13.2 三角形全等的判定（课时4）同步练习 （含解析）2023-2024学年华东师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.2 三角形全等的判定（课时4）同步练习 （含解析）2023-2024学年华东师大版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 205.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-09 07:32:36 | ||
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文档简介
13.2 三角形全等的判定
课时4 角角边
一、基础巩固
知识点1 判定两三角形全等的定理:角角边
1.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:①∠A=∠D;②AC=DB;③AB=DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是 (只填序号).
3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:△ADE≌△CFE.
知识点2 “角角边”的运用
4.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为 ( )
A.3 B.5 C.6 D.7
5.课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,每块砌墙用的砖块厚度为8 cm,小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为 cm.
6.如图,AC平分∠BAE,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
二、能力提升
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=5,则CH的长是 ( )
A.1 B. C. D.2
2.△AEB和△AFC如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B= ∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中一定正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
4.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ABC的平分线交CD于点G,交AC于点E,GF∥AC交AB于点F,连接EF.
求证:(1)BF=BC;
(2)EF⊥AB.
5.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.
6.如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△AFE.
(2)若AD=2,BC=6,求AB的长.
7.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF,EF |BE-AF|(填“>”“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件: ,可以使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
参考答案
一、基础巩固
1.B 【解析】 在甲中,边a,c的夹角不是50°,所以甲不符合题意;在乙中,两边分别为a,c且夹角为50°,符合“S.A.S.”,所以乙符合题意;在丙中,两角分别是50°,72°,且72°角对的边是a,符合“A.A.S.”,所以丙符合题意.故选B.
2.② 【解析】 已知∠ABC=∠DCB,且BC=CB,若添加①∠A=∠D,则可由“A.A.S.”判定△ABC≌△DCB;若添加 ②AC=DB,不能判定△ABC≌△DCB;若添加③AB=DC,则可由“S.A.S.”判定△ABC≌△DCB.故答案为②.
3.【解析】 ∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F(两直线平行,内错角相等).
在△ADE与△CFE中,
∵∠A=∠FCE(已证),
∠ADE=∠F(已证),
DE=FE(已知),
∴△ADE≌△CFE(A.A.S.).
4.B 【解析】 ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+
∠D=90°,∴∠A=∠C. ∵∠A=∠C,∠AFB=∠CED,AB=CD,∴△ABF≌△CDE(A.A.S.),∴AF
=CE=4,DE=BF=3.∵EF=2,∴AD=AF+DF= AF+(DE-EF)=4+(3-2)=5.故选B.
5.56 【解析】 ∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=
90°,∴∠ACD+∠BCE= 90°.∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB(A.A.S.),∴CD=BE,AD=CE.∵DE=CD+CE, ∴DE= BE+AD=24+32=56(cm),∴两个墙脚之间的距离DE的长为56 cm.
6.【解析】 ∵AC平分∠BAE(已知),
∴∠BAC=∠DAE(角平分线的定义).
在△BAC和△DAE中,
∵∠BAC=∠DAE(已证),∠C=∠E(已知),AB=AD(已知),
∴△BAC≌△DAE(A.A.S.),
∴BC=DE(全等三角形的对应边相等).
7.【解析】 (1)∵点D为BC的中点(已知),∴BD=CD(中点的定义).
∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知),∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义).
在△BDE和△CDF中,
∵∠DEB=∠DFC(已证),∠B=∠C(已知),BD=CD(已证),
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
(2)∵∠BDE=40°(已知),
∴∠B=90°-∠BDE=50°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠C=∠B=50°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°(三角形内角和定理).
二、能力提升
1.D 【解析】 ∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEH=90°.又∵∠AHE=∠CHD,∴∠BAD=
∠BCE.∵∠EAH=∠ECB, ∠AEH=∠CEB,EH=EB,∴△HEA≌△BEC(A.A.S.),∴EC=AE=5,则CH=EC-EH=AE-EH=5-3=2.故选D.
2.B 【解析】 在△ABE和△ACF中,∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(A.A.S.),∴BE=CF, ∠BAE=∠CAF,∴∠CAF-∠BAC=∠BAE-∠BAC,∴∠1=∠2.∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC,又∵∠NAC=∠MAB, ∠C=∠B,∴△ACN≌△ABM(A.S.A.).由题中条件不能证明CD=DN.故选B.
3.50 【解析】 ∵BG⊥FH, EF⊥FH,∴∠EFA=∠BGA=90°,∴∠EAF+∠AEF=90°.
∵AE⊥AB,∴∠EAF+∠BAG= 90°,∴∠AEF=∠BAG.又∵AE=AB,∠AFE=∠BGA,∴△AEF≌△BAG(A.A.S.),∴AG=EF=6,AF=BG=3.同理可得△BCG≌△CDH(A.A.S.),∴CG=DH=4,CH=
BG=3,∴S=×(4+6)×(3+3+4+6)-×3×6×2-×3×4×2=50.
4.【解析】 (1)∵FG∥AC(已知),
∴∠BFG=∠A(两直线平行,同位角相等).
∵∠ACB=90°,CD⊥AB(已知),
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCG=∠A=∠BFG.
∵BG平分∠ABC(已知),
∴∠CBG=∠FBG(角平分线的定义).
在△BCG和△BFG中,
∵∠CBG=∠FBG(已证),
∠BCG=∠BFG(已证),
BG=BG(公共边),
∴△BCG≌△BFG(A.A.S.),
∴BF=BC(全等三角形的对应边相等).
(2)在△BEF和△BEC中,
∵BF=BC(已证),
∠FBE=∠CBE(已证),
BE=BE(公共边),
∴△BEF≌△BEC(S.A.S.),
∴∠EFB=∠ECB=90°(全等三角形的对应角相等),∴EF⊥AB.
5.【解析】 ∵FB=CE(已知),∴BC=EF(等式的性质).
∵AB∥ED,AC∥FD(已知),
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等).
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC=∠DEF(已证),
BC=EF(已证),
∠ACB=∠DFE(已证),
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.),
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
在△AOB和△DOE中,
∵∠AOB=∠DOE(对顶角相等),
∠ABO=∠DEO(已证),
AB=DE(已证),
∴△AOB≌△DOE(A.A.S.),
∴OA=OD,OB=OE(全等三角形的对应边相等),
∴AD与BE互相平分.
6.【解析】 (1)∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA(已知),
∴∠BAE=∠FAE,∠ABF=∠EBC(角平分线的定义).
∵AD∥BC(已知),
∴∠EBC=∠F(两直线平行,内错角相等),
∴∠ABE=∠F(等量代换).
在△ABE和△AFE中,
∵∠ABE=∠F(已证),
∠BAE=∠FAE(已证),
AE=AE(公共边),
∴△ABE≌△AFE(A.A.S.).
(2)∵△ABE≌△AFE(已证),
∴BE=EF(全等三角形的对应边相等).
在△BCE和△FDE中,
∵∠EBC=∠F(已证),
BE=FE(已证),
∠BEC=∠FED(对顶角相等),
∴△BCE≌△FDE(A.S.A.),
∴BC=DF(全等三角形的对应边相等),
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB,即AD+BC=AB.
∵AD=2,BC=6,∴AB=8.
7.【解析】 (1)①= =
∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF(等式的性质).又∵CA=BC(已知),∠BEC=∠CFA(已知),∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|.
②∠α+∠BCA=180°
证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α(三角形内角和定理).
∵∠BCA=180°-∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA(等量代换).
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA(已知),∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),
又∵EF=|CF-CE|,∴EF=|BE-AF|.
(2)猜想:EF=BE+AF.
∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA(已知),
∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°(平角的定义),
∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°(三角形内角和定理),
∴∠BCE=∠CAF.
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,EC=FA(全等三角形的对应边相等),
∴EF=EC+CF=BE+AF.
课时4 角角边
一、基础巩固
知识点1 判定两三角形全等的定理:角角边
1.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:①∠A=∠D;②AC=DB;③AB=DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是 (只填序号).
3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:△ADE≌△CFE.
知识点2 “角角边”的运用
4.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为 ( )
A.3 B.5 C.6 D.7
5.课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,每块砌墙用的砖块厚度为8 cm,小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为 cm.
6.如图,AC平分∠BAE,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
二、能力提升
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=5,则CH的长是 ( )
A.1 B. C. D.2
2.△AEB和△AFC如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B= ∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中一定正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
4.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ABC的平分线交CD于点G,交AC于点E,GF∥AC交AB于点F,连接EF.
求证:(1)BF=BC;
(2)EF⊥AB.
5.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.
6.如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△AFE.
(2)若AD=2,BC=6,求AB的长.
7.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF,EF |BE-AF|(填“>”“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件: ,可以使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
参考答案
一、基础巩固
1.B 【解析】 在甲中,边a,c的夹角不是50°,所以甲不符合题意;在乙中,两边分别为a,c且夹角为50°,符合“S.A.S.”,所以乙符合题意;在丙中,两角分别是50°,72°,且72°角对的边是a,符合“A.A.S.”,所以丙符合题意.故选B.
2.② 【解析】 已知∠ABC=∠DCB,且BC=CB,若添加①∠A=∠D,则可由“A.A.S.”判定△ABC≌△DCB;若添加 ②AC=DB,不能判定△ABC≌△DCB;若添加③AB=DC,则可由“S.A.S.”判定△ABC≌△DCB.故答案为②.
3.【解析】 ∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F(两直线平行,内错角相等).
在△ADE与△CFE中,
∵∠A=∠FCE(已证),
∠ADE=∠F(已证),
DE=FE(已知),
∴△ADE≌△CFE(A.A.S.).
4.B 【解析】 ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+
∠D=90°,∴∠A=∠C. ∵∠A=∠C,∠AFB=∠CED,AB=CD,∴△ABF≌△CDE(A.A.S.),∴AF
=CE=4,DE=BF=3.∵EF=2,∴AD=AF+DF= AF+(DE-EF)=4+(3-2)=5.故选B.
5.56 【解析】 ∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=
90°,∴∠ACD+∠BCE= 90°.∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB(A.A.S.),∴CD=BE,AD=CE.∵DE=CD+CE, ∴DE= BE+AD=24+32=56(cm),∴两个墙脚之间的距离DE的长为56 cm.
6.【解析】 ∵AC平分∠BAE(已知),
∴∠BAC=∠DAE(角平分线的定义).
在△BAC和△DAE中,
∵∠BAC=∠DAE(已证),∠C=∠E(已知),AB=AD(已知),
∴△BAC≌△DAE(A.A.S.),
∴BC=DE(全等三角形的对应边相等).
7.【解析】 (1)∵点D为BC的中点(已知),∴BD=CD(中点的定义).
∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知),∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义).
在△BDE和△CDF中,
∵∠DEB=∠DFC(已证),∠B=∠C(已知),BD=CD(已证),
∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
(2)∵∠BDE=40°(已知),
∴∠B=90°-∠BDE=50°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠C=∠B=50°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°(三角形内角和定理).
二、能力提升
1.D 【解析】 ∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEH=90°.又∵∠AHE=∠CHD,∴∠BAD=
∠BCE.∵∠EAH=∠ECB, ∠AEH=∠CEB,EH=EB,∴△HEA≌△BEC(A.A.S.),∴EC=AE=5,则CH=EC-EH=AE-EH=5-3=2.故选D.
2.B 【解析】 在△ABE和△ACF中,∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(A.A.S.),∴BE=CF, ∠BAE=∠CAF,∴∠CAF-∠BAC=∠BAE-∠BAC,∴∠1=∠2.∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC,又∵∠NAC=∠MAB, ∠C=∠B,∴△ACN≌△ABM(A.S.A.).由题中条件不能证明CD=DN.故选B.
3.50 【解析】 ∵BG⊥FH, EF⊥FH,∴∠EFA=∠BGA=90°,∴∠EAF+∠AEF=90°.
∵AE⊥AB,∴∠EAF+∠BAG= 90°,∴∠AEF=∠BAG.又∵AE=AB,∠AFE=∠BGA,∴△AEF≌△BAG(A.A.S.),∴AG=EF=6,AF=BG=3.同理可得△BCG≌△CDH(A.A.S.),∴CG=DH=4,CH=
BG=3,∴S=×(4+6)×(3+3+4+6)-×3×6×2-×3×4×2=50.
4.【解析】 (1)∵FG∥AC(已知),
∴∠BFG=∠A(两直线平行,同位角相等).
∵∠ACB=90°,CD⊥AB(已知),
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCG=∠A=∠BFG.
∵BG平分∠ABC(已知),
∴∠CBG=∠FBG(角平分线的定义).
在△BCG和△BFG中,
∵∠CBG=∠FBG(已证),
∠BCG=∠BFG(已证),
BG=BG(公共边),
∴△BCG≌△BFG(A.A.S.),
∴BF=BC(全等三角形的对应边相等).
(2)在△BEF和△BEC中,
∵BF=BC(已证),
∠FBE=∠CBE(已证),
BE=BE(公共边),
∴△BEF≌△BEC(S.A.S.),
∴∠EFB=∠ECB=90°(全等三角形的对应角相等),∴EF⊥AB.
5.【解析】 ∵FB=CE(已知),∴BC=EF(等式的性质).
∵AB∥ED,AC∥FD(已知),
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等).
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC=∠DEF(已证),
BC=EF(已证),
∠ACB=∠DFE(已证),
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.),
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
在△AOB和△DOE中,
∵∠AOB=∠DOE(对顶角相等),
∠ABO=∠DEO(已证),
AB=DE(已证),
∴△AOB≌△DOE(A.A.S.),
∴OA=OD,OB=OE(全等三角形的对应边相等),
∴AD与BE互相平分.
6.【解析】 (1)∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA(已知),
∴∠BAE=∠FAE,∠ABF=∠EBC(角平分线的定义).
∵AD∥BC(已知),
∴∠EBC=∠F(两直线平行,内错角相等),
∴∠ABE=∠F(等量代换).
在△ABE和△AFE中,
∵∠ABE=∠F(已证),
∠BAE=∠FAE(已证),
AE=AE(公共边),
∴△ABE≌△AFE(A.A.S.).
(2)∵△ABE≌△AFE(已证),
∴BE=EF(全等三角形的对应边相等).
在△BCE和△FDE中,
∵∠EBC=∠F(已证),
BE=FE(已证),
∠BEC=∠FED(对顶角相等),
∴△BCE≌△FDE(A.S.A.),
∴BC=DF(全等三角形的对应边相等),
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB,即AD+BC=AB.
∵AD=2,BC=6,∴AB=8.
7.【解析】 (1)①= =
∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF(等式的性质).又∵CA=BC(已知),∠BEC=∠CFA(已知),∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|.
②∠α+∠BCA=180°
证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α(三角形内角和定理).
∵∠BCA=180°-∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA(等量代换).
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA(已知),∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),
又∵EF=|CF-CE|,∴EF=|BE-AF|.
(2)猜想:EF=BE+AF.
∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA(已知),
∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°(平角的定义),
∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°(三角形内角和定理),
∴∠BCE=∠CAF.
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA(已知),
∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),
∴BE=CF,EC=FA(全等三角形的对应边相等),
∴EF=EC+CF=BE+AF.