2
7.2 二元一次方程组的解法
第三课时
教学目标：
1、掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，能运用加减法解二元一次方程组
2根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元；培养自己的运算技巧。
学法引导：
观察各未知数前面系数的特征，只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值后就可以利用加减消元法进行消元，同时在运算过程中注意归纳解题的技巧和解题的方法。
【预习检测】学习过程
1、（口答）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？解题过程是什么？
2、解下列方程组，并验证所得结果是否正确。
【合作探究】
针对上面不同的解法，思考下面的问题：
（1）上面的几种解法中，哪一种更简单一些？
（2）上面的几种解法中，都包含了什么思想？
我们通过刚才的学习，我相信大家都有了自己的认识，那么请同学们自己完成下面的例1
探究（一）同一个未知数的系数相同（或互为相反数）的二元一次方程组的解法
请同学们尝试解以下方程组：
①
②
分析：两个方程中未知数x的系数相同，都是1，请你把这两个方程的左边与右边相减，看看，能够得到什么结果？
解：①-② 得： = （运用“等量减等量，差相等”，消去x化成一元一次方程）
解得： y=
把y= 代入 式得：
∴ x=
∴ x=
y=
变式训练：解方程组： ①
②
分析：两个方程中未知数y的的系数互为相反数，是3与-3，请你把这两个方程的左边与右边相加，看看，能够得到什么结果？
解：①+② 得： = （运用“等量加等量，和相等”， 消去y化成一元一次方程）。
解得： x=
把x= 代入 式得：
∴ y=
x=
y=
（注：例1和例2的解法叫做“加减消元法”，在这两个方程组中，都出现某一个未知数的系数相同或者互为相反数的情形，把两个方程相加或者相减，就能够消元化为一元一次方程。）
规律总结：在方程组的两个方程中，
（1）若同一个未知数的系数相同，可直接把这两个方程相_____（加或减），消去系数相同的这个未知数；
（2）若同一个未知数的系数互为相反数，可直接把这两个方程相_____（加或减），消去系数相同的这个未知数；
【展示点拨】
1、 解简单的二元一次方程组。
（1） （2）
3 x -2 y =15 7 x - 3 y =1
5 x +2 y =9 7 x + 4 y =-2
（3）
【当堂训练】
1、解方程组
3(2x+1)-2(4y-3)=2
5(2x+1)+2(4y-3)=35
2、已知方程组的解是求m的值?
教学反思：
课后作业：课本P32页
7.2二元一次方程组的解法
第四课时
【教学目标】
1.进一步理解解方程组的消元思想.
2.了解加减法是消元的又一种基本方法，会用加减法解一些简单的二元一次方程组.
【教学重点与难点】
重点：会用加减法解二元一次方程组.
难点：灵活运用加减消元法的技巧.
【预习检测】
1、解二元一次方程组的基本思想是________，要把二元一次方程组转化为______解决.
2、完成下面填空
（1）（2）
（3），（4）
（5）.
观察原式与结构，可以发现：每小题中的式子中都含有_____个字母，而结果中含有_____个字母.
3、等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式还能成立吗？
用不同的方法解方程组
，并检验.
【自主学习】
上面的方程组中，我们用代入法或用加减法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其它方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
如果方程组中没有一个未知数的系数是相等或是互为相反数的，我们应该怎样做？现在我们自己在导学案上完成例2，完成后同桌交流。
例2：解方程组
能否对方程组中的两个方程进行变形，把这两个方程的某个未知数的系数化为相等或互为相反数，进而求解。
通过上面的例题教学，你认为解二元一次方程组的基本思路是什么？用加减法解二元一次方程组的基本步骤有哪些？
【合作探究】
已知方程组
思考：
（1）在上面的这个方程组中，两个方程中的未知数和的系数相同吗？互为相反数吗？能不能直接把这两个方程相加（或相减）消去一个未知数？
（2）能利用等式的性质使这两个方程的某一个未知数的系数变为相同或互为相反数吗？如何变化？
（3）尝试求出这个方程组的解.求解完后与课本P79例2的解答过程对照.
（4）反思：在上面给出的方程中，能通过变形消去未知数吗？需怎样变化？尝试写出解答过程.
归纳小结
加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元
主要步骤有：
变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减----消去一个元
求解----分别求出两个未知数的值
写解----写出方程组的解
【展示点拨】
1、用加减消元法解下列方程组
2、思维拓展：
（1）如果5x3m-2n－2yn-m=0是二元一次方程，则m= ,n=
（2）解方程组
归纳总结：用加减消元法解方程组的一般步骤：
(1) 将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数______或_______的两个方程。
(2) 把这两个方程______或______，消去一个未知数。
(3) 解得到的___________方程。
(4) 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。
(5) 确定原方程组的解。
【当堂训练】
一、基础知识的应用
1、方程组中，x的系数特点是______；方程组中，y的系数特点是________.这两个方程组用______法解比较方便。
2、用加减法解下列方程组
（1） （2） （3）
二、能力提高训练
1、小明和小华同时解方程组,小明看错了m，解得,小华看错了n，解得,你能知道原方程组正确的解吗？
2、先读阅读材料，然后解方程组
材料：解方程组
由①得③，把③代入②，得 ，解得
把代入③得，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用这种方法解答.
请用这种方法解方程组
教学反思：
课后作业：课本P34
7.2二元一次方程组的解法
第五课时
【教学目标】
1.进一步理解解方程组的消元思想.
2.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
【合作探究】
1、灵活消元
（1）整体代入法
例1.解方程组
（2）先消常数法
例2. 解方程组
（3）设参代入法
例3. 解方程组
（4）换元法
例4. 解方程组
整体加减法
例5. 解方程组
【当堂训练】
1、解方程组
2 、若方程组与有公共的解，求a，b.
3、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。
4、思考：⑴、已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程①中的a，得方程组的解为，而乙看错方程②中的b，得到方程组的解是，
请求a2008+（-b）2009的值.
教学反思：
课后作业：补充：见小黑板
7.2二元一次方程组的解法
第六课时
【教学目标】
解三元一次方程组的基本思想。
解三元一次方程组的方法。
【预习检测】
练习：在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“√”，否则打“×”。
（1）2x+3y=12－z ( ) (2) xy－z=14 （ ）
（3） ( ) (4) ( )
【自主学习】
知识点一 ___________________________________________________叫三元一次方程（组）。
知识点二 用消元法解三元一次方程组
二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化____元为_____元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？
【合作探究】
一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数
例1．解方程组
分析：方程组中含的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数.
【展示点拨】
1、解方程组
（2）
二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.
例2．解方程组
三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.
例3．解方程组
四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元
1．整体代入法
即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.
例4．解方程组
分析：注意到①中的，这就与②有了联系，因此，①可化为，把②整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值.
解
2．整体加减法
例5．解方程组
3．整体改造
例6．解方程组
4．参数法
例7．解方程组
.
教学反思：
课后作业：
7.3 实际问题与二元一次方程组
第一课时
教学重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。
教学难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组。
预习检测：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2. 二元一次方程组解法有
3列方程组解决实际问题的基本思想
合作探究
探究一
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗
加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加
工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分 析
设应安排x天精加工，y天粗加工，填表
?
工作时间
工作效率
工作量
精加工
?
?
?
粗加工
?
?
?
题目中蕴含着哪些相等关系？
(1)精加工天数与粗加工天数的和等于 天。
(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为 吨。
精加工蔬菜可获利 粗加工蔬菜可获利
议一议
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小
车一次可以运货35吨。求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
分析 解决此题的关键是什么？
如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？
指导学生分析出等量关系。
2辆大车一次运货 3辆小车一次运货＝
5辆大车一次运货 6辆小车一次运货＝
小结
利用二元一次方程组解决实际问题的过程：
列方程组解决实际问题的一般步骤：
⑴、_____________________________________ ⑵、_________________________________
⑶、_____________________________________ ⑷、_________________________________
⑸、_____________________________________ ⑹、_________________________________
⑺、_____________________________________
当堂训练：
教科书第34页练习l、2、3。
第3题：首先让学生明白什么叫充分利用这船的载重量与容量，让学生找出两个等量关系。
课后作业：
1．教科书第35页，习题7.2第2、3、4题。
7.3 实践与探索
第二课时
教学目的：通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
教学重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。
教学难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。
教学过程：
预习检测：
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?
列二元一次方程组解决实际问题的步骤中什么是关键?
合作探究：
问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。
学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。
学生有困难，教师加以引导：
1．本题有哪些已知量?
(1) ______________________ (2)。______________________
(3) ______________________
2．求什么?
(1) ______________________?_
（_2）__________________?
3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。
那么可做盒身多少个? __________盒底盖多少个? __________
4．可以找出_______个等量关系。分别是
(1) __________ (2) __________
根据题意，得
解出这个方程组
展示点拨：
某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?
先让学生自主探索，与伙伴交流。
对有困难的学生教师加以引导。(提问式)
1．本题中有哪些已知量?
(1) _____________________
(2) _____________________；
(3) _____________________；
(4) _____________________
(5) _____________________。
2．求什么?
分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?
因此，列方程组
本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应 给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。
课后作业：
教科书习题7.3，第1题。
教学反思：
7.3 实践与探索
第三课时
教学目的：让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程 中获得体验，得到发展。
教学重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的 数量关系。
教学难点：寻找相等关系。
教学过程：
预习检测：
列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?
合作探究：
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。
请同学们打开课本第35页，阅读问题2。
让学生充分思考，并与伙伴交流后，
探究一 这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?
教师可以作以下引导：
1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长________________与宽________________之间的数量关系吗?
(根据矩形的对边相等，得________________
2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长________________与宽________________的另一个关系式吗?
8个小矩形的面积和＝_______________
大正方形的面积=_______________
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为_______________的小正方形。
探究二
问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
三、做一做。
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。
问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组
问题2：设小明的爸爸前年存了x元，利息税为y元，由题意得：
问题3：设小张家到火车站有x千米，乘公共汽车从小张家到火车站要y小时，由题意得：
当堂训练：
教科书习题7.3第2题
如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
教学反思：
课后作业：
第七章 一次方程组小结与复习(一)
教学目的：
1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。
2．列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。
教学难点：找出等量关系列出二元一次方程组.
教学过程：
预习检测与自主学习：
1.知识结构
二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。
2．注意事项
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
合作探究：
1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。
分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，
2．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。
分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。
根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：
展示点拨：
A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。
分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；
有两个相等关系：
(1)同向而行：______________
(2)相向而行______________
解：设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得
当堂训练：
一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。
分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?
由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.
如何表示原三位数和新三位数?
100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y
2个等量关系是什么?
(1) _____________
(2) _____________
根据题意，得
课后小结：
1．解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。
2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。
教学反思：
课后作业：
第七章 一次方程组小结与复习(二)
教学目的：
通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。
教学重点：列二元一次方程组解应用题。
教学难点：间接设元以及找出2个等量关系。
预习检测与自主学习：
1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?
2．如何设未知数?
我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。
在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。
合作探究：
例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?
分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?
本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。
X公里
A D y公里 B C
甲 上车点 下车点 乙
(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。
(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。
因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。
由以上两个等量关系，得：
=
=
解方程组即可得到方程组的解。
展示点拨：
教科书第39页，第6、7题，第40页，第11、12、13、14题。
当堂训练：
甲、乙两同学解方程组,甲得正确解答为.乙只因抄错c的值,解得,求的值.
?
?
课后小结：
1.二元一次方程及二元一次方程组的有关概念的学习要能与一元一次方程的有关概念联系起来,通过比较的方法来学习.
2.二元一次方程组的解法很多,但它的基本思想是通过把二元化为一元（消元）,把未知转化为已知的化归思想.体会消元的思想,把复杂问题转化为简单问题来处理.
教学反思：
课后作业：
?
7.1二元一次方程组和它的解
教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
教学难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。
【预习检测与自主学习】
一、认真阅读教材P24-P26，解答下列问题.
1、二元一次方程的定义：每个方程都含有 ，并且未知数的次数是 ，这样的整式方程叫做二元一次方程. 它的基本形式是 .
2、二元一次方程组的定义： .
3、二元一次方程的解：使二元一次方程的左右两边相等的 的值，叫做二元一次方程的解.
4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中 的左右两边都相等的
的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5、检验一对数是不是某个二元一次方程组的解的方法：
.
【合作探究】
知识点一 二元一次方程与 二元一次方程的概念
我们来看一个问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?
______场数＋______场数＝总场数； ______积分＋______积分＝总积分，
这两个条件可以用方程
X+y=20
2x＋y=40 表示。
观察：这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
归纳：___________________________________________________叫做二元一次方程
注意：1.定义中未知数的项(单项式)的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1
2.二元一次方程的左边和右边都应是整式
2、二元一次方程的一般形式：ax + by + c = 0 （其中a≠0、b≠0 且a、b、c为常数）
注意：1.要判断一个方程是不是二元一次方程，一般先要把它化成二元一次方程的一般形式，再根据定义判断。
例1 下列方程中是二元一次方程的有 .
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8） .
方法小结：
.
【展示点拨】
（1）、若x|a|-1+(a-2)y=2是二元一次方程，求a的值
（2）、已知方程是关于、的二元一次方程.求、的值.
3、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程的解。
问题1 二元一次方程的解的个数？
探究一 用一个字母表示另一个字母
将下列方程变形，用y的式子表示x
（1）、， （2）、 2x+y=2， （3）、 （4）、，
【展示点拨】
1已知，用含x的式子表示y的形式是=________________．
2、已知x-2y=0.，用含x的式子表示y的形式是=________________．
3、已知2x+y=2，用含y的式子表示x的形式是x=________________．
探究二 二元一次方程的特殊解？
例求二元一次方程的所有非负整数解.
变式练习 求二元一次方程3x＋y＝8的正整数解.
探究三 二元一次方程的解的应用
【展示点拨】
已知方程mx+ny=10有两个解，分别是，则m=________，n=__________.
知识点二 二元一次方程组（你知道什么叫三元一次方程组吗?）
__________________________________________________________叫做二元一次方程组。
思考判断二元一次方程组的三个条件
（1）
（2）
（3）
例 下列方程组中是二元一次方程组的的有 .
（1） （2） （3） （4）
知识点三 二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值__________的两个未知数的_______叫做二元一次方程组的解.即：二元一次方程组的两个方程的________解。
例已知二元一次方程组
【展示点拨】
判断下面哪一对数值是这个方程组的解:
判断方法： .
【当堂训练】
（1）、判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（2）、已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。
① ②
③ ④
（3）方程组 ① ②的解为（ ）.
A. B. C. D.
（4 ） 某校现有校舍20000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）
做一做
如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍，
建造新校舍，请你根据题意列一个方程组.
教学反思： .
五、课后作业书上习题7.1选作第26页
7.2二元一次方程组的解法
第一课时
学习目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.学习过程：
【预习检测】
已知方程是二元一次方程，则m＝____，n＝_____．
2、方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3、是方程的解，则m＝______．
4、在中，如果= 6，那么= 。
【自主学习】
问题1回顾教材26页问题2，列出相应的方程组
思考：怎样解这个方程组？
问题2问题引导
我们解一元一次方程的步骤是什么？
回顾上节课，解决此题所列的一元一次方程，两者之间有什么关系？
能否把二元一次方程变成一元一次方程？其关键是什么？如何把二元一次方程变成一元一次方程？
怎样做才能够比较容易让某个未知数消失呢？
【合作探究】
探究二元一次方程组的解法
例：解二元一次方程组y-x=20000*30％,(1)
Y=4x (2)
观察(2)表明，Y与4x的值是相等的，因此，方程(1)中的Y可以看成 ，即将(2)代入(1)，消去了 ，得到了关于 的一元一次方程。
[归纳]（1）上面从二元一次方程组 到一元一次方程
的过程中，未知数的个数由 个变为 个，这种将未知数的个数由多化少，逐一求解的思想，叫做 思想。
（2）可以把方程②中的x换掉吗？如果可以，那么可以代换成什么？为什么？写出你代换后的方程。
.例1：用代入法解方程组
解：由①，得x= ③
把③代入②，得
解这个方程，得y＝ 。
把y＝ 代入③，得x=
∴原方程组的解是
[反思]（1）求得的未知数的值是原方程组的解吗？请检验。
（2）把③代入①可以吗？在下面试试。
（3）你认为用代入法解方程时，怎样避免（2）中这种情况发生？
（4）解此方程组的第一步为什么要“由①得”？而不是“由②得”呢？你认为在用代入法解方程组的第一步时应选择哪种方程变形比较简便呢？
（5）归纳用代入法解二元一次方程组的步骤：
【展示点拨】
用代入法解下列二元一次方程组
⑴ ⑵
3x-5y=6,
（3）
x+4y=-15
【当堂训练】
一填空
1、 把方程2x＝3y+7变形，用含y的代数式表示x，x＝ ；用含x的代数式表示y，则y＝ 。
2、若与是同类项，则a= ，b= ；
3、二元一次方程组的解是方程x－y=1的解，则k= 。
二 解答题1、如果（5a-7b+3）2+=0，求a与b的值。
拓展延伸 若方程组与有公共的解，求a，b.
教学反思：写出本节课你的成功与失败之处
课后作业：第29页练习
7.2 二元一次方程组的解法
第二课时
教学重点：用代入消元法解二元一次方程组．
教学难点：两种消元法的基本思想以及灵活运用．
【预习检测】
代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现_______，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做_________________，简称_________。
2、归纳总结用代入消元法解方程组的一般步骤：
从方程组中选一个系数____________的方程，将这个方程中的一个________，如y，用含x的代数式表示，即y=ax+b;
将y=ax+b代入________方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程；
解这个__________方程，求出x的值；
把求得x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到________的解。
【合作探究】
探究 二元一次方程组的解法
演示（1）变形为y= ,,即用x的代数式表示y，在代入方程（2）中，同座之间互相写出解题过程
2x-7y=8
3x-8y-10=0
思考：这个二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，怎么办呢怎样继续用代入法求解呢?
总结 同座之间互相总结出二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，的解题过程？
【展示点拨】
用代入法解下列方程组:
（1） (2)
【当堂训练】
1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______；若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。
2、若的解，则a=______，b=_______。
3、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。
4、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_______，b=________ ,3a+2b=___________。
5、当k=______时，方程组的解中x与y的值相等。
6、已知关于的二元一次方程组 ax+by=8
,ax-by=2的解是x=5且y=3，求a与b的值
教学反思：
课后作业 ： 课本第30页练习1,2
7.2 二元一次方程组的解法
第三课时
教学目标：
1、掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，能运用加减法解二元一次方程组
2根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元；培养自己的运算技巧。
学法引导：
观察各未知数前面系数的特征，只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值后就可以利用加减消元法进行消元，同时在运算过程中注意归纳解题的技巧和解题的方法。
【预习检测】学习过程
1、（口答）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？解题过程是什么？
2、解下列方程组，并验证所得结果是否正确。
【合作探究】
针对上面不同的解法，思考下面的问题：
（1）上面的几种解法中，哪一种更简单一些？
（2）上面的几种解法中，都包含了什么思想？
我们通过刚才的学习，我相信大家都有了自己的认识，那么请同学们自己完成下面的例1
探究（一）同一个未知数的系数相同（或互为相反数）的二元一次方程组的解法
请同学们尝试解以下方程组：
①
②
分析：两个方程中未知数x的系数相同，都是1，请你把这两个方程的左边与右边相减，看看，能够得到什么结果？
解：①-② 得： = （运用“等量减等量，差相等”，消去x化成一元一次方程）
解得： y=
把y= 代入 式得：
∴ x=
∴ x=
y=
变式训练：解方程组： ①
②
分析：两个方程中未知数y的的系数互为相反数，是3与-3，请你把这两个方程的左边与右边相加，看看，能够得到什么结果？
解：①+② 得： = （运用“等量加等量，和相等”， 消去y化成一元一次方程）。
解得： x=
把x= 代入 式得：
∴ y=
x=
y=
（注：例1和例2的解法叫做“加减消元法”，在这两个方程组中，都出现某一个未知数的系数相同或者互为相反数的情形，把两个方程相加或者相减，就能够消元化为一元一次方程。）
规律总结：在方程组的两个方程中，
（1）若同一个未知数的系数相同，可直接把这两个方程相_____（加或减），消去系数相同的这个未知数；
（2）若同一个未知数的系数互为相反数，可直接把这两个方程相_____（加或减），消去系数相同的这个未知数；
【展示点拨】
1、 解简单的二元一次方程组。
（1） （2）
3 x -2 y =15 7 x - 3 y =1
5 x +2 y =9 7 x + 4 y =-2
（3）
【当堂训练】
1、解方程组
3(2x+1)-2(4y-3)=2
5(2x+1)+2(4y-3)=35
2、已知方程组的解是求m的值?
教学反思：
课后作业：课本P32页
7.2二元一次方程组的解法
第四课时
【教学目标】
1.进一步理解解方程组的消元思想.
2.了解加减法是消元的又一种基本方法，会用加减法解一些简单的二元一次方程组.
【教学重点与难点】
重点：会用加减法解二元一次方程组.
难点：灵活运用加减消元法的技巧.
【预习检测】
1、解二元一次方程组的基本思想是________，要把二元一次方程组转化为______解决.
2、完成下面填空
（1）（2）
（3），（4）
（5）.
观察原式与结构，可以发现：每小题中的式子中都含有_____个字母，而结果中含有_____个字母.
3、等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式还能成立吗？
用不同的方法解方程组
，并检验.
【自主学习】
上面的方程组中，我们用代入法或用加减法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其它方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
如果方程组中没有一个未知数的系数是相等或是互为相反数的，我们应该怎样做？现在我们自己在导学案上完成例2，完成后同桌交流。
例2：解方程组
能否对方程组中的两个方程进行变形，把这两个方程的某个未知数的系数化为相等或互为相反数，进而求解。
通过上面的例题教学，你认为解二元一次方程组的基本思路是什么？用加减法解二元一次方程组的基本步骤有哪些？
【合作探究】
已知方程组
思考：
（1）在上面的这个方程组中，两个方程中的未知数和的系数相同吗？互为相反数吗？能不能直接把这两个方程相加（或相减）消去一个未知数？
（2）能利用等式的性质使这两个方程的某一个未知数的系数变为相同或互为相反数吗？如何变化？
（3）尝试求出这个方程组的解.求解完后与课本P79例2的解答过程对照.
（4）反思：在上面给出的方程中，能通过变形消去未知数吗？需怎样变化？尝试写出解答过程.
归纳小结
加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元
主要步骤有：
变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减----消去一个元
求解----分别求出两个未知数的值
写解----写出方程组的解
【展示点拨】
1、用加减消元法解下列方程组
2、思维拓展：
（1）如果5x3m-2n－2yn-m=0是二元一次方程，则m= ,n=
（2）解方程组
归纳总结：用加减消元法解方程组的一般步骤：
(1) 将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数______或_______的两个方程。
(2) 把这两个方程______或______，消去一个未知数。
(3) 解得到的___________方程。
(4) 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。
(5) 确定原方程组的解。
【当堂训练】
一、基础知识的应用
1、方程组中，x的系数特点是______；方程组中，y的系数特点是________.这两个方程组用______法解比较方便。
2、用加减法解下列方程组
（1） （2） （3）
二、能力提高训练
1、小明和小华同时解方程组,小明看错了m，解得,小华看错了n，解得,你能知道原方程组正确的解吗？
2、先读阅读材料，然后解方程组
材料：解方程组
由①得③，把③代入②，得 ，解得
把代入③得，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用这种方法解答.
请用这种方法解方程组
教学反思：
课后作业：课本P34
7.2二元一次方程组的解法
第五课时
【教学目标】
1.进一步理解解方程组的消元思想.
2.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
【合作探究】
1、灵活消元
（1）整体代入法
例1.解方程组
（2）先消常数法
例2. 解方程组
（3）设参代入法
例3. 解方程组
（4）换元法
例4. 解方程组
整体加减法
例5. 解方程组
【当堂训练】
1、解方程组
2 、若方程组与有公共的解，求a，b.
3、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。
4、思考：⑴、已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程①中的a，得方程组的解为，而乙看错方程②中的b，得到方程组的解是，
请求a2008+（-b）2009的值.
教学反思：
课后作业：补充：见小黑板
7.2二元一次方程组的解法
第六课时
【教学目标】
解三元一次方程组的基本思想。
解三元一次方程组的方法。
【预习检测】
练习：在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“√”，否则打“×”。
（1）2x+3y=12－z ( ) (2) xy－z=14 （ ）
（3） ( ) (4) ( )
【自主学习】
知识点一 ___________________________________________________叫三元一次方程（组）。
知识点二 用消元法解三元一次方程组
二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化____元为_____元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？
【合作探究】
一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数
例1．解方程组
分析：方程组中含的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数.
【展示点拨】
1、解方程组
（2）
二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.
例2．解方程组
三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.
例3．解方程组
四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元
1．整体代入法
即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.
例4．解方程组
分析：注意到①中的，这就与②有了联系，因此，①可化为，把②整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值.
解
2．整体加减法
例5．解方程组
3．整体改造
例6．解方程组
4．参数法
例7．解方程组
.
教学反思：
课后作业：
7.3 实际问题与二元一次方程组
第一课时
教学重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。
教学难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组。
预习检测：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2. 二元一次方程组解法有
3列方程组解决实际问题的基本思想
合作探究
探究一
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗
加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加
工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分 析
设应安排x天精加工，y天粗加工，填表
?
工作时间
工作效率
工作量
精加工
?
?
?
粗加工
?
?
?
题目中蕴含着哪些相等关系？
(1)精加工天数与粗加工天数的和等于 天。
(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为 吨。
精加工蔬菜可获利 粗加工蔬菜可获利
议一议
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小
车一次可以运货35吨。求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
分析 解决此题的关键是什么？
如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？
指导学生分析出等量关系。
2辆大车一次运货 3辆小车一次运货＝
5辆大车一次运货 6辆小车一次运货＝
小结
利用二元一次方程组解决实际问题的过程：
列方程组解决实际问题的一般步骤：
⑴、_____________________________________ ⑵、_________________________________
⑶、_____________________________________ ⑷、_________________________________
⑸、_____________________________________ ⑹、_________________________________
⑺、_____________________________________
当堂训练：
教科书第34页练习l、2、3。
第3题：首先让学生明白什么叫充分利用这船的载重量与容量，让学生找出两个等量关系。
课后作业：
1．教科书第35页，习题7.2第2、3、4题。
7.3 实践与探索
第二课时
教学目的：通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
教学重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。
教学难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。
教学过程：
预习检测：
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?
列二元一次方程组解决实际问题的步骤中什么是关键?
合作探究：
问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。
学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。
学生有困难，教师加以引导：
1．本题有哪些已知量?
(1) ______________________ (2)。______________________
(3) ______________________
2．求什么?
(1) ______________________?_
（_2）__________________?
3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。
那么可做盒身多少个? __________盒底盖多少个? __________
4．可以找出_______个等量关系。分别是
(1) __________ (2) __________
根据题意，得
解出这个方程组
展示点拨：
某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?
先让学生自主探索，与伙伴交流。
对有困难的学生教师加以引导。(提问式)
1．本题中有哪些已知量?
(1) _____________________
(2) _____________________；
(3) _____________________；
(4) _____________________
(5) _____________________。
2．求什么?
分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?
因此，列方程组
本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应 给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。
课后作业：
教科书习题7.3，第1题。
教学反思：
7.3 实践与探索
第三课时
教学目的：让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程 中获得体验，得到发展。
教学重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的 数量关系。
教学难点：寻找相等关系。
教学过程：
预习检测：
列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?
合作探究：
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。
请同学们打开课本第35页，阅读问题2。
让学生充分思考，并与伙伴交流后，
探究一 这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?
教师可以作以下引导：
1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长________________与宽________________之间的数量关系吗?
(根据矩形的对边相等，得________________
2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长________________与宽________________的另一个关系式吗?
8个小矩形的面积和＝_______________
大正方形的面积=_______________
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为_______________的小正方形。
探究二
问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
三、做一做。
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。
问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组
问题2：设小明的爸爸前年存了x元，利息税为y元，由题意得：
问题3：设小张家到火车站有x千米，乘公共汽车从小张家到火车站要y小时，由题意得：
当堂训练：
教科书习题7.3第2题
如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
教学反思：
课后作业：
第七章 一次方程组小结与复习(一)
教学目的：
1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。
2．列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。
教学难点：找出等量关系列出二元一次方程组.
教学过程：
预习检测与自主学习：
1.知识结构
二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。
2．注意事项
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
合作探究：
1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。
分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，
2．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。
分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。
根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：
展示点拨：
A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。
分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；
有两个相等关系：
(1)同向而行：______________
(2)相向而行______________
解：设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得
当堂训练：
一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。
分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?
由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.
如何表示原三位数和新三位数?
100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y
2个等量关系是什么?
(1) _____________
(2) _____________
根据题意，得
课后小结：
1．解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。
2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。
教学反思：
课后作业：
第七章 一次方程组小结与复习(二)
教学目的：
通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。
教学重点：列二元一次方程组解应用题。
教学难点：间接设元以及找出2个等量关系。
预习检测与自主学习：
1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?
2．如何设未知数?
我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。
在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。
合作探究：
例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?
分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?
本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。
X公里
A D y公里 B C
甲 上车点 下车点 乙
(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。
(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。
因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。
由以上两个等量关系，得：
=
=
解方程组即可得到方程组的解。
展示点拨：
教科书第39页，第6、7题，第40页，第11、12、13、14题。
当堂训练：
甲、乙两同学解方程组,甲得正确解答为.乙只因抄错c的值,解得,求的值.
?
?
课后小结：
1.二元一次方程及二元一次方程组的有关概念的学习要能与一元一次方程的有关概念联系起来,通过比较的方法来学习.
2.二元一次方程组的解法很多,但它的基本思想是通过把二元化为一元（消元）,把未知转化为已知的化归思想.体会消元的思想,把复杂问题转化为简单问题来处理.
教学反思：
课后作业：
?