13.2 三角形全等的判定（课时2）同步练习（含解析） 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

13.2　三角形全等的判定
课时2　边角边
一、基础巩固
知识点1 判定三角形全等的基本事实:边角边
1.如图,AC和BD相交于O点.若OA=OD,用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC,还需的条件为 ( 　)
A.AB=DC B.OB=OC
C.∠C=∠B D.∠AOB=∠DOC
2.如图,要用“S.A.S.”证明△ABC≌△ADE.若已知AB=AD,AC=AE,则还需要的条件为　　　　　. (用图中的字母表示)
3.如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC.
4.已知:如图,A,C,F,D在同一条直线上,且AB∥DE,AF=DC,AB=DE.求证:△ABC≌△DEF.
知识点2 “边角边”的运用
5.如图,MP⊥NP,MQ为△NMP的角平分线,点T在MN上,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不一定正确的是(　　)
A.∠PMN=∠NQT B.∠MQT=∠MQP
C.∠QTN=90° D.∠NQT=∠MQT
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,E点在BC上,CE=CA,连接DE.若∠A=55°,则∠BDE=　　　　°.
7.如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.
8.某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35 cm.由以上信息能求出CB的长度吗 如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由.
二、能力提升
1.如图,△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF的度数是(　　)
A.75° B.70° C.65° D.60°
2.如图,AB=AC,点D,E分别是AB,AC上一点,AD=AE,BE,CD相交于点M.若∠BAC=60°,∠C= 25°,则∠BMD的大小为 (　　)
A.50° B.65° C.70° D.80°
3.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿ABBCCDDA向终点A运动.设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为 (　　)
A.3 B.5或7 C.7 D.3或7
4.如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C,D,E,F共线.给出下列结论:①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC= ∠EAF;④AB=BC.其中一定正确的是　　　　　.(填序号)
5.如图,方格纸中有4个完全相同的小正方形,则∠1+∠2的度数为　　　　.
6.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一直线上,连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明;(不添加其他字母及线段)
(2)求证:DC⊥BE.
7.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.
【探究与发现】
(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,求证:△ACD≌△EBD.
【理解与应用】
(2)如图2,EP是△DEF的中线.若EF=5,DE=3,则EP的取值范围是　　　　　.
(3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.
参考答案
一、基础巩固
1.B
2.∠BAE=∠DAC(或∠BAC=∠DAE)
3.【解析】　∵DE∥AC(已知),
∴∠EDB=∠A(两直线平行,同位角相等).
在△DEB与△ABC中,
∵DE=AB(已知),∠EDB=∠A(已证),BD=CA(已知),
∴△DEB≌△ABC(S.A.S.).
4.【解析】　∵AB∥DE(已知),
∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
∵AF=CD(已知),
∴AC+CF=DF+CF,∴AC=DF(等式的性质).
在△ABC和△DEF中,
∵AC=DF(已证),∠A=∠D(已证),AB=DE(已知),
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).
5.D　【解析】　∵MQ平分∠PMN,∴∠QMP=∠QMN.在△QMP和△QMT中,MQ=MQ,∠QMP=∠QMT,MP=MT, ∴△QMP≌△QMT(S.A.S.),∴∠MQP=∠MQT,∠QTM=∠P
=90°,故B,C正确.∵∠PMN+∠PQT=360°-90°-90°=180°, ∠NQT+∠PQT=180°,∴∠NQT=∠PMN,故A正确.根据题中所给的条件,无法得出∠NQT=∠MQT,故D不一定正确.故选D.
6.20　【解析】　∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE.在△ACD和△ECD中,∵CA=CE,∠ACD=∠ECD,CD=CD, ∴△ACD≌△ECD(S.A.S.),∴∠CED=∠A=55°.
∵∠ACB=90°,∴∠B=180°-90°-55°=35°,∴∠BDE=∠CED-∠B= 55°-35°=20°.
7.【解析】　在△ABC和△ADC中,
∵AB=AD(已知),∠BAC=∠DAC(已知),AC=AC(公共边),
∴△ABC≌△ADC(S.A.S.),
∴∠BCA=∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°.
8.【解析】　能.
∵O是AB,CD的中点(已知),
∴OA=OB,OC=OD(中点的定义).
在△AOD和△BOC中,
∵OA=OB(已证),∠AOD=∠BOC(对顶角相等),OD=OC(已证),
∴△AOD≌△BOC(S.A.S.),
∴CB=AD(全等三角形的对应边相等).
∵AD=35 cm,∴CB=35 cm.
二、能力提升
1.C　【解析】　∵BD=CE,∠B=∠C=65°,BE=CF,∴△DBE≌△ECF(S.A.S.),∴∠BDE=
∠CEF.∵∠BDE+∠BED= 180°-65°=115°,∴∠BED+∠CEF=115°,∴∠DEF=180°-115°=65°.故选C.
2.C　【解析】　在△ADC与△AEB中,∵AD=AE,∠A=∠A,AC=AB,∴△ADC≌△AEB(S.A.S.),∴∠B=∠C,∠AEB= ∠ADC.∵∠BAC=60°,∠C=25°,∴∠AEB=∠ADC=180°
-∠BAC-∠C=180°-60°-25°=95°,∴∠BMC=∠DME=360°-∠AEB-∠ADC-∠BAC=360°
-95°-95°-60°=110°,∴∠BMD=180°-110°=70°.故选C.
3.D　【解析】　分两种情况讨论:①当BP=CE时,在△ABP与△DCE中,∵AB=DC,∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE, ∴△ABP≌△DCE,由题意得BP=t-2=1,∴t=3;②当AP=CE时,在△ABP与△CDE中,∵AB=CD,∠BAP=∠DCE=90°, AP=CE,∴△ABP≌△CDE,由题意得AP=8-t=1,解得t=7.综上,当t的值为3或7时,△ABP和△DCE全等.故选D.
4.①②③　【解析】　∵∠EAF=∠BAC,∴∠BAF=∠CAE,在△FAB与△EAC中,AF=AE,∠BAF=∠CAE,AB=AC, ∴△FAB≌△EAC(S.A.S.),故①正确;∵△FAB≌△EAC,∴BF=CE,故②正确;∵△FAB≌△EAC,∴∠ABF=∠ACE,又∵∠BDF=∠ADC,∴∠BFC=∠DAC,又∵∠DAC=∠EAF,∴∠BFC=∠EAF,故③正确;由已知条件无法得到AB= BC,故④不一定正确.
5.90°　【解析】　如图,设小正方形的边长为1,在△ABC与△EDA中,AB=ED=1,∠ABC= ∠EDA= 90°,BC=DA=2,∴△ABC≌△EDA,∴∠1=∠EAD,∴∠1+∠2=∠EAD+∠2=90°.
6.【解析】　(1)△ABE≌△ACD.证明如下:
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BAC+∠CAE =∠EAD+∠CAE,∴∠BAE=∠CAD.
在△ABE与△ACD中,
∵AB=AC(已证),∠BAE=∠CAD(已证),AE=AD(已证),
∴△ABE≌△ACD(S.A.S.).
(2)∵△ABE≌△ACD(已证),
∴∠ACD=∠ABE=45°(全等三角形的对应角相等),
又∵∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,
∴DC⊥BE.
7.【解析】　(1)∵AD是△ABC的中线(已知),
∴CD=BD(中线的定义).
在△ACD和△EBD中,
∵CD=BD(已证),∠ADC=∠EDB(对顶角相等),AD=ED(已知),
∴△ACD≌△EBD(S.A.S.).
(2)1如图1,延长EP至点M,使PM=EP,连接DM,则EM=2EP.
∵EP是△EFD的中线(已知),
∴FP=PD(中线的定义).
在△EPF和△MPD中,
∵EP=MP,∠EPF=∠MPD(对顶角相等),FP=DP(已证),
∴△EPF≌△MPD(S.A.S.),
∴DM=EF=5(全等三角形的对应边相等).
在△EMD中,DM-ED∴1(3)如图2,延长FD至点G,使得GD=DF,连接BG,EG.
∵AD是△ABC的中线(已知),∴DC=DB(中线的定义).
在△DFC和△DGB中,
∵DF=DG,∠CDF=∠BDG(对顶角相等),DC=DB(已证),
∴△DFC≌△DGB(S.A.S.),
∴BG=CF(全等三角形的对应边相等).
在△EDF和△EDG中,
∵DF=DG,∠FDE=∠GDE=90°,DE=DE(公共边),
∴△EDF≌△EDG(S.A.S.),
∴EF=EG(全等三角形的对应边相等).
在△BEG中,BG+BE>EG.
∵EF=EG,BG=CF,∴BE+CF>EF.