5.5.1两角和与差的余弦公式 学案

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5.5.1两角和与差的余弦公式
班级 姓名
学习目标
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．
3．会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 任务1：已知角α、角β和角α-β的终边与单位圆的交点为P1、A1和P，请写出点P1、A1和P的坐标．任务2：请利用距离公式推导两角差的余弦公式．
阅读教材，完成右边的内容 名称两角差的余弦公式公式__________________________简记符号使用条件【即时训练1】(1)cos15°= .(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°= .(3)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)= .
阅读教材，完成右边的内容 名称两角差的余弦公式公式__________________________简记符号使用条件【即时训练2】(1)cos105°= .(2)sin 57°sin 3°－cos 57°cos 3°= .(3)sin15°－cos15°= .
诱导公式与两角和差的余弦公式的综合应用 【即时训练3】(1)coscos＋cossin的值是 .(2)sin11°cos19°＋cos11°cos71°的值是 .(3)sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是 .
给值求值 【即时训练4】(1)已知sin α＝，α是第二象限角，求cos(α－60°)的值．(2)在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，求cos(A＋B)的值．
课后作业
一、基础训练题
1．cos的值为(　　)
A．　　B． C． D．－
2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝(　　)
A．　　　　B． C．－ D．－
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－　　　 B．－　　 C．　 D．
4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　　)
A． B． C．－ D．
5．cos165°= .
6．已知cos＝cos α，则tan α＝ .
7．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若
sin α＝，则cos(α－β)＝________.
8．求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③cos 15°＋sin 15°.
9．已知tanθ＝，θ∈，求cos.
10．在△ABC中，A＝，cosB＝，求cosC的值.
二、综合训练题
11．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－　　　 B．－
C．　 D．
12．在平面直角坐标系中，角的终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则(　　)
A． B． C． D．
13．设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为 .
三、能力提升题
14．的值是(　　)
A． B．
C． D．
15．若cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝________.
5.5.1两角和与差的余弦公式
参考答案
1、【答案】D　
【解析】cos＝cos＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
2、【答案】B　
【解析】∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°，
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.
3、【答案】A　
【解析】∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，
∵β为第三象限角，sin β＝－，∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
4、【答案】A　
【解析】由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.
5、【答案】－
【解析】cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－＝－.
6、【答案】　
【解析】cos＝cos αcos ＋sin α·sin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，
所以＝，即tan α＝.
7、【答案】－
【解析】因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α
＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
8、【解析】①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
③cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
9、【解析】∵tanθ＝＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，sinθ>0，cosθ>0，
解得sinθ＝，cosθ＝.
∴cos＝coscosθ＋sinsinθ＝×＋×＝.
10、【解析】∵cosB＝，∴B为锐角，∴sinB＝＝.
又∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－(coscosB－sinsinB)＝－×＋×＝－
11、【答案】D　
【解析】因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，　 ①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝，　 ②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
12、【答案】B
【解析】由题意得角的终边过点，所以，，
故.
13、[解析]∵α，β为钝角，sinα＝，∴cosα＝－＝－＝－，
由cosβ＝－，得sinβ＝＝ ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－×＝.
又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
14、【答案】C
【解析】原式＝＝
＝＝＝.
15、【答案】
【解析】∵cos αcosβ＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，cos αcos β－sin αsin β＝，
解得cos αcos β＝，sin αsin β＝，∴tan αtan β＝＝＝.
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