2023 级高一年级教学测评月考卷（三）
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B D B A C
【解析】
1． A {x | x≥ 2}， B {x | 2≤ x≤ 4}，∴ A B {x | 2≤ x≤ 4}，故选 C．
1
2 cos π sin π 1 1 2 2．因为角 的终边过点 ， ，即3 6
，
2 2
，则 sin = ，故选 A．
1 1 2
4 4
3．易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半
径分别为 r1，r2 ，相同的圆心角为
160 80
，则 ，得 r1 2r2 ，又因为 r1 r2 40，所以r1 r2
r 1 1 1 11 80 ， r2 40 ，该扇形玉雕壁画面积 S 160 r1 80 r2 160 80 80 2 2 2 2
40 4800 (cm2)，故选 D．
4 1 1 1 1．由 2m 9n 36，可得m log2 36， n log9 36 ，所以 log 2 m 2n log2 36 2log9 36
36
1
log36 9 log36 2 log
1
36 3 log36 6 ，故选 B． 2 2
x25 f (x) x 6
x2 x 6≥0， x2 x 6≤0，
．因为函数 ，所以 即 解得 0 x≤ 2 且
ln x ln x
0， x 0且x 1，
x 1，所以 f (x) 的定义域为 (0，1) (1，2]，故选 D．
6 ．∵ y 21 x ax b 的两个零点为 2 ， 3 ，∴ 2 3 a，2 3 b ，∴ a 5，b 6，
∴ y bx2 ax 1 6x22 5x 1，令 6x
2 5x 1 1 0 ，得 x 1或 ，故选 B．
6
数学参考答案·第 1 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
7．令 log2 x t ，则 t [ 1，4]，又 log
16
4 2 log4 16 log4 x
2 2 log2 x ，所以原函数可变为x
y t(2 t) (t 1)2 1， t [ 1，4]，所以 ymax 1，ymin 8，所以 f (x) 的值域为[ 8，1]，
故选 A．
8．由题意知，“ x R，使 (m 3)x2 (m 3)x 1 0”是真命题，当m 3 0 ，即m 3时，
m 3 0，
不等式可化为1 0 ，符合题意；当m 3 0 ，即m 3时，有
(m 3)
2 4(m 3) 0，
解得3 m 7，综上，实数 m 的取值范围为3≤m 7，故选 C．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 ABD ACD AC BD
【解析】
9 sin cos 1． ，两边平方得：1 2sin cos 1 12 ，解得：sin cos 0 ，D 正确；
5 25 25
sin 1 cos ，
故 sin ，cos π (0 π) π 异号，因为 ， ，所以 ， ，A 正确；因为 5
2
sin2 cos2 1，
π π sin 0 cos 0 sin 4 cos 3 4结合 ， ，得到 ， ，解得 ， ，故 tan ，B
2 5 5 3
正确，C 错误，故选 ABD．
10．对数函数 f (x) loga x 的图象过定点 (1，0)，故 A 正确；如图 1 所示，
作出函数 y 2x 和函数 y x2 的图象，结合图象可知，函数
f (x) 2x x2 满足 f (2) f (4) 0 ， f ( 1) 0， f (0) 1 0，所以
x1 ( 1，0)，使 f (x1) 0，故函数 f (x) 2
x x2 有且只有三个零点，
故 B 错误；因为 | x |≥0，则 2|x| ≥ 20 1，所以函数 y 2|x|的最小值
图 1
是 1，故 C 正确；把 y 2x 中的 x 用 x替换，得 y 2 x ，则在同一坐
标系中函数 y 2x 与 y 2 x 的图象关于 y 轴对称，故 D 正确，故选 ACD．
数学参考答案·第 2 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
11．因为3a 4b 12，所以 a log312，b log412，a b 0 ，对于 A
1 1
， log
a b 12
3 log12 4
a b log12 12 1，所以 1， a b ab
1 1
，故 A 正确；对于 B， a 4b (a 4b) ab a b
2
4b a 5 5 4b 2 a 9 B C a b ab a b ，故 错误；对于 ， ， (a b)
2
a b a b 2
2 2
4(a b) (a b)(a b 4) 0 ，则 a b 4 > 0，a b > 4 a2 (a b) 4，所以 b2 8，
2 2
故 C 正确；对于 D ， a log312 log33 log3 4 1 log3 4，b log412 log4 4 log4 3
1 log4 3，所以(a 1)
2 (b 1)2 (log3 4)
2 (log 3)24 2 log3 4 log4 3 2，故 D 错误，
故选 AC．
12．对于 A，由题意得 f ( 1.7) 1.7 [ 1.7] 1.7 ( 2) 0.3 ，故 A 错误；对于 B，
f (x 1) (x 1) [x 1] x 1 ([x] 1) x [x] f (x) ，故 B 正确；对于 C，由选项 B 可
知， f (x) 是周期为 1 的周期函数，则当 x 0 时， f (0) 0 [0] 0，当0 x 1时，
f (x) x [x] x 0 x (0，1)，当 x 1时， f (1) 1 [1] 1 1 0 ，综上， f (x) 的值域
为[0，1) ，即 f (x) 的最小值为 0，无最大值，故 C
错 误 ； 对 于 D ， 由 选 项 C ， 可 知
0，x 0，
f (x) x，0 x 1，且 f (x) 的周期为 1，作出
0，x 1，
y f (x) 与 y x 1的图象，如图 2 所示，由图象 图 2
可知 y f (x) 与 y x 1的图象有无数个交点，故 D 正确，故选 BD．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
2π
答案 6 6 2；( ，0) (1， ) 3
【解析】
13． 120 π 2π 120 rad rad ．
180 3
数学参考答案·第 3 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
14 x y x y 1 3x 1 3x x y 3x 1 1 3x x y x y 4x．∵ ， 都是正数， ，∴
y xy y xy y y x y y x y
y 2 2 4x y 2 6 4x y ≥ ，当且仅当 ，即 y 2x 2 3x 1 时取等号，∴ 的最小
x y x y x 3 y xy
值为 6．
15．设石片第 n 次“打水漂”时的速率为 vn ，则 vn 11.3 0.93
n 1，由11.3 0.93n 1 7.91，得
0.93n 1 0.7 ln 0.7 0.357 ，则 (n 1)ln0.93 ln0.7 ，即 n 1 4.89 ，则 n 5.89，故至
ln 0.93 0.073
少需要“打水漂”的次数为 6．
16．令 f (x) 4x 3x 1 0 ，则 4x 3x 1，故 y 4x 与 y 3x 1交点
个数，即为 f (x) 零点个数，由 y 4x，y 3x 1在定义域上均递增，
且都过 (0，1)，(1，4)，图象如图 3 所示，所以两函数有且仅有 2 个
交点，故 f (x) 有 2 个零点．由 f (x) 0 ，得 4x 3x 1，由上图知
x ( ，0) (1， )．
图 3
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
1 1 1 1
3
= 8 2 1
4 3 2 4
2 3 2 3 3 2 3
解：（Ⅰ）原式 27 4
2 3
2
2
3 1 1
2
3 3
2 2
2 3 3 3 9 9
.……………………………………………（5 分）
3 2 2 2 2 4 4
（Ⅱ）原式 =lg2 lg2 lg5 (lg5)2 e2ln2 lg2 lg5(lg2 lg5) eln4
lg2 lg5 lg(2 5) 4 lg2 lg5 4 lg(2 5) 4
3．……………………………………………………………………………………（10 分）
18．（本小题满分 12 分）
3
解：（Ⅰ）由题知 sin ，……………………………………………………………（2 分）
5
因为 sin2 cos2 1，所以 cos 4 .………………………………………………（4 分）
5
又 α为第二象限角，所以 cos 4 ，…………………………………………………（6 分）
5
数学参考答案·第 4 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
可得 tan sin 3 .…………………………………………………………………（8 分）
cos 4
sin2 3
2 3 4 21
（Ⅱ） sin cos
．………………………………………（12 分）
5 5 5 25
19．（本小题满分 12 分）
a 5
解：（Ⅰ）因为 f (x) x ，且 f ( 2) ，
x 2
所以 a 1，f (x) x 1 . ………………………………………………………………（2 分）
x
该函数为奇函数，理由如下：
易知其定义域为 ( ，0) (0， )，关于原点对称，
f ( x) x 1 x 1 且满足 f (x)， x x
1
所以 f (x) x 为奇函数. ……………………………………………………………（6 分）
x
（Ⅱ）函数 f (x) 在 (1， ) 上是增函数. ………………………………………………（7 分）
证明：取 x1，x2 (1， ) ，且 x1 x2 ，
则 f (x1) f (x2 ) (x
1 1
1 x2 ) (x1 x2 )
x x
2 1
x1 x2 x1x2
(x1 x2 )(x1x2 1) ，……………………………………………………………………（9 分）
x1x2
由 x1，x2 (1， )，且 x1 x2 ，所以 x1 x2 0，x1x2 1，
因此可得 f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )，
……………………………………………………………………………………………（11 分）
即 f (x) 在 (1， ) 上是增函数．………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
a 2x 1
解：（Ⅰ）因为函数 f (x) x 是奇函数， 2 1
x
f ( x) f (x) a 2 1 a 2
x 1
所以 ，即 x x ， 2 1 2 1
a 2x a 2x 1
即 ，即 a 2xx x a 2
x 1，…………………………………………（2 分）
2 1 2 1
数学参考答案·第 5 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
整理得 (a 1)(2x 1) 0，
所以 a 1 0，即 a 1，则 a 3 4，…………………………………………………（4 分）
因为定义域为[ a 3，b]关于原点对称，所以b 4.
……………………………………………………………………………………………（6 分）
2x 1
（Ⅱ）因为 x [1，2]，所以 f (x) x 0 . 2 1
又当 x [1，2]时，mf (x) 1 0有解，
2x 1 2
所以m x 1 x ，x [1，2]，有解. …………………………………………（8 分） 2 1 2 1
因为 x [1，2]，
所以 2x 1 [1 3] 2 2 ， ， ，2 ，…………………………………………………（10 分）
2x 1 3
1 2 5 5所以 x ，3 ，解得m ， 2 1 3 3
即m 5 ， ．………………………………………………………………………（12 分）
3
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意知 2 和 3 是方程 x2 bx c 7 0的两根，
2 3 b， b 1，
所以 解得 ……………………………………………………（3 分）
2 3 c 7， c 1，
2 2
当 x (0，3] x bx c x x 1 1 1时， x 1≥ 2 x 1 1，
x x x x
当且仅当 x 1时，等号成立，…………………………………………………………（5 分）
x2 bx c
所以 的最小值为 1. …………………………………………………………（6 分）
x
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得 y x2 bx c x2 x 1，
对于 x 0，函数 y x2 bx c 的图象恒在函数 y mx 的图象的上方，
等价于 x2 x 1 mx在 x (0， ) 上恒成立，………………………………………（8 分）
x2m x 1 1即 x 1在 x (0， ) 上恒成立，
x x
数学参考答案·第 6 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}
m 则 x
1
1 即可，………………………………………………………………（10 分）
x min
结合（Ⅰ）可得当 x 1时， x 1 1取得最小值 1，所以m 1，
x
所以实数 m 的取值范围为 ( ，1) ．…………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）函数 f (x) kx log4 (4
x 1)(k R)的图象关于 y 轴对称，
即 f (x) 为偶函数，有 f ( x) f (x) ，
即 kx log4 (4
x 1) kx log (4x4 1)，…………………………………………………（2 分）
可得 2kx log (4x4 1) log (4
x
4 1) log4 4
x x，
解得 k 1 ，………………………………………………………………………………（4 分）
2
所以 f (x) 1 x log4 (4
x 1) . ……………………………………………………………（5分）
2
1 x f (x)
（Ⅱ）函数 g(x) 42 m 41 kx 1
log (4x 4 4 +1) 4m 2x 1 4x 4m 2x，……………………………………………………（7 分）
由 x [0，log2 3]，可得 2
x [1，3]，
令 t 2x，t [1，3]，设 g(x) h(t) t2 4mt，t [1，3].…………………………………（9 分）
当 2m≥ 2，即m≥1 ，时， h(t) 的最大值为 h(1) 1 4m；
当 2m 2，即m 1时， h(t) 的最大值为 h(3) 9 12m ．……………………………（11 分）
9 12m，m 1，
综上，g(m) ………………………………………………………（12 分）
1 4m，m≥1.
数学参考答案·第 7 页（共 7 页）
{#{QQABIQIAggCgQAAAARhCQQFKCAGQkBGCCKoOQBAIMAAAQRNABAA=}#}2023级高一年级教学测评月考卷（三）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2
页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，
考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效·
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x≥2}，B={x|x2-2x-8≤0}，则A∩B=
A.{x|x≥-2
B.{xx≥4}
C.{x|2≤x≤4}
D.{x|x≤-2或x≥2}
2已知角a的终边过点o号-sin君引，
则sina的值为
A.、②
②
B.
2
c.-
2
D.
2
3.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深
深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm)如图1所示，则该玉雕壁画的扇面
面积约为
A.1600cm2
160
B.3200em2
C.3350em2
D.4800cm2
30
4.已知2m=9”=36,则
图
2n
A.l0g618
B.
C.1
2
D.log 5
数学·第1页（共4〔)
0000000
5.函数f)=√+6
Inx
的定义域为
A.（1,2]
B.(1,3]
C.(0,1)U(1,3]
D.(0,1)U(1,2]
6.若二次函数y1=x2+ax+b的两个零点为2,3，则二次函数y2=bx2+ax-1的零点是
A-1,6
11
11
C.23
D.-
2’-3
7已知)=(g)6:,分，1可，则代)的值蚊为
16
A.[-8,1]
B.[-1,8]
C.[0,1]
D.[-8,0]
8.已知命题“彐x∈R,使(m-3)x2+(m-3)x+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为
A.m>7
B.3C.3≤m<7
D.m≤3
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项是符合题目要求的、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知0e(0,π)，sin+cos6=5,则下列结论正确的是
4
B.sin=-
C.tan=-
12
4
D.sin0·cos0=-
25
10.下列说法正确的是
A.函数fx)=lgx+1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,1)
B.函数f(x)=2-x2有且只有两个零点
C.函数y=2的最小值是1
D.在同一坐标系中函数y=2与y=2*的图象关于y轴对称
11.已知3“=4=12，则下列选项正确的是
A.a+b=ab
B.a+4b>10
C.a2+b2>8
D.(a-1)2+(b-1)2<2
12.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，
例如[2.3]=2.令函数f(x)=x-[x],以下结论正确的有
A.f(-1.7)=-0.3
B.f(x+1)=f(x)
C.f(x)的最大值为1，最小值为0
D.y=f(x)与y=x-1的图象有无数个交点
数学·第2页（共4页）
0000000
