15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课件(共22张PPT)【2023秋人教八上数学高效实用备课】

(共22张PPT)
第十五章 分式
15. 3 第1课时
分式方程及其解法
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1．了解分式方程的概念．
2．掌握解分式方程的步骤.
3．理解分式方程可能无解的原因.
学习目标
重点
难点
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
设江水流速为x km/h,
则轮船顺流航行90km所用时间为 h,
逆流航行60km所用时间为 h,
列方程为 .
新课引入
观察一下这个式子有什么特征？
分母中含有未知数x．
一 分式方程的概念
归纳
分式方程的定义：
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
新知学习
例1 下列式子中，属于分式方程的是_____________________，属于整式方程的是_______________（填序号）．
（2）（3）（6）（7）
（1）（5）
二 解分式方程
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题.
思考
能否将分式方程化为整式方程呢？
我们可以通过“去分母”实现这种转变.
解分式方程 ①
分析：方程各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).把方程两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程的解.
解：方程两边同乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v)，
解得 v=6.
检验：将v=6代入①中，左边= =右边，
因此v=6是原分式方程的解.
归纳
将分式方程化为整式方程.
具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.
这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程后为什么还要检验呢？
解分式方程的基本思路：
解分式方程： ②
解：方程两边同乘最简公分母(x+5)(x-5)，得整式方程
x+5=10
解得 x=5.
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程
的解.实际上，这个分式方程无解.
x=5是否是原分式方程的解吗？
探究
归纳
将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.
　 上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 ②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
思考
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0， 这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，
(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
例1 解方程
解：方程两边乘x(x-3)，得
2x=3x-9.
解得x=9.
检验：当x = 9时， x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x= 9.
检验是必不可少的
一步.
例2 解方程
解:方程两边乘(x-1)(x +2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验:当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解分式方程的一般步骤如下：　
分式方程
x=a是分式方程的解
整式方程
x=a
x=a不是分式方程的解
目标
解整式方程
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0
归纳
去分母
思路引导：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：
①整式方程无解；②分式方程有增根．
例3 若关于x的分式方程 无解，求m的值．
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②分式方程有增根，则x＝2或x＝－2.
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，
得2(m－1)＝－10，解得m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，
得－2(m－1)＝－10，解得m＝6.
综上所述，m的值是1，－4或6.
分式方程无解，不但包括分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解的情况，还包括整式方程有解但其解使分式方程最简公分母为 0 的情况．
1.解下列方程：
解：方程两边同乘x(x－2)，得
5(x－2)＝7x.
解得x＝-5.
检验：当x＝-5时，x(x－2)≠0，
所以，原分式方程的解为x＝-5．
随堂练习
解：方程两边同乘(x+3)(x－1)，
得2(x－1)＝x+3.
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x+3)(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝5．
2. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5
D
定义
步骤
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式方程
及其解法
1.分式方程转化为整式方程；
2.解整式方程；
3.检验，代入最简公分母看是否为零
课堂小结