5.5.1两角和与差的正切公式

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5.5.1两角和与差的正切公式
班级 姓名
学习目标
1．了解两角和与差的正切公式的推导过程．
2．掌握公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 名称两角和的正切公式公式___________________简记符号使用条件名称两角差的正切公式公式____________________简记符号使用条件【即时训练1】(1)求值：tan＝________.(2)已知tan α＝2，则tan＝________.
给角求值 【即时训练2】求值：(1)； (2)；(3)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； (4)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)……(1＋tan 44°)(1＋tan 45°).
公式变形小结 小结：T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；tan αtan β＝1－.T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；tan αtan β＝－1.
给值求角与给值求值 【即时训练3】已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π，求：(1)tan(α－β)； (2)α＋β的值．【即时训练4】已知tan＝，tan＝2，求：(1)tan的值；(2)tan(α＋β)的值．
课后作业
一、基础训练题
1．与相等的是(　　)
A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于(　　)
A．2 B．1 C． D．4
3．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
4．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A． B． C． D．
6．求值：tan ＝________.
7．已知tan＝，tan＝－，则tan＝ .
8．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝ .
9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h·tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan(θ1＋θ2)＝________.
10．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；(2)求的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
二、综合训练题
12．(多选题)已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B．10
C. D．
13．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
三、能力提升题
15．设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝________.
16．已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
5.5.1两角和与差的正切公式
参考答案
1、答案　B
解析　原式＝＝tan(45°－21°)＝tan 24°.
2、答案　C　
解析 ∵tan(α＋β)＝，∴＝4，解得tan α·tan β＝.
3、答案　A
解析　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.
4、答案　B
解析　(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
5、答案　C　
解析　tan＝tan＝＝＝.
6、答案　－2＋
解析　tan ＝－tan ＝－tan＝－＝－＝－2＋.
7、答案　
解析　tan＝tan＝＝＝.
8、答案　　
解析　由题意得tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝.
9、答案 －1
解析 由题意l＝h·tan θ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan θ1＝2，tan θ2＝3，
所以tan(θ1＋θ2)＝＝＝－1.
10、解：(1)∵tan＝2，∴＝2，∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝.
11、解：由条件得cos α＝，cos β＝.∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，sin β＝＝，因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
12、答案 AC　
解析 ∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lg＝1－lg (10a)lg，1＝1－lg (10a)lg，
∴lg (10a)lg＝0，∴lg (10a)＝0或lg＝0，解得a＝或a＝1.
13、答案 　
解析 由条件知＝＝3，则tan α＝2. 因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.]
14、[解析]∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.
15、答案
解析 ∵tan＝＝tan，tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋.
∴θ＝kπ＋，tan θ＝tan＝.∴＝.
16、解：∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1.
∴＝－.∴tan(A＋B)＝－，又∵0∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，∴tan B＋＋tan B＝.∴tan B＝.
∴B＝.∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．
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