浠水县2023-2024学年高二上学期期中质量检测
数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．已知，若与是共轭复数，则（ ）
A． B． C．2 D．5
2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．或3
4．若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．3 B． C． D．1
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．3 C． D．
7．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与互为对立事件
C．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
10．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为 D．向量在上的投影向量为
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
12．如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（ ）
A．将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥
B．平面与平面所成锐二面角的余弦值是
C．当取得最大值时，三棱锥的体积是
D．当取得最小值时，二面角平面角的正切值是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知三点共线，则 ．
14．已知点，点，则直线的倾斜角为 ．
15．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .
16．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求点到边的距离.
18．（12分）如图，在长方体中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，.
(1)证明：；
(2)求到平面的距离；
19．（12分）如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点．
(1)求中点M的轨迹方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
20．（12分）古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
样本分数段
频数 5 10 20 a 25 10
频率 0.05 0.1 0.2 b 0.25 0.1
(1)求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
21．（12分）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知两定点，动点N满足．
(1)求动点N的方程；
(2)如图，过点）且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D，的中点为E，求面积的取值范围．浠水县2023-2024学年高二上学期期中质量检测
数学答案
1．A【详解】由题设，与是共轭复数，所以.
故选：A
2．C【详解】当时，方程为，倾斜角为，当时，直线的斜率，
因为，则，所以；综上所述：线的倾斜角的范围是.故选：C．
3．C【详解】因为，，由可得且，解得，故选：C.
4．B【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.故选：B
5．B【详解】不超过12的质数有，任取两个不同数有，共10个，其中和为偶数的结果有，共6个，所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为.故选：B
6．A【详解】如图，在线段上取点，使得，，在线段上取点，使得，，连接，设分别为的中点，连接，
由题意可得，，，，平面，则，连接，则，以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，则可取，
则点到平面的距离为，又，所以三棱锥的体积为.故选：A.
7．A【详解】连接、，依题意可得，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．设平面的法向量为，则，得，取，得，易得与共线的一个向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．故选：A
8．B【详解】取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，，， ，，，，，
，，，，三棱锥中， 为直角三角形，所以，因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为，，，，，，共面，，，， ，平面，，平面，平面，点的轨迹为矩形的四边，如图所示，，为平面的法向量，则球心到平面的距离为，球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为.故选：B
9．CD【详解】A.甲胜的概率为表示甲每次获胜的可能性都是，但不一定比赛5场，甲胜3场，故A错误；B. 事件与都包含“向上的点数为1”这个事件，故不是对立事件，故B错误；
C.由频率的概念可知抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，故C正确；
D.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性，随着实验次数的改变而改变，当实验次数相当大时，频率非常接近概率，而概率是事件本身的属性，不随实验次数的多少而改变，是定值，故D正确.
故选：CD
10．BD【详解】记，，对于A，，故A错误；对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD．
11．BCD【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，整理得，而点的轨迹方程为，于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，射线是的角平分线，C正确；对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，则，整理得，又，联立解得或，D正确.故选：BCD
12．ABD【详解】对于A选项，连接、，则为的中点，由正四棱台的几何性质可知四边形为等腰梯形，在等腰梯形中，，，，又因为为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
同理可知，，所以，将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥，A对；对于B选项，设上底面的中心为，由正四棱台的几何性质可知平面，又因为四边形为正方形，，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，故平面与平面所成锐二面角的余弦值是，B对；对于C选项，，由A选项可知，，则为等腰三角形，故当点与点或点重合时，取最大值，此时取最大值，当点与点重合时，三棱锥不存在，C错；
对于D选项，当点为线段的中点时，取最小值，此时取最小值，
此时点，设平面的法向量为，，，则，取，则，
易知平面的一个法向量为，所以，，
则，故，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为，D对.故选：ABD.
13．0【详解】由题意可知：，由三点共线可知.故答案为：0
14．【详解】设直线的倾斜角为，则，所以直线的倾斜角为；故答案为：.
15．【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，
因为，所以，所以，，
令，，所以，，则点到直线的距离为.故答案为：
16． 【详解】由已知可得所在的圆的方程为，设，故可看作点到直线与直线距离之和的5倍，因为的取值与x、y无关，
所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时，
点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间，
当直线与圆相切时，，解得（舍去），或，
所以.故答案为：.
17．【详解】（1）因为点C是直线与直线的交点，由，得，即点坐标为，所以边所在直线的方程为，即.
故边所在直线的方程为.
（2）因为边上的高线所在直线方程为，可设直线方程为，
因为点在直线上，所以，解得.所以直线的方程为.
因为边上的中线所在直线方程为，由，得，即点D坐标为.由（1）知，边所在直线的方程为，所以点D到直线的距离.
18．【详解】（1） 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
，
又，不在同一条直线上，.
（2）设平面的法向量，又，则，
令，则，∴，又，
所以到平面的距离为.
19．【详解】（1）由题意，存在且，∵M为中点，∴，∴点M的轨迹是以为直径的圆（除去原点），∴圆心为，半径为，则点M的轨迹方程为.
（2）由，得，
，设，则，
，又，，
，即，则，
即，解得或，又，，得，
，
则，故舍去，符合题意，综上，存在实数使得.
20．【详解】（1）解：（1）由，解得，则，由，所以，由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数为 ．
（2）解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
21．【详解】（1）由已知，有，且，平面，所以平面，因为平面，所以.在Rt中，，所以.
因为，所以.且，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1），所以为二面角的平面角，，因为为的中点，所以，， ，，，如图，以为坐标原点，分别以为轴 轴正方向建立空间直角坐标系.
则.设，则,.设平面的一个法向量，由，得，令，则，所以.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍）.因此，当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
22．【详解】（1）设动点坐标为，则，，又知，则，得，故动点N的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以，直线的方程为，点的坐标为，所以的面积；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
当时，直线的方程为，直线的方程为，直线与圆不相交，此时不存在，舍去；
当时，直线，由得，所以．
因为，所以．因为，，所以，所以E点到直线的距离即M点到直线的距离，所以的面积，令，则，所以，
因为，所以，而函数在上单调递减，故，所以，
综上可得，面积的取值范围是．
