四川省资阳市安岳县2023-2024学年高二上学期期中考试文科数学试卷（含解析）

安岳县2023-2024学年高二上学期期中考试数学（历史类）
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. “不怕一万，就怕万一”这句民间谤语说明（ ）
A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B.小概率事件很少发生，不用怕
C.小概率事件就是不可能事件，不会发生
D.大概率事件就是必然事件，一定发生
2. 直线 过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行, 则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知椭圆 , 则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知抛物线的对称轴为 轴, 顶点在原点, 焦点在直线上, 则此抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 圆心在直线 上, 且经过两圆的交点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知方程 表示双曲线, 则的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.
7. 已知点 , 若点在线段上, 则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
8. 经过点 的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 定义直线 与轴交点的纵坐标叫直线的纵截距，直线与轴交点的横坐标叫直线的横截距. 若直线的纵截距的绝对值等于横截距的绝对值, 则此直线的斜率可能是（ ）
A. B. C.0 D.1
10.已知曲线 方程为:, 则下列结论正确的是（ ）
A.若 , 则曲线为双曲线
B.若曲线 为椭圆, 则其长轴长为
C.曲线 不可能为一个圆
D.当 时, 其渐近线方程为
11.直线 的方向向量为, 两个平面的法向量分别为, 则下列命题为真命题的是（ ）
A.若 , 则直线平面
B.若 , 则直线平面
C.若 , 则直线与平面所成角的大小为
D.若 , 则平面所成二面角的大小为
12.若直线 经过点, 且被圆截得的弦长为 4 , 则的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13对两个相互独立的事件 和, 如, 则______________.
14 已知抛物线的离心率为 , 焦点坐标为, 则抛物线的标准方程为_____________.
15 抛物线拱桥离水面 ，水面宽，水位下降后，水面宽为_____________.
16椭圆 的两个焦点为是椭圆上一点, 满足, 则离心率的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本题满分10分）已知 底边两端点, 若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为, 求点的轨迹方程.
15.（本题满分12分）求与圆 同心, 且与直线相切的圆的方程.
16.（本题满分12分）如图, 在直三棱柱 中,为的.
(1)证明: .
(2)求二面角 的余弦值.
17.（本题满分12分）已知两条直线 与的交点为, 直线的方程为:
(1) 求过点 且与平行的直线方程;
(2) 求过点 且与垂直的直线方程.
18.（本题满分12分）已知 中, 顶点的平分线所在直线的方程为.
(1) 求顶点 的坐标;
(2) 求 的面积.
19.（本题满分12分）某培训班共有 名学生, 现将一次某学科考试成绩 (单位: 分) 绘制成频率分布直方图, 如图所示.其中落在内的频数为 36
(1) 请根据图中所给数据, 求出 及的值;
(2) 从如图5 组中按分层抽样的方法选取 40 名学生的成绩作为一个样本, 求在第一组、第五组（从左到右）中分别抽取了几名学生的成绩
(3) 在 (2) 抽取的样本中的第一与第五组中, 随机抽取两名学生的成绩, 求所取两名学生的平均分不低于 70 分的概率.
参考答案及解析
1. 【答案】A
【解析】【分析】理解谚语的描述, 应用数学概率知识改写即可.
【详解】“不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防;故选: A
2. 【答案】A
【详解】由直线 ,令 得,,
由题意得: ,解得 ,
所以双曲线的方程为 故选: A
3. 【答案】C 【解析】由椭圆方程为 ,
因为 , 所以点在椭圆内部, A错误;
因为 , 所以点在椭圆内部, B错误;
因为 , 所以点在椭圆外部, C 正确;
因为 , 所以点在椭圆内部, D错误.故选: C.
4. 【答案】C 【解析】在方程 中, 令得,
抛物线的焦点为, 即,
抛物线的方程是.故选: C.
5. 【答案】A
【解析】由
解得两圆交点为 与
因为 , 所以线段的垂直平分线斜率中点坐标为
所以垂直平分线为 由
解得 , 所以圆心点坐标为
所以
所以所求圆的方程为 即:
故选: A
6. 【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在 轴上, 双曲线方程, 则
解得: ;当双曲线的焦点在轴上, 双曲线方程,
所以 解得:;故选 C.
7. 【答案】A
【解析】可看作与的斜率,
则 ,
因为点 在线段上,所以 的取值范围为,故选: A
8. 【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在 轴上, 设抛物线的方程为,
又因为抛物线经过点 , 所以, 解得, 所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在 轴上, 设抛物线的方程为,
又因为抛物线经过点 ,所以, 解得, 所以抛物线的方程为.
故选: AC.
9. 【答案】BD
【解析】由题意知: 直线 与轴, 与轴都相交,
所以 且, 所以直线的斜率为
又直线 与轴交点为,
与 轴交点为,
若纵截距的绝对值等于横截距的绝对值, 则 ,
即 , 则, 所以斜率为,故选: BD.
10. 【答案】AC
【解析】当 时, 显然A正确;
当 , 故, 所以长轴长, B 不正确;
因为 恒成立, 所以 C 正确;
当 时, 方程为,其渐近线方程为, 故 D不正确.
故选: AC
11. 【答案】BC
【解析】对于 A：若 , 则直线平面, 或直线平面, 故 A 错误;
对于 B: 若 , 根据平行的传递性可得直线平面, 故 B 正确;
对于C : 因为直线与平面所成角范围为 , 且若,
即 与的夹角为,所以直线与平面所成角的大小为, 故 C 正确;
对于 D: 因为两面所成角范围为 , 若,
则平面 所成二面角的大小为或, 故D错误.
故选: BC
12. 【答案】AC
【解析】圆的标准方程为: ,
由题意圆心到直线的距离
①当直线的斜率不存在时, 直线方程为 , 圆心到直线的距离, 符合题意,
②当直线的斜率存在时, 设直线的方程为 , 即,
圆心到直线的距离为 , 解得,
则直线方程为 ,综上, 直线的方程为或.
故选: AC.
13. 【答案】
【解析】根据概率的乘法公式, 有: .故答案为:
14 【答案】【解析】由 , 得焦点坐标为,
所以抛物线的标准方程为.故答案为:
15【答案】 . 【解析】解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 则抛物线方程可假设为: ,当拱顶离水面 3 米，水面宽 12 米，代入抛物线方程可得:,,抛物线方程为:.如果水面下降 , 则令,,水面宽,故答案为: .
16【答案】. 【解析】设 , 则,由 ,又 在椭圆上，,,又 ,,,.故答案为: .
17 【解析】设 且, 则,
整理得: 的轨迹方程.
18. 【答案】 .
【解析】已知圆配方得 , 圆心为,
所求圆的半径 ,
所求圆方程为.
19. 【解析】 (1) 在直三棱柱 中,平面平面,所以,
又由题可知, ,
平面
且 ,
所以 平面,
又因为 平面, 所以.
(2) 以 为坐标原点,分别为轴建系如图,
由 , 可得,
则有 ,
设平面 的一个方向量为,
所以 , 即, 令, 则,
所以 ,
因为 平面, 所以为平面的一个法向量,
所以, ,
即二面角 的余弦值等于.
20. 【解析】解: (1) 由 得,
过点且与平行的直线方程为:,
即
(2) ,
过点且与垂直的直线方程为:
即
21. 【解析】 (1) 因为 是的平分线,
所以 关于直线的对称点一定在直线上,
, 所以直线的方程为:, 即,
由 解得:,所以 ;
(2) 点 到直线的距离为:,
,
所以 .
22. 【解析】 (1) 第四组的频率为: ,
,.
(2) 第一组应抽: 个, 第五组应抽:个;
(3) 设第一组抽取的 2 个分数记作 ,
第五组的 3 个分数记作 ,
那么从这两组中抽取 2 个的结果有
: , 共10种,
其中平均分不低于 70 分所包含的结果
有: 、, 共9种,故所求概率为:.