2024年中考新题型专项点拨
专题01 分段函数专题解读
1.明过程。明确题目中所说的“该过程”具体是指从什么时候开始（起点），到什么时候结束（终点）。所画的过程既不能多也不能少，要完全对应题目要求，一定要认真读题、审题。
2.会分段。此类题画出来的结果是分段函数，而画对线的关键在于确定“关键点”[起点、终点、转折点（跳跃点）的值（或范围）]和各段线的变化特点。一般可按照“起点→线段1→转折点1→线段2→转折点2→线段3→终点”的顺序逐一分析和绘图图像，大致的图像样子就确定了。
3.如何绘制每一段线段？
①认真审题，思考清楚本题考查什么核心知识点。应该用哪章的哪个知识点或哪些章的哪些知识点去解答本题。如力学中有考查力、静摩擦力变化的、影响滑动摩擦力因素的、影响压强（液体压强）大小因素的、影响浮力及浮沉条件的、影响做功大小的、影响功率大小的、影响动能（重力势能、弹性势能）大小的、机械能及其转化的等等。总之，解答本题一定是用我们学过的知识去解决的，而不是漫无目的的、不着边际地去想去画。
②题目是让画出物理量a（因变量，即纵坐标）与物理量b（自变量，即横坐标）的（大致）变化关系图。解题思路就是若能够准确列出二者的函数关系式那就列出准确关系式（一般就是初中学过的一次函数、二次函数、正比例函数居多），即借助受力分析或所学的一些物理公式列出关于因变量的关系式进行动态分析（此关系式可能直接是自变量的表达式，但也只可能和自变量之间存在间隔关系）。
③线段应该是倾斜直线还是曲线？此问题情况多变，牵涉的知识较多，只能根据具体问题具体分析，但题目无法明确界定是直线还是曲线的，或者要运用高中知识才能明确判断的，因此掌握一定的高中对解决此类题型是必要的。
4.检查起点、转折点、终点的值（或范围）要合理。检查起点是否为0？转折点是前后两段线的临界点，在转折点上重点看前后两段线的变化特点是否符合要求，若终点有特定的值或界限，也要准确判断。
例1．如图甲所示，一重为G的小球正在水中加速上浮，最终小球漂浮在水面上，请你在图乙中画出小球所受的浮力与小球运动时间的大致关系图像。
解题要点：步骤一：确定小球运动状态，“加速上浮”意味着小球此时处于非平衡状态，所受合力的方向竖直向 上 ，则小球所受浮力 大于 重力，小球的最终状态是 漂浮 （选填“漂浮”“悬浮”或“沉底”）.
步骤二：分析小球在各个阶段的受力情况.
①阶段一：小球未露出水面前，排开液体的体积 不变 ，水的密度 不变 ，则小球所受浮力 不变 ；
②阶段二：当小球逐渐露出水面时，排开的水的体积 变小 ，受到的浮力 变小 ；
③阶段三：当浮力等于重力时，由于惯性，小球仍然会向上运动，排开的水的体积会继续 变小 ，受到的浮力持续 变小 ；
④阶段四：当小球到达最高点时，所受浮力 小于 重力，小球又向液体中下沉一些，排开液体的体积增大，所受浮力 变大 ；
⑤阶段五：小球最终漂浮在水面上，此时小球受到的浮力 等于 小球的重力.
【答案】
例2.如图13所示，一空瓷碗漂浮在足够深的盛水容器中，现用筷子将空碗缓慢地竖直压入水中并沉入容器底静止.请在坐标上画出从开始压碗直至碗底接触容器底这一过程中，水对容器底的压强p随碗底位置s变化关系的大致图像.（下压过程碗口始终向上，不考虑筷子浸入水中的体积）
【解题要点】分析碗压入水中各个阶段时水面的高度变化.
阶段一：碗口压入水中前，碗排开液体的体积 增大 ，容器内水面上升，水对容器底的压强 增大 .碗为梯形，则下降相同高度，碗多排开液体的体积增大，液面上升的高度 增大 ，水对容器底压强的变化量 增大 .
阶段二：碗口低于水面，水进入碗中，液面均匀下降，水对容器底的压强均匀 减小 .
阶段三：碗完全浸没至水中，排开液体体积不变，水对容器底的压强 不变 .
答案：
例3.如图所示，弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与木块接触但不相连。弹簧原长时其右端位于A点。推动木块压缩弹簧至O点，松手后木块弹出。若给木块施加一个水平的力F，使得木块从O点匀速运动到B点，请画出这一过程中F随位置s变化的大致图像。
【分析】从O点到A点过程中，弹簧要经过平衡位置，即弹力和摩擦力相等，改点定为C点。
在C点左侧，OC段：弹力方向向右且大于向左的摩擦力，要实现物体匀速运动，则施加的外力F必须满足F+f=F弹，即F=F弹-f，随着F弹的减小，F也减小，当F弹等于f时，F减小为0，此时物体经过C点。
在C点右侧，CA段：由于弹力小于摩擦力，所以F弹+F=f，即F=f-F弹，随着F弹逐渐减小，F逐渐增大，达到A点时，F弹为0，此时F=f。
由于物体与弹簧没有相连，所以过了A点后，弹簧不再对物体施加力的作用，因此物体匀速运动时满足F=f。
因此画出如图甲和乙所示的图象。
甲图 考虑力的方向 乙图 不考虑力的方向
【易错、疑难点拨】（1）本题问题上没有专门强调力的大小，所以就存在考虑力的方向与不考虑力的方向两种答案。
（2）根据胡克定律，F弹=kx，有关力F的表达式是F关于s的一次函数，因此画出来的线条为直线。
（3）由于O点可随意定在任何位置，即弹簧的弹力大小不确定，故弹力和摩擦力大小之间没有确切的关系，图象上两个上限值的点大小关系无法确定。
（4）由于第一段线和第二段线的表达式k值相同，所以两段线的斜率是相同的。
【变式1】在原题基础上，将不相连改为相连，其他的不变，则答案又是什么情况？
【分析】在A点之前的图象没有任何变化，过了A点后，由于弹簧与物体是相连的，则此时关于力F的表达式为F=弹+f，随着距离的增大，力F也逐渐增大，且斜率和前一段是相同的。答案：
【变式2】在物体与弹簧相连的前提下，弹簧的弹性势能与距离s之间的大致图象关系。
【分析】由于弹簧的弹性势能表达式为，由于O点和B点是关于A点对称的两点，也是弹性势能最大的两点，随着的逐渐增大，且平方增大的幅度更快，即图象会变得越来越陡，故图象如下图所示：
【变式3】将原题的粗糙接触面改为光滑水平面，物体与弹簧是相连的，则弹力与距离的关系大致图象。
【分析】由于水平面是光滑的，弹力表达式为F=kx，即F是x的一次函数，且OB两点的弹力是相同的，故图象如下所示：
【变式4】在原题的基础上，物体与弹簧不相连，压缩弹簧到O点，由静止释放物体，物体最终运动到B点，将问题改为速度v与距离s关系大致图象。
【分析】OC段中：a向右，且减小，故得到第一段图象；CA段，a向左，且增大，故得到第二段图象，物体离开A点后根据牛顿第二定律可知，a不变，即图象为直线。
【易错、疑难点点拨】由于题目问题是速度与距离的关系，因此OA段和AB段距离应相等。
【变式5】将原题改为光滑水平面上，物体与弹簧不相连，将弹簧压缩到O点，物体从O点以速度v0开始运动到B点，请画出物体的动能随距离变化的关系图象。（提示：弹簧的弹性势能表达式为，其中为弹簧的形变量）
【分析】物体的起始动能不为0，故起点在纵坐标上，弹簧的弹性势能转化为物体的动能，且机械能守恒，所以物体的动能表达式为，两个量构成二次函数关系，得到第一段线，当物体经过A点时，与弹簧分开，后续物体的动能不再变化，故为水平线。因此图象如下所示：
例4．如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
【答案】
变式1：如图甲所示，物块A和弹簧放在粗糙的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从O点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在水平面上运动，最终停在C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
【解析】从B点到物体A处于平衡状态过程中，F合逐渐减小，加速度逐渐减小，物体做加速度减小的加速度运动，平衡点上物体的速度达到最大值。从平衡点到O点过程中，F合=f-F弹，由于F弹逐渐减小，所以F合逐渐增大，物体运动的加速度增大，此过程中物体做加速度增大的减速运动，当物体离开后，弹簧弹力为0，物体只受摩擦力作用，加速度不变，故得到如图所示的图像。
【答案】
变式2：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。将物块A固定在弹簧上，静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，最终运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
【解析】物块在BC两点上速度均为0，当物块离开弹簧时速度达到最大值，物块整个运动过程中物块和弹簧的系统机械能守恒，所以弹簧的压缩量和伸长量相同，故是一个对称的图像。图像如图所示：
变式3：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点过程中，弹簧所受弹力随移动距离变化的大致图像。
【解析】弹簧从B点恢复到原长的过程中，根据胡克定律可知，弹力与形变量比值为一定值，故图像如图所示：
变式4：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点过程中，弹簧所受弹力随时间变化的大致图像。
【解析】弹簧从B点恢复到原长的过程中，根据胡克定律，得，物块A的运动速度先增大，直到离开弹簧后速度不再变化，此时弹力为0，此过程中的比值一直增大，故图像如图所示：2024年中考新题型专项点拨
专题01 分段函数专题解读
1.明过程。明确题目中所说的“该过程”具体是指从什么时候开始（起点），到什么时候结束（终点）。所画的过程既不能多也不能少，要完全对应题目要求，一定要认真读题、审题。
2.会分段。此类题画出来的结果是分段函数，而画对线的关键在于确定“关键点”[起点、终点、转折点（跳跃点）的值（或范围）]和各段线的变化特点。一般可按照“起点→线段1→转折点1→线段2→转折点2→线段3→终点”的顺序逐一分析和绘图图像，大致的图像样子就确定了。
3.如何绘制每一段线段？
①认真审题，思考清楚本题考查什么核心知识点。应该用哪章的哪个知识点或哪些章的哪些知识点去解答本题。如力学中有考查力、静摩擦力变化的、影响滑动摩擦力因素的、影响压强（液体压强）大小因素的、影响浮力及浮沉条件的、影响做功大小的、影响功率大小的、影响动能（重力势能、弹性势能）大小的、机械能及其转化的等等。总之，解答本题一定是用我们学过的知识去解决的，而不是漫无目的的、不着边际地去想去画。
②题目是让画出物理量a（因变量，即纵坐标）与物理量b（自变量，即横坐标）的（大致）变化关系图。解题思路就是若能够准确列出二者的函数关系式那就列出准确关系式（一般就是初中学过的一次函数、二次函数、正比例函数居多），即借助受力分析或所学的一些物理公式列出关于因变量的关系式进行动态分析（此关系式可能直接是自变量的表达式，但也只可能和自变量之间存在间隔关系）。
③线段应该是倾斜直线还是曲线？此问题情况多变，牵涉的知识较多，只能根据具体问题具体分析，但题目无法明确界定是直线还是曲线的，或者要运用高中知识才能明确判断的，因此掌握一定的高中对解决此类题型是必要的。
4.检查起点、转折点、终点的值（或范围）要合理。检查起点是否为0？转折点是前后两段线的临界点，在转折点上重点看前后两段线的变化特点是否符合要求，若终点有特定的值或界限，也要准确判断。
例1．如图甲所示，一重为G的小球正在水中加速上浮，最终小球漂浮在水面上，请你在图乙中画出小球所受的浮力与小球运动时间的大致关系图像。
解题要点：步骤一：确定小球运动状态，“加速上浮”意味着小球此时处于非平衡状态，所受合力的方向竖直向 上 ，则小球所受浮力 大于 重力，小球的最终状态是 漂浮 （选填“漂浮”“悬浮”或“沉底”）.
步骤二：分析小球在各个阶段的受力情况.
①阶段一：小球未露出水面前，排开液体的体积 不变 ，水的密度 不变 ，则小球所受浮力 不变 ；
②阶段二：当小球逐渐露出水面时，排开的水的体积 变小 ，受到的浮力 变小 ；
③阶段三：当浮力等于重力时，由于惯性，小球仍然会向上运动，排开的水的体积会继续 变小 ，受到的浮力持续 变小 ；
④阶段四：当小球到达最高点时，所受浮力 小于 重力，小球又向液体中下沉一些，排开液体的体积增大，所受浮力 变大 ；
⑤阶段五：小球最终漂浮在水面上，此时小球受到的浮力 等于 小球的重力.
【答案】
例2.如图13所示，一空瓷碗漂浮在足够深的盛水容器中，现用筷子将空碗缓慢地竖直压入水中并沉入容器底静止.请在坐标上画出从开始压碗直至碗底接触容器底这一过程中，水对容器底的压强p随碗底位置s变化关系的大致图像.（下压过程碗口始终向上，不考虑筷子浸入水中的体积）
【解题要点】分析碗压入水中各个阶段时水面的高度变化.
阶段一：碗口压入水中前，碗排开液体的体积 增大 ，容器内水面上升，水对容器底的压强 增大 .碗为梯形，则下降相同高度，碗多排开液体的体积增大，液面上升的高度 增大 ，水对容器底压强的变化量 增大 .
阶段二：碗口低于水面，水进入碗中，液面均匀下降，水对容器底的压强均匀 减小 .
阶段三：碗完全浸没至水中，排开液体体积不变，水对容器底的压强 不变 .
例3.如图所示，弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与木块接触但不相连。弹簧原长时其右端位于A点。推动木块压缩弹簧至O点，松手后木块弹出。若给木块施加一个水平的力F，使得木块从O点匀速运动到B点，请画出这一过程中F随位置s变化的大致图像。
【易错、疑难点拨】（1）本题问题上没有专门强调力的大小，所以就存在考虑力的方向与不考虑力的方向两种答案。
（2）根据胡克定律，F弹=kx，有关力F的表达式是F关于s的一次函数，因此画出来的线条为直线。
（3）由于O点可随意定在任何位置，即弹簧的弹力大小不确定，故弹力和摩擦力大小之间没有确切的关系，图象上两个上限值的点大小关系无法确定。
（4）由于第一段线和第二段线的表达式k值相同，所以两段线的斜率是相同的。
【变式1】在原题基础上，将不相连改为相连，其他的不变，则答案又是什么情况？
【变式2】在物体与弹簧相连的前提下，弹簧的弹性势能与距离s之间的大致图象关系。
【变式3】将原题的粗糙接触面改为光滑水平面，物体与弹簧是相连的，则弹力与距离的关系大致图象。
【变式4】在原题的基础上，物体与弹簧不相连，压缩弹簧到O点，由静止释放物体，物体最终运动到B点，将问题改为速度v与距离s关系大致图象。
【易错、疑难点点拨】由于题目问题是速度与距离的关系，因此OA段和AB段距离应相等。
【变式5】将原题改为光滑水平面上，物体与弹簧不相连，将弹簧压缩到O点，物体从O点以速度v0开始运动到B点，请画出物体的动能随距离变化的关系图象。（提示：弹簧的弹性势能表达式为，其中为弹簧的形变量）
例4．如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
变式1：如图甲所示，物块A和弹簧放在粗糙的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从O点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在水平面上运动，最终停在C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
变式2：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。将物块A固定在弹簧上，静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，最终运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点的速度随时间变化大致图像。
变式3：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点过程中，弹簧所受弹力随移动距离变化的大致图像。
变式4：如图甲所示，物块A和弹簧放在光滑的水平面上，弹簧左端固定于竖直墙面，用力把物块A从C点向左移并压缩弹簧至B处。静止释放物块A，物块A在光滑的水平面上运动，运动到C点，请在坐标系中画出释放物块A后，物块A从B点运动到C点过程中，弹簧所受弹力随时间变化的大致图像。
