数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1任意角（共19张ppt）

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5.1.1任意角
第五章 三角函数
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
已知一条射线的起始位置OA：
[注]①在不引起混淆的情况下，“角 ”或“∠ ”可以简写成“ ”;
②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… ;
③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” ( 与﹣ 互为相反角) ;
④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.
⑤角的减法：α－β=α+(﹣β )
一、任意角的概念
（１）中的角是一个正角，它等于750°
角的表示
练习1：分别作出
在直角坐标系中作出下列各角：
对于直角坐标系内的任意一条射线，以它为终边的角并不唯一。
还有没有与 终边相同的角？
能不能用集合的形式将它们表达出来？
二、终边相同的角
与-32°终边相同的角有无数多个，它们与-32°角均相差360°的整数倍，都可以表示成-32°的角与k(k∈Z)个周角的和.
因此与-32°终边相同的所有角可以表示为
β= -32° +k 360°，k∈Z．
与角α终边相同的角的集合S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任何与α终边相同的角，都可以表示成角α与360°的整数倍的和.
四. 终边相同的角
例1. 在0°～360°范围内，找出与角终边相同的角
为了方便研究，在坐标系中讨论角，规定：
(1)使角的顶点与原点重合；
(2)角的始边与X轴的非负半轴重合
(3)终边落在第几象限就称第几象限角
y
x
O
角的终边
角的始边
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边



三、象限角
象限角的集合表示：
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
第一象限角
第三象限角
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角
锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
问题
①钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？
②直角呢？
讨论
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
①锐角：
②小于90°的角：
③第一象限角：
区分几个容易混淆的角
{α| 0°＜α＜90°}
{α|α＜90°}
{α| k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
0°～90°：
{α| 0°≤α< 90°}
练习2.指出它们分别是第几象限角？
405°，－200°，－510°，－50°，310°
O
x
y
－200°
O
x
y
405°
第一象限角
O
x
y
－510°
O
x
y
－50°
310°
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（多选题）练习3.下列说法中错误的是（ ）
A.小于 1800 的角是钝角、直角、锐角
B.始边和终边重合的角是零角
C.钟表的时钟旋转而成的角是负角
D.零角的始边和终边重合
AB
练习4.下列说法中：
①第一象限的角一定不是负角；
②钝角都是第二象限角；
③与-300角终边相同的角都是第四象限角；
④20220角是第二象限角。
其中错误的序号为------
①④
练习5.在-3600到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：
（1）-4800 （2）6400
第三象限角
第四象限角
1）终边在x轴非负半轴上的角的集合
2）终边在x轴非正半轴上的角的集合
3）终边在y轴非负半轴上的角的集合
4）终边在y轴非正半轴上的角的集合
5）终边在x轴上的角的集合
6）终边在y轴上的角的集合
7）终边在坐标轴上的角的集合
四、轴线角
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，这种角称为轴线角。
题型一 终边在某条直线上的角
例2 终边在直线y=x上的角的集合
练习6.终边落在函数 的图象上的角的集合为-------
例3若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【解析】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，当时，
，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
题型二 确定或的终边所在的象限
例4分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

【解析】（1）角的终边可以看作是角的终边，角的终边，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
．
题型三 区域角的表示
练习7如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
【解析】（1）①
；
②．