郑州学森实验学校 2023—2024 学年上期高二期中考试
数学试卷
全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．若复数 z满足 2z z 1 3i，则 z （ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
2．抛物线 x2 y的焦点坐标为（ ）
1 1
A． ,0 B． ,0 C． 0,
1 0, 1
2 4 4
D．
2
3．已知向量 a 1,1, 2 ,b 0,1, 1 ，则 a在b 方向上的投影向量为（ ）
1
A． ,
1 , 1 B． 0,
1
, 1 2 2 C． , ,
2
D． 0,
2
, 2
6 6 3 2 2 6 6 3 6 6
4．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，
3
该椭圆的离心率为 ．若该椭球横截面的最大直径为 1.8米，则该椭球的高为（ ）
2
A．3.2米 B．3.4米 C．4米 D．3.6米
y sin 2x π5．为了得到函数
的图象，只要将函数 y sinx图象上所有点的（ ）
5
π
A 1．横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度10
B 1
π
．横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度10
π
C 1．横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度5
π
D．横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
5
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
6．已知直线 l : 4x 3y 5 0，圆C :(x 2-1) +(y 2)2- = 4，若过 l上一点 A向圆 C引切
线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
7．“ a 4 ”是“直线 l1 : a 2 x ay 2 0 和直线 l2 : a 1 x a 2 y 1 0 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x28 y
2
．已知双曲线 C： 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F， F2，过 F的直线 l
a2 b2 1 1
与 C的左支交于 A，B两点， AF1 : BF1 3:1，且 AB BF2，则 C的离心率为（ ）
A 10 15 26 39． B． C． D．
2 3 4 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．直线5x 4y 1 0的倾斜角大于 45
B．直线 2 m x 4y 2 m 0 m R 过定点 1,1
C．直线 x y 1 0与直线2x 2y 1 0之间的距离是 2
D．与点 A 1, 2 的距离为 1，且与点 B 3, 1 的距离为 4的直线共有 4条
10．不透明的袋子中装有 6个大小质地相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，
从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字
大于等于 3”， B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为 5，则（ ）
A． P A 2 1 B． P B
3 18
13
C． P A B D．事件 A与 B相互独立
18
11．点 A是椭圆 C：x2 2y2 8上一点，B是圆 P：2x2 2y2 4x 1 0 上一点，则（ ）
A．椭圆 C 3的离心率为
2
B．圆 P的圆心坐标为 1,0
C．圆 P上所有的点都在椭圆 C的内部
D． AB 2的最小值为 3
2
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
12．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为 A1B1的中点，P为棱 BC上的动点，则下列
结论正确的是（ ）
A．存在点 P，使 AC1 平面D1EP
B．存在点 P，使 PE PD1
C．四面体 EPC1D1的体积为定值
D．二面角 P D1E
5 2
C1的余弦值取值范围是 ,
5 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知直线3ax 4y 2 0与直线 2x 2a 3 y 4 0 垂直，则实数a .
14．一束光线自点 P 1,2,3 发出，被Oxy平面反射后到达点Q 4, 4, 4 被吸收，则该光线
所走的路程是 ．
15．如图，在棱长为 2的正四面体 PABC中，PO 平面 ABC，垂足
为O，D为校 PC的中点，则PO AD ．
x2 y216．已知椭圆C :
a2
1 a b 0 的上顶点为 A，右焦点为 F，椭圆 C上存在点 P使
b2
线段 OP被直线 AF平分，则椭圆 C的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题 10分）
（1）求过点 2,4 ，且与直线 2x y 1 0平行的直线的一般式方程；
（2）求过点 2,4 ，且在 x轴上的截距与在 y轴上的截距之和为 2的直线的斜率．
18．（本题 12分）
已知向量a 2cosx,sin x ，b cosx, 2cosx .设函数 f x a b
(1)求 f x 的最小正周期；
π
(2) x 0, 当 f x2 时，求函数 的最小值及取到最小值时 x的值.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
19．（本题 12分）
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2, E, F分别为 AA1,CD的中点．
(1)求异面直线 EF 与 B1D的夹角的余弦值；
(2)求点A到平面 EFB1的距离．
20．（本题 12分）
在平面直角坐标系 xoy中，点 A 1,6 ，B 2,5 ，C 5, 2 ，圆 M为 ABC的外接圆.
(1)求圆 M的标准方程；
(2)过点 P 1, 4 作直线 l，被圆 M截得的弦长为 4 6，求直线 l的方程.
21．（本题 12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，平面 PAB 底面 ABCD，侧棱 PC
与底面所成的角为60 ．
(1)证明：平面 PAB 平面 PAD；
(2)若平面 PBD 平面PAC，求二面角 B PC D的正弦值．
22．（本题 12分）
x2 y2
已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的右焦点为 F 3,0 ，短轴长为 2．a b
(1)求C的方程．
(2)若 A,B为C上的两个动点， A,B两点的纵坐标的乘积大于0,M 4,0 ,N 4,0 ，且
AFM BFN．证明：直线 AB过定点．
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}参考答案：
1．A
【详解】设 z a bi a ,b R ，则 z a bi，
a 1 a 1
2z z 2 a bi a bi a 3bi 1 3i， 3b 3，解得： ， b 1
z 1 i .
故选：A.
2．C
【详解】因为标准方程为 x2 2 py的焦点为 0,
p
2 1
2
，所以由 x y得2p 1 ，则 p ，
2
焦点为 0,
1
4
故选：C
3．B
a b 1 2 1
【详解】 a在b 方向上的投影向量为 2 b b (0,1, 1) (0,
1
, 1) ，
b 1 1 2 2 2
故选：B．
4．D
c 1 b
2 3
【详解】由题意可知， ，则 a 2b，
a a2 2
由该椭球横截面的最大直径为 1.8米，可知 2b 1.8米，
所以b 0.9米， a 1.8米，该椭球的高为 2a 3.6米．
故选：D
5．A
1
【详解】将 y sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，得 y sin2x，
π π
再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y sin 2x 的图象．
10 5
故选：A
6．D
【详解】由圆的性质，可得当直线 l上的点 A到圆心 C的距离 AC 最小时，切线长最小，
答案第 1页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
2 2
因为圆C :(x-1) +(y-2) = 4，可得圆心C(1,2)，半径为 r 2，
4 1 3 2 5
则圆心到直线 l : 4x 3y 5 0的距离为 d 3，
42 32
即 AC 3 2 2min ，所以切线长的最小值为 3 2 5 .
故选：D.
7．C
【详解】当 a 4时，l1 : 3x 2y 1 0 ，l2 : 3x 2y 1 0
3
，两直线斜率都为 k 且不重合，
2
所以两直线平行；
当两直线平行时，由 (a 2)(a 2) a(a 1) 0，即 a 4 0，解得 a 4，
经检验 a 4时，两直线平行，故 a 4 .
综上可知，“ a 4 ”是“直线 l1 : a 2 x ay 2 0 和直线 l2 : a 1 x a 2 y 1 0 平行”的
充要条件.
故选：C
8．A
【详解】因为 AF1 : BF1 3:1，设 BF1 t t 0 ，则 AF1 3t，
又由双曲线的定义，得 AF2 AF1 2a， BF2 BF1 2a ，
所以 BF2 t 2a， AF2 3t 2a，
2 2 2
又因为 AB BF2，可得 AF2 AB BF2 ，即 3t 2a
2
16t 2 t 2 2a ，
解得 t a，
2 2 2 2 2 5 2
由 F1F2 BF1 BF2 ，即 4c
2 t 2 t 2a 10a2 ，可得 c a ，
2
10
双曲线 C的离心率为 .
2
故选：A.
答案第 2页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
9．AB
【详解】因为直线5x 4y 1 0
5
的斜率为 1，所以该直线的倾斜角大于45 ，故 A正确；
4
将直线 2 m x 4y 2 m 0整理成 x 1 m 2x 4y 2 0，
x 1 0
由 x 1, y 1 1,1
2x 4y 2 0
，解得 ，所以该直线过定点 ，故 B正确；
将直线 x y 1 0化为 2x 2y 2 0，
2 1 3 2
所以两直线间的距离 d ，故 C错误；
4 4 4
记以 A 1, 2 为圆心，1为半径的圆为O1，以 B 3, 1 为圆心， 4为半径的圆为O2，
2 2
因为两圆的圆心距 d O1O2 1 3 2 1 5，且两圆的半径之和 r1 r2 5，
所以 d r1 r2，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点 A 1, 2 的
距离为 1，且与点 B 3, 1 的距离为 4，故 D错误．
故选:AB.
10．AC
4 2
【详解】对于选项 A：因为第二次取出球为 3，4，5，6，所以 P A ，故 A正确；
6 3
对于选项 B：因为B 4,1 , 3,2 , 2,3 , 1,4 ，所以P B 4 1 ，故 B错误；
6 6 9
对于选项 C：因为 AB 2,3 , 1,4 ，则 P AB 2 1 ，
6 6 18
所以 P A B P A P B P AB 2 1 1 13 ，故 C正确；
3 9 18 18
对于选项 D：因为P AB P A P B ，所以事件 A与 B不独立，故 D错误；
答案第 3页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
故选：AC．
11．BCD
x 2 y 2
【详解】对于 A，椭圆 C的方程可化为 1，则半焦距 c 8 4 2，
8 4
2 2
所以离心率 e ，故 A错误；
2 2 2
2
B 2
1
对于 ，圆 P的方程可化为 x 1 y ，则圆心为P 1,0 ，故 B正确；
2
2
对于 C，圆 P上的点 1 ,0 显然在椭圆 C内，
2
x2 2y2 8
联立 22 2 可得 x 4x 9 0，
2x 2y 4x 1 0
而 16 36 20 0，
所以椭圆 C与圆 P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆 P在椭圆 C内部，故 C正确；
对于 D，设 A x, y 2 2 x 2 2 ，
则
则 AP x 1 1 1 2 y2 x2 2x 5 x 2 2 3，
2 2
所以 x 2时， AP 取得最小值 3，
又 B是圆 P： 2x2 2y2 4x 1 0 上一点，即可得 AB AP r ,
所以 AB 2 2 AP r 3+ ，即 AB 的最小值为 3 ，故 D正确.
2 2
故选：BCD.
12．BC
【详解】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为 2，
答案第 4页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
CP 2 0 a 2 ，则 P a, 2,2 ，E 2,1,0 ， A 2,0,0 ,C1 0, 2, 2 ，
AC1 2,2, 2 ，D1E AC1 2 0，故 AC1与D1E不垂直，故 A错误.
PE PD a2 2 22 22 a 2 12 1由 1知 22 ,a 0, 2 ，故 B正确.4
VE PC D V
1 2 S 1P C D E C D E 2
1 4
2 2 ，为定值.故 C正确.
1 1 1 1 3 1 1 3 2 3
又D1E 2,1,0 ，D1P a, 2, 2 ，设平面D1EP的法向量 n1 x, y, z ，
D1E n1 0 2x y 0
由 ,
D P n 0 ax 2y 2z
，
0
1 1
令 x 2则 y 4， z 4 a， n1 2, 4,4 a ，
又平面D1EC1的法向量 n2 0,0,1 ，
4 a
cos n1, n
1
2
22 4 2 4 a 2 1 20 ，
4 a 2
6 2
又0 a 2， 4 2 4 a 16， cos n1,n2 , .
6 3
故 D错误.
（几何法）记棱 A1D1,D1D,DC,CB, BB1中点分别为 F ,G, J , I ,H ，
易知 AC1 平面 EFGJIH，而 EF 平面 EFGJIH
则 AC1 EF，若 AC1 平面D1EP，D1E 平面D1EP，则 AC1 D1E ，
由EF D1E E, EF, D1E 平面D1EF，
所以 AC1 平面D1EF，与已知矛盾，故 AC1不垂直于平面D1EP .
答案第 5页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
故 A错误.
连接 EB,D1C，易知BC EB， BC D1C，设正方体棱长为 2，知 EB 5，D1C 2 2，
记BP m 0 m 2 ，
则EP m2 5，D1P 2 m
2 8，
由 m2 5 2 m 2 8，
7
得m 0, 2 .故 B正确.
4
答案第 6页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
V V 1 2 S 1 2 1 2 2 4E PC D P C D E C D E ，为定值.故 C正确.1 1 1 1 3 1 1 3 2 3
过点 P作 PM B1C1于点M ，易知 PM D1E ，过点M 作MN D1E于点 N，
知D1E 平面 PMN，所以 PN D1E，则二面角 P D1E C1的平面角为 PNM ，
现在△PNM 中求解cos PNM .
设正方体棱长为 2，NM x，则 NP x2 4， cos PNM
NM x
NP ，x2 4
只需求 x取值范围即可：
记BP m 0 m 2 ，则 B1M BP m，
分析易知M 在C1时 x取到最大值，此时 x C1N1，
M 在B1时 x取到最小值，此时 x B1N 2 ，
C1N1 D1A 1 C N 2 2 4 5又 C D D E 即 1 1 ，1 1 1 5 5
B1N2 B 1E B N 2 1 2 5D 即 1 2 ，1A1 D1E 5 5
2 5 4 5 4
x x2
16
所以 即 ，
5 5 5 5
cos PNM x 1 4 6 2
2 2
， .
x 4 x 4 6 3
故 D错误.
故选：BC
13．6
【详解】因为直线3ax 4y 2 0与直线 2x 2a 3 y 4 0垂直，
所以3a 2 4 2a 3 0，解得 a 6 .
答案第 7页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
当a 6时，两直线方程分别为9x 2y 1 0和2x 9y 4 0，符号题意.
故答案为：6
14． 62
【详解】因为入射光线被Oxy平面反射后到达点Q 4,4, 4 被吸收，所以根据光的反射定律
可知，入射光线必过点Q 4, 4, 4 ，
2 2 2
故该光线从发射到吸收所走过的路程为 PQ 4 1 4 2 4 3 62．
故答案为： 62 .
4
15．
3
【详解】如图所示，连接 AO，
因为 PO AO AP
1
AB 1 AC AP, AD 1 AC 1 AP，
3 3 2 2
1 1 1 1
所以 PO AD AB AC AP
AC AP
3 3 2 2
1 AB AC 1
1 2 1 1 1 2
AB AP AC AC AP AP AC AP ．
6 6 6 6 2 2
因为四面体PABC为棱长为 2的正四面体，
2 2
可得 AB AC AB AP AP AC 2 2cos60 2，且 AC 4,AP 4，
所以 PO
4
AD ．
3
4
故答案为： .
3
3
16． 0，3
x0 y 【详解】设 P（x 00，y0），则线段 OP的中点为 M ， ．
2 2
答案第 8页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
x y
直线 AF的方程为： 1，
c b
x y
把点 M的坐标代入可得： 0 0 1，
2c 2b
x20 y
2
0 1 2 2 2与 2 2 联立可得： a c x0 4a2cx0+3a2c2＝0，a b
△＝16a4c2﹣12a2c2（a2+c2）≥0，
化为 a2≥3c2，
解得 0 3＜e ．
3
3
∴椭圆 C的离心率的取值范围是 0， ．
3
故答案为 0
3
， ．
3
17．（1） 2x y 2 0 ；（2） 2 ．
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为 2x y m 0，
将点 2,4 的坐标代入得 2 4 m 0，
解得m 2，故所求直线的方程为 2x y 2 0．
（2）依题意可设所求直线的方程为 y 4 k x 2 k 0 ．
令 x 0，得 y 2k 4
4
；令 y 0，得 x 2．
k
4
依题意可得 2 2k 4 2，
k
解得 k 2．
18．(1)最小正周期为 π (2) x
3π
，最小值为
8 1 2
【详解】（1）解：由向量a 2cosx,sin x ，b cosx, 2cosx ，
2
可得 f x a b 2cos x 2sin xcos x 1 cos2x sin 2x 2 cos(2x π ) 1，
4
所以函数 f x 2π的最小正周期为T π2 .
π
（2）解：由（1）知 f x 2 cos 2x 1
4
π π π 5π
当 x 0, 时，可得 2x , ， 2 4 4 4
答案第 9页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
2x π所以当 π
3π
时，即 x ，函数 f x 的最小值为 .
4 8 1 2
19．(1) 2 (2) 4 29
3 29
【详解】（1）由D1A1,D1C1,D1D两两垂直，以正交基底 D1A1,D1C1,D1D 建系如图，
则D1 0,0,0 , A1 2,0,0 ,D 0,0,2 ，
B1 2,2,0 ,C1 0,2,0 , A 2,0,2 ,B 2,2,2 ,C 0,2,2 ,E 2,0,1 ,F 0,1,2 ，
有EF 2,1,1 ， B1D 2, 2,2 ，
设异面直线 EF 与 B1D的夹角为 ，
B D EF
则cos
1
4 2 ，
B1D EF 2 3 6 3
即异面直线 EF 与 B D 21 夹角的余弦值为 .
3
（2）设平面 EFB1的一个法向量为 n x, y, z ，
B E n
2y z 0,
由B1E 0, 2,1 ,EF 2,1,1 1，得
EF n 2x y z 0,
令 y 2，则 z 4, x 3，即 n 3,2,4 ，
AE n
又 AE 0,0, 1 ，则点A到平面EFB d 4 4 291的距离 ．n 29 29
20．(1)(x+ 2)2 + (y 2)2- = 25 (2) x= 1或35x 12y 83 0
【详解】（1）设圆 M的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，
因为圆 M为 ABC的外接圆，
答案第 10页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
37 D 6E F 0
所以 29 2D 5E F 0 ，解得D 4,E 4,F 17，
29 5D 2E F 0
所以圆 M的方程为 x2 y2 4x 4y 17 0 ，
故圆 M 2 2的标准方程为(x+ 2) + (y-2) = 25 .
（2）由上可知圆心M 2, 2 ，半径 r = 5，
因为过点 P 1, 4 作直线 l，被圆 M截得的弦长为 4 6，
2
所以可得圆心到直线 l的距离为 25 2 6 1 .
当 l的斜率不存在时，方程为 x= 1，满足题意；
当 l的斜率存在时，设方程为 y 4 k x 1 ，即 kx y k 4 0，
2k 2 k 4
由 1
35
，解得 k ，
1 k 2 12
所以直线 l的方程为 y 4
35
x 1 ，即35x 12y 83 0 .
12
综上所述，所求直线 l的方程为 x= 1或35x 12y 83 0 .
21．(1)证明见解析 (2) 4 3
7
【详解】（1）证明：在正方形 ABCD中， AD AB．
又因为平面PAB 底面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCD AB, AD 平面 ABCD，
所以 AD 平面 PAB，
而 AD 平面 PAD，所以平面 PAB 平面 PAD .
（2）设 AC与BD交于点O，则平面 PAC 平面 PBD PO，
在平面PAC内作 AH垂直 PO于H，
又因为平面PBD 平面PAC，
所以AH 平面 PBD，而 BD 平面 PBD，所以 AH BD，
又 AC BD，且 AH AC A， AH , AC 平面PAC，所以 BD 平面PAC，
因为 PA 平面PAC，所以BD PA，
由（1）知 AD 平面 PAB， PA 平面 PAB，所以 AD PA，
又 AD BD D ， AD,BD 底面 ABCD，
答案第 11页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
所以 AP 底面 ABCD，故 PC和底面 ABCD所成的角为 PCA，即 PCA 60 ，
故PA 3AC．
以 A为原点， AB的方向为 x轴正方向， AD的方向为 y轴正方向， AP的方向为 z轴正方向
建立空间直角坐标系 A xyz．
设 AB a,a 0．则 P 0,0, 6a ,B a,0,0 ,C a,a,0 ,D 0,a,0 ，
所以 PB a,0, 6a ,BC 0,a,0 ,PD 0,a, 6a ,DC a,0,0 ，
设平面PBC和平面 PCD的法向量分别为n1 x, y ,z ,n2 p,q,r ，
n 1 PB 0, ax 6az 0,
由 即 取 x 6 ，得 n1 6,0,1 ；
n
1 BC 0, ay 0,
n2 PD 0, aq 6ar 0,
由
即 ，取 q 6，得 n2 0, 6,1 ．
n2 DC 0, ap 0,
所以 n1 n2 1, n1 n2 7 ，cos n1,n
1
2 ，
7
1 2
设二面角 B PC D的大小为 ，则 sin 1 cos2 n1,n2 1
4 3
．
7 7
4 3
所以二面角 B PC D的正弦值为 ．
7
22 (1) x
2
． y2 1 (2)证明见解析
10
a2 b2 3 2
【详解】（1 x）依题意可得 ，解得 a2 10,b 1，故C的方程为 y2 1.
2b 2 10
（2）证明：由题意可知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y kx m，
x2
y2 1 2 2 2
联立 10 ，得 1 10k x 20kmx 10m 10 0，
y kx m
答案第 12页，共 13页
{#{QQABRQCAogggQgAAABgCUQW6CgKQkAECCKoOgBAEMAAAQQFABAA=}#}
设 A,B的坐标分别为 x1, y1 , x2 , y2 ，
则Δ 400k 2m2 4 1 10k 2 10m2 10 40 10k 2 1 m2 0 ，
x x 20km 10m
2 10
且 1 2 ,x x ．1 10k 2 1 2 1 10k 2
设直线FA,FB的倾斜角分别为 , ，
因为 AFM BFN，且 A,B两点的纵坐标的乘积大于 0，所以 π，
y y
所以 kFA k
1 2
FB 0，则 0，则 y1 x2 3 y2 x1 3 0x 3 x 3 ，1 2
即 kx1 m x2 3 kx2 m x1 3 0，所以 2kx1x2 3k m x1 x2 6m 0，
10m2
所以 2k 10 2
20km 103k m 2 6m 0 ，化简可得m k，1 10k 1 10k 3
y kx 10 k k x 10 10则直线 AB的方程为
，故直线 AB过定点 , 0 ．3 3 3
答案第 13页，共 13页
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