河北省承德市部分高中2023-2024学年高三上学期12月自我提升期中测试数学试题（含答案）

承德市部分高中2023-2024学年高三上学期12月自我提升期中测试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正方体为下底面的中心，为棱的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线所成角为 B．直线与直线所成角为
C．直线平面 D．直线与底面所成角为
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
5．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，圆锥的高分别为和，侧面积分别为和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是公差为的等差数列，是其前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称
C．在区间上单调递增 D．当时，
11．已知函数的定义域为，其导函数为．若，且，则（ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．没有极值
12．已知数列满足，则（ ）
A．数列单调递减 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则_____________．
14．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为_____________m．（参考数据：，结果保留整数）
15．已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________．
16．如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为_____________；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为_____________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若设数列的前项和为，求．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．
19．（12分）在中，内角的对边分别为，已知．
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值，并求出此时的大小．
20．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设为两个不相等的正数，且满足，证明：．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且分别是上靠近的三等分点．
（1）求证：；
（2）在上是否存在一点，使平面平面 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，比较与的大小；
（2）若函数，且，证明：．
参考答案及解析
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
二、选择题
9．AD 10．BC 11．AD 12．ABD
三、填空题
13． 14．42 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以解得，
所以，．
（2）由（1）得，
当为奇数时，，
令，
则，
令，
则，
所以．
18．（1）证明：连接，则为的中点，
因为为的中点，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）解：如图，过作直线与平行，
则，故共面．
延长与交于点，连接，与的交点即为点．
因为底面是正方形，是的中点，
所以，且，
因为是的中点，所以，
则，所以．
19．解：（1）由题意得，
因为，
所以，故，
又，所以．
因为是的内角，所以为钝角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，则，
所以．
（2）由（1）可知，在中，，
即为钝角，则，
因为，
所以．
设，
则，，
故，当且仅当，即，
结合为钝角，即当时等号成立，
所以的最小值是5，此时．
20．（1）解：，
所以，
令，得．
当时，，；
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
当时，，．
不妨设，则．
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增．
因为，
所以存在，使得，
且，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，
所以对任意，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，且在上单调递减，
所以，所以得证．
21．（1）证明：因为四边形是正方形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：设，则为正方形的中心，如图，连接，交于点，连接并延长交于点．
若平面平面，平面平面，平面平面，所以．
因为分别是上靠近的三等分点，
所以，所以，
又是的中点，所以，
所以，所以．
故上存在一点，使平面平面，此时的值为．
22．（1）解：设函数，
可得，
当时，，
则在上单调递增，
所以，
从而，所以．
（2）证明：设函数，
当时，，
则恒成立．
由，得，
又，所以，
因为，可得．
令，可得，
所以单调递增，即在单调递增，
所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
同理得．
要证，只需证，即证，
因为，所以．
设函数，则0，所以在上单调递增．
因为，所以，
所以，所以，
所以，
从而得证．