2.2 二次函数的图象与性质第2课时（同步课件）31张ppt

北师大版 数学 九年级下册
第2课时
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
复习回顾
y＝x2
y＝－x2
图象
位置开口方向
对称性
顶点和最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质：
一、创设情境，引入新知
形如y=ax2和y=ax2+c的二次函数的图象与性质是怎样的呢？它们的图象与性质和y=x2（y=-x2）会有什么关系呢？
本节课我们将继续探究.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
二、自主合作，探究新知
探究一：二次函数y=ax2的图象与性质
画出函数y=2x2的图象.
（1）完成下表：
x
···
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
···
y
···
···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
（2）在右图y=2x2中画出的图象.
描点，连线.
二、自主合作，探究新知
观察思考
（1）二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条开口向上的抛物线.
（3）二次函数y=2x2的图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？
y轴就是它的对称轴，顶点坐标是（0，0）.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同.
不同点：y=2x2的图象比y=x2的图象的开口小.
（2）二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？
想一想：在同一直角坐标系中画出二次函数????=????????????????的图象，它与????=????????， ????=????????????的图象有什么相同和不同？
?
二、自主合作，探究新知
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当a>0时，a的值越大，开口越小.
y=ax2的开口大小与a（a＞0）的大小有什么关系？
相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同.
不同点：它们的开口大小不同，????=????????????????，y=x2，y=2x2开口依次变小.
?
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是( 　)
A．它的开口方向是向下
B．当x<0时，y随x的增大而减小
C．它的对称轴是x＝2
D．当x＝0时，y有最大值是0
B
二、自主合作，探究新知
做一做：在同一直角坐标系中，画出函数 ????=????????????????? ，????=????????????? 的图象．
?
x
···
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
0
···
解：列表如下：
描点、连线.
二、自主合作，探究新知

x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
????=?????????
?
????=?????????????
?
????=?????????????????
?
相同点：都是位于x轴下方开口向下的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同.
（1）观察二次函数????=????????????????? ，?????=?????????????的图象与 ????=?????????的图象有什么相同和不同？
?
观察思考
不同点：开口大小不同.????=????????????????? ，????=?????????，?????=?????????????图象开口依次变小.
?
二、自主合作，探究新知
（2）y=ax2的开口大小与a（a＜0）的绝对值大小有什么关系？
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
归纳：在二次函数y=ax2（a≠0）中，a的绝对值越大，开口越小.

x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
????=?????????
?
????=?????????????
?
????=?????????????????
?
例2：把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）
（1）y=3x2的图象是_______；
（2）y=????????x2的图象是_______；
（3）y=-x2的图象是_______；
（4）y=????????x2的图象是_______．
?
二、自主合作，探究新知
③
①
④
②
典型例题
想一想：观察下列图象，抛物线????=????????????与????=?????????????（????>????)的关系是什么？
?
x
y
O
????=?????????????
?
????=????????????
?
二、自主合作，探究新知
抛物线????=????????????与????=?????????????（????>????)的二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
位置与开口
对称性
顶点最值
增减性
二、自主合作，探究新知
x
y
O
x
y
O
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x=0
顶点是原点（0，0）
在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
知识要点
当????=????时，????最小值=????
?
当????=????时，????最大值=????
?
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
你是怎样画的？
二、自主合作，探究新知
探究二：二次函数y=ax2+c的图象与性质
解：先列表：
x
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
9
5.5
3
1
3
5.5
9
－1
7
3.5
1
1
3.5
7
再描点，连线.
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
二、自主合作，探究新知
议一议：（1）抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
二次函数y=2x2， y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是开口向上的抛物线，并且形状相同，只是位置不同.
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
y = 2x2
知识要点
二、自主合作，探究新知
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
二、自主合作，探究新知
例3：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　 　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
典型例题
二、自主合作，探究新知
议一议：（2）抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2 x2
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
向上
(0,0)
y轴
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(3)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？
当x=0时，y最小值=0
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
二、自主合作，探究新知
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
②平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
①描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
二、自主合作，探究新知
二次函数 y=ax2+c的性质
y=ax2+c
a＞0
a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
当x=0时，y最大值=c
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
（0,c）
知识要点
2.函数y=x+1、y=?????????、y=x2中，当x>0时，y随x增大而增大的函数共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
?
1.下列关于抛物线 ， ， 的说法：①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点； ③都以y轴为对称轴；④开口最大的是 ．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、即学即练，应用知识
C
D
3.已知二次函数y=ax2的图象如图所示则下列点的坐标有可能在反比例函数y=????????的图象上的是( )
A.(-1，2) B.(1，-2) D.(2，-3) C.(2，3)
?
三、即学即练，应用知识
C
4.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
向上
向下
y轴
y轴
y轴
有最高点
有最低点
有最高点
(0,0)
(0,3)
(0,-2)
6.抛物线?????=? ????????x2+????的顶点坐标是 ，时对称轴是 ，在对称轴的左侧，????随????的增大而 ；当????= 时，y有最 值是 .它可以由抛物线?????=? ????????x2向 平移 个单位得到.
?
5.（1）????=????????????的图象是 ；
（2）????=????????????????的图象是 ；
（3）????=?????????????的图象是 ；
（4）????=?????????????????的图象是 .
?
x
y
O
②
①
③
④
三、即学即练，应用知识
③
①
④
②
y轴
增大
大
(0,2)
2
2
上
0
三、即学即练，应用知识
7.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是__________.
y1＞y2
8.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
y = 2x2－4
9.若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），则c＝＿＿＿，二次函数关系式为＿＿＿＿＿，那么它的图象是由y=-3x2怎样移动得来的？
y=-3x2-5
它是由y=-3x2的图像向下平移5个单位得到的.
-5
四、课堂小结
图象
性质
y=ax2+c（a≠0)与y=ax2的关系
二次函数的图象和性质2
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：c正向上；c负向下.
3.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　)
2.下列函数中当x<0时，y随x的增大而减小的函数是( )
A.y=-3x B.y=4x C. ????=????????? D.y=-x2
?
五、当堂达标检测
1.经过原点的抛物线是（ ）
A.y=2x2+x B.y=2(x+1)2 C.y=2x2-1 D.y=2x2+1
A
A
D
6.从y=2x2-3的图象上可以看出，当-1≤x≤2时，y的取值范围是 .
五、当堂达标检测
4.若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y2＞y1
5.已知二次函数y=ax2-2的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式为 .
y=x2-2
-3≤y≤5
7.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
五、当堂达标检测
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
五、当堂达标检测
8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
教材习题2.3；　　　　
六、布置作业