重庆市忠县2023-2024学年高一上学期12月检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 重庆市忠县2023-2024学年高一上学期12月检测数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 60.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-08 10:52:51 | ||
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文档简介
重庆市忠县2023-2024学年高一上学期12月检测(数学)
时间：120分钟 总分：150分 12月3-6日
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若 , 则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
2. 已知集合 , 则（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数 的定义域为, 则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 , 且, 则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 的图象如图 1 所示, 则（ ）
A. B.
C. D.
6. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中, 指数衰减的学习率模型为 , 其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数,表示训练迭代轮数,表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2) 所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：)
A.72 B.74 C.76 D.78
7. 已知 , 则的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
8.方程 的所有实根的乘积为, 则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 生活经验告诉我们, 克糖水中有克糖, 且, 若再添加克糖后, 糖水会更甜, 于是得出一个不等式:. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A.若 , 则与的大小关系随的变化而变化
B.若 , 则
C.若 , 则
D.若 , 则一定有
10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A.函数 的图象过定点
B.已知函数 是定义在上的偶函数, 当时, 则的解析式为
C.若 , 则的取值范围是
D.若 , 则
11. 已知函数 与的图象上存在关于轴对称的点, 则的取值可以是下列数据中的 ( )
A. B.
C. D.
12.已知 , 则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
(1) 若命题 是命题的充分不必要条件, 则实数的取值范围是__________.
(2)已知函数 , 则__________.
(3)若函数 在区间上为减函数, 则的取值范围是___________.
(4)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹．布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 , 存在一个点, 使得, 那么我们称该函数为“不动点”函数, 而称为该函数的一个不动点. 现新定义: 若满足, 则称为的次不动点. 有下列结论:
(1) 定义在 上的偶函数既不存在不动点, 也不存在次不动点;
(2) 函数 仅有一个不动点;
(3) 当 时, 函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．
上述结论正确的是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14.（本题满分10分）已知全集 , 集合,,.
(1) 求 ; (2) 若 , 求实数的取值范围.
15.（本题满分12分）已知函数 , 且.
(1) 求函数 的解析式; (2) 判断并证明 在上的单调性.
16.（本题满分12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入 90 万元安装了一套新的生产设备, 预计使用该设备后前 年的总支出成本为万元, 每年的销售收入 95 万元. 设使用该设备前年的总盈利额为万元.
(1) 写出 关于的函数关系式, 并估计该设备从第几年开始盈利;
(2) 使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理;
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 70 万元的价格处理;
问哪种方案较为合理？并说明理由．
17.（本题满分12分）已知函数 .
(1) 当 时, 求该函数的值域;
(2) 若 对于恒成立, 求的取值范围.
18.（本题满分12分）已知 为偶函数,为奇函数, 且满足.
(1) 求 ;
(2) 若方程 有解, 求实数的取值范围.
19.（本题满分12分）函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数, 可以将其推广为: 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数, 给定函数.
(1) 求 的对称中心;
(2) 已知函数 同时满足:
① 是奇函数; ② 当 时,. 若对任意的, 总存在, 使得, 求实数的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】,
当时,,
当时即.
2. 【答案】D
【解析】集合 ,,
所以 , 所以.
3. 【答案】C
【解析】因为 的定义域为, 所以恒成立,
当 时, 显然成立;
当 时, 有, 解得,
综上, 实数 的取值范围为.
4. 【答案】A
【解析】因为 , 且,
所以 , 当且仅当, 即时取等号,
所以 , 解得(舍去) 或,
所以 , 当且仅当,即时取等号, 即的取值范围是.
5. 【答案】C
【解析】由图象可知: ,.
6. 【答案】B
【解析】根据题意得该指数衰减的学习率模型为 ,
当 时,, 代入得,, 解得,
由学习率衰减到 0.2 以下(不含 0.2 ), 得 , 即,
所以 , 解得,
因为 ,
所以 , 则取 74.
7. 【答案】A
【解析】因为 ,,, 所以.
8. 【答案】C
【解析】
由 可得, 设函数的图象交点的横坐标为,,
画出两函数图象如图,
则 ,
因为函数 在上递减,
所以且 , 即, 所以,即.
9. 【答案】CD
【解析】
A 选项, , 所以, A 选项说法错误;
B 选项, 当 时,, 即, B 选项说法错误；
C 选项, , 即, C 选项说法正确;
D 选 项，因为 , 所以,,
所以 , D 选项说法正确.
10. 【答案】BCD
【解析】A. 由 得, 此时, 即函数过定点, 故 A 错误,
B. 若 , 则, 则,
是 偶 函数,, 即, 即的解析式为, 故 B 正确,
C. 若 , 则,
若 , 则, 此时不成立, 若, 则, 此时, 即的取值范围是, 故 C 正确,
D. 若 , 则,
令 , 则函数在单调递减,
则不等式 等价为, 则, 即, 因此 D 正确,
11. 【答案】ABC
【解析】若函数 与, 且图象上存在关于轴对称的点,
则方程 在时有解, 即, 也就是方程在上有解,
令 , 则在其定义域上是增函数,
且 时,,
当 时,,
, 得, 即,
的取值可以是下列数据中的 A, B, C.
12. 【答案】BCD
【解析】对于 A, 由题意知, 是函数分别与函数,图象交点的横坐标,两个函数的图象关于直线对称,的图象也关于对称, 故两交点关于直线对称, 所以, 故 A 正确;
对于 B, 由 , 可得即, 故 B 正确;
对于 C, , 令, 则(b) 在上单调递增, 则(b), 故 C 错误;
对于 D, , 故 D 正确.
13【答案】 【解析】根据题意可知 , 但推不出,故 是的真子集,故 .故答案为: .
14 【答案】 9 【解析】, 则,则 , 即有, 又由, 则.
15 【答案】【解析】令 ,
①当 时,在上为减函数,
②当 时,在上为减函数, 此时不成立.综上所述: .
16 【答案】②③ 【解析】对于①, 取函数 既是的不动点, 又是的次不动点，故①错误，对于②, , 令, 易知为上的增函数,又 , 由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点, 故②正确;对于③, 当 时, 即,令 ,在区间上单调递增, 故在上单调递增,满足 有唯一解, 则,当 时,, 即,令 ,在区间上单调递增, 故在上单调递增,满足 有唯一解, 则,综上 , 故③正确.
17 【解析】
(1) 全集 , 集合,,,
或,;
(2) ,,,
实数的取值范围是.
18. 【解析】(1) , 且,
,则 ;
(2) 在上单调递增, 证明如下:
设 ,则
,
,
,
,
,,
在上是增函数.
19 【解析】(1) 设 为前年的总盈利额，单位: 万元,
由题意可得 ,
由 得,
又 , 所以该设备从第 2 年开始实现总盈利;
(2) 方案二更合理，理由如下：
方案一: 由 (1) 知, 总盈利额 ,
当 时,取得最大值 160 ; 此时处理掉设备, 则总利润为万元,
方案二：由 (1) 可得, 平均盈利额为 ,
当且仅当 , 即时, 等号成立,
即 时, 平均盈利额最大, 此时, 此时处理掉设备, 总利润为万元,
综上，方案二的总利润高于方案一，故方案二更合适．
20 【解析】(1) ,
令 , 则,
,
当 时,, 当, 或时,,
函数的值域是;
(2) 令 , 得对于恒成立,
对于恒成立,
设 ,,
在上为增函数,
当时,,
.
21. 【解析】(1) 根据题意，是偶函数,是奇函数, 且①,
,
, 即②,
由①+②解得, ①-②解得;
(2) 方程 有解,
则 有解,
令 , 当且仅当时取等号,
在有解, 即,
当 时, 不成立,
当 时,,
当且仅当 时取等号,
故 的取值范围为.
22【解析】(1) ,
设 的对称中心为,
由题意得函数 为奇函数,则为奇函数,
则 , 即,
整理得,
, 解得,
函数的对称中心为;
(2) 对任意的, 总存在, 使得,
函数的值域是函数的值域的子集,
函数在上是增函数,
的值域为,
设函数 的值域为集合,
函数是奇函数,函数关于对称,
,函数恒过定点,
当 , 即在上递增, 则函数在上是增函数,
函数在上递增,
又 ,,
的值域为, 即,
又 ,
且, 解得,
当 , 即时,在上递减, 在上递减,
此时,,
要使 , 只需要, 解得,
当 , 即时,在上单调递减, 则函数在上也是减函数,
函数在上是减函数, 则,
, 解得,
综上所求, 实数 的取值范围是.
时间：120分钟 总分：150分 12月3-6日
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若 , 则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
2. 已知集合 , 则（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数 的定义域为, 则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 , 且, 则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 的图象如图 1 所示, 则（ ）
A. B.
C. D.
6. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中, 指数衰减的学习率模型为 , 其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,表示衰减系数,表示训练迭代轮数,表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2) 所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：)
A.72 B.74 C.76 D.78
7. 已知 , 则的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
8.方程 的所有实根的乘积为, 则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 生活经验告诉我们, 克糖水中有克糖, 且, 若再添加克糖后, 糖水会更甜, 于是得出一个不等式:. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A.若 , 则与的大小关系随的变化而变化
B.若 , 则
C.若 , 则
D.若 , 则一定有
10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A.函数 的图象过定点
B.已知函数 是定义在上的偶函数, 当时, 则的解析式为
C.若 , 则的取值范围是
D.若 , 则
11. 已知函数 与的图象上存在关于轴对称的点, 则的取值可以是下列数据中的 ( )
A. B.
C. D.
12.已知 , 则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
(1) 若命题 是命题的充分不必要条件, 则实数的取值范围是__________.
(2)已知函数 , 则__________.
(3)若函数 在区间上为减函数, 则的取值范围是___________.
(4)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹．布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 , 存在一个点, 使得, 那么我们称该函数为“不动点”函数, 而称为该函数的一个不动点. 现新定义: 若满足, 则称为的次不动点. 有下列结论:
(1) 定义在 上的偶函数既不存在不动点, 也不存在次不动点;
(2) 函数 仅有一个不动点;
(3) 当 时, 函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．
上述结论正确的是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14.（本题满分10分）已知全集 , 集合,,.
(1) 求 ; (2) 若 , 求实数的取值范围.
15.（本题满分12分）已知函数 , 且.
(1) 求函数 的解析式; (2) 判断并证明 在上的单调性.
16.（本题满分12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入 90 万元安装了一套新的生产设备, 预计使用该设备后前 年的总支出成本为万元, 每年的销售收入 95 万元. 设使用该设备前年的总盈利额为万元.
(1) 写出 关于的函数关系式, 并估计该设备从第几年开始盈利;
(2) 使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理;
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 70 万元的价格处理;
问哪种方案较为合理？并说明理由．
17.（本题满分12分）已知函数 .
(1) 当 时, 求该函数的值域;
(2) 若 对于恒成立, 求的取值范围.
18.（本题满分12分）已知 为偶函数,为奇函数, 且满足.
(1) 求 ;
(2) 若方程 有解, 求实数的取值范围.
19.（本题满分12分）函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数, 可以将其推广为: 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数, 给定函数.
(1) 求 的对称中心;
(2) 已知函数 同时满足:
① 是奇函数; ② 当 时,. 若对任意的, 总存在, 使得, 求实数的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】,
当时,,
当时即.
2. 【答案】D
【解析】集合 ,,
所以 , 所以.
3. 【答案】C
【解析】因为 的定义域为, 所以恒成立,
当 时, 显然成立;
当 时, 有, 解得,
综上, 实数 的取值范围为.
4. 【答案】A
【解析】因为 , 且,
所以 , 当且仅当, 即时取等号,
所以 , 解得(舍去) 或,
所以 , 当且仅当,即时取等号, 即的取值范围是.
5. 【答案】C
【解析】由图象可知: ,.
6. 【答案】B
【解析】根据题意得该指数衰减的学习率模型为 ,
当 时,, 代入得,, 解得,
由学习率衰减到 0.2 以下(不含 0.2 ), 得 , 即,
所以 , 解得,
因为 ,
所以 , 则取 74.
7. 【答案】A
【解析】因为 ,,, 所以.
8. 【答案】C
【解析】
由 可得, 设函数的图象交点的横坐标为,,
画出两函数图象如图,
则 ,
因为函数 在上递减,
所以且 , 即, 所以,即.
9. 【答案】CD
【解析】
A 选项, , 所以, A 选项说法错误;
B 选项, 当 时,, 即, B 选项说法错误；
C 选项, , 即, C 选项说法正确;
D 选 项，因为 , 所以,,
所以 , D 选项说法正确.
10. 【答案】BCD
【解析】A. 由 得, 此时, 即函数过定点, 故 A 错误,
B. 若 , 则, 则,
是 偶 函数,, 即, 即的解析式为, 故 B 正确,
C. 若 , 则,
若 , 则, 此时不成立, 若, 则, 此时, 即的取值范围是, 故 C 正确,
D. 若 , 则,
令 , 则函数在单调递减,
则不等式 等价为, 则, 即, 因此 D 正确,
11. 【答案】ABC
【解析】若函数 与, 且图象上存在关于轴对称的点,
则方程 在时有解, 即, 也就是方程在上有解,
令 , 则在其定义域上是增函数,
且 时,,
当 时,,
, 得, 即,
的取值可以是下列数据中的 A, B, C.
12. 【答案】BCD
【解析】对于 A, 由题意知, 是函数分别与函数,图象交点的横坐标,两个函数的图象关于直线对称,的图象也关于对称, 故两交点关于直线对称, 所以, 故 A 正确;
对于 B, 由 , 可得即, 故 B 正确;
对于 C, , 令, 则(b) 在上单调递增, 则(b), 故 C 错误;
对于 D, , 故 D 正确.
13【答案】 【解析】根据题意可知 , 但推不出,故 是的真子集,故 .故答案为: .
14 【答案】 9 【解析】, 则,则 , 即有, 又由, 则.
15 【答案】【解析】令 ,
①当 时,在上为减函数,
②当 时,在上为减函数, 此时不成立.综上所述: .
16 【答案】②③ 【解析】对于①, 取函数 既是的不动点, 又是的次不动点，故①错误，对于②, , 令, 易知为上的增函数,又 , 由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点, 故②正确;对于③, 当 时, 即,令 ,在区间上单调递增, 故在上单调递增,满足 有唯一解, 则,当 时,, 即,令 ,在区间上单调递增, 故在上单调递增,满足 有唯一解, 则,综上 , 故③正确.
17 【解析】
(1) 全集 , 集合,,,
或,;
(2) ,,,
实数的取值范围是.
18. 【解析】(1) , 且,
,则 ;
(2) 在上单调递增, 证明如下:
设 ,则
,
,
,
,
,,
在上是增函数.
19 【解析】(1) 设 为前年的总盈利额，单位: 万元,
由题意可得 ,
由 得,
又 , 所以该设备从第 2 年开始实现总盈利;
(2) 方案二更合理，理由如下：
方案一: 由 (1) 知, 总盈利额 ,
当 时,取得最大值 160 ; 此时处理掉设备, 则总利润为万元,
方案二：由 (1) 可得, 平均盈利额为 ,
当且仅当 , 即时, 等号成立,
即 时, 平均盈利额最大, 此时, 此时处理掉设备, 总利润为万元,
综上，方案二的总利润高于方案一，故方案二更合适．
20 【解析】(1) ,
令 , 则,
,
当 时,, 当, 或时,,
函数的值域是;
(2) 令 , 得对于恒成立,
对于恒成立,
设 ,,
在上为增函数,
当时,,
.
21. 【解析】(1) 根据题意，是偶函数,是奇函数, 且①,
,
, 即②,
由①+②解得, ①-②解得;
(2) 方程 有解,
则 有解,
令 , 当且仅当时取等号,
在有解, 即,
当 时, 不成立,
当 时,,
当且仅当 时取等号,
故 的取值范围为.
22【解析】(1) ,
设 的对称中心为,
由题意得函数 为奇函数,则为奇函数,
则 , 即,
整理得,
, 解得,
函数的对称中心为;
(2) 对任意的, 总存在, 使得,
函数的值域是函数的值域的子集,
函数在上是增函数,
的值域为,
设函数 的值域为集合,
函数是奇函数,函数关于对称,
,函数恒过定点,
当 , 即在上递增, 则函数在上是增函数,
函数在上递增,
又 ,,
的值域为, 即,
又 ,
且, 解得,
当 , 即时,在上递减, 在上递减,
此时,,
要使 , 只需要, 解得,
当 , 即时,在上单调递减, 则函数在上也是减函数,
函数在上是减函数, 则,
, 解得,
综上所求, 实数 的取值范围是.
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