必修三高中数学苏教版模块综合测试
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必修三高中数学苏教版模块综合测试
说明：本试卷分第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)
1.在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析:问题属古典概型.基本事件数为36，两数之和等于4的事件含有基本事件数为6.所以，所求的概率为.
答案:B
2.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）
A.32 B.0.2 C.40 D.0.25
解析:由已知可知中间小长方形的面积为，也就是中间组的频率是.所以，频数为160×=32.
答案:A
3.样本4，2，1，0，-2的标准差是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
解析:s=.
答案:B
4.运行下面的程序，执行后输出的s的值是（ ）
i←1
While i<6
i←i+3
s←2i+1
End While
Print s
A.11 B.13 C.17 D.19
解析:当i=5时，i+3=8，s=2×8+1=17.
答案:B
5.给出下列4个命题：
(1)“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;
(2)“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件;
(3)“明天广州要下雨”是必然事件;
(4)“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：(1)(2)(4)正确.
答案：D
6.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温/℃
18
13
10
4
-1
杯数
24
34
39
51
63
若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）
A.y=x+6 B.y=-x+42
C.y=-2x+60 D.y=-3x+78
解析:利用计算器得y=-2x+60.
答案:C
7.(2007山东高考方案征求意见样题，文5)某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中,正确的是( )
A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
解析：依据抽样数据呈现规律与三种抽样方法的特点而定，三种抽样方法的共同特点是每个个体被抽取的概率相等.
答案：D
8.如图1，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
图1
A. B. C. D.
解析：记事件“所投的点落在梯形内部”为A，由几何概型得P(A)=(a+a)×b/ab=.
答案：D
9.为了考察两个变量x与y之间的线性关系，甲、乙两同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得到的试验数据中变量x和y的数据的平均值相等，且分别都是s、t,那么下列说法正确的是( )
A.直线l1,l2一定有公共点(s,t) B.直线l1,l2相交，但交点不一定是(s,t)
C.必有l1∥l2 D.l1,l2必定重合
解析：依据线性回归方程与系数的关系求解.
线性回归方程为，
a=t-bs,t=bs+a，(s,t)在回归直线上，直线l1,l2一定有公共点(s,t).
答案：A
10.在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2 之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析：点C位于距离点A5 cm与7 cm之间，由几何概型得P==.
答案：B
11.考虑一元二次方程x2+mx+n=0,其中m、n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由方程有实根知:m2≥4n.
由于n∈N*,故2≤m≤6.
骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑,共有6×6=36种情形.
其中满足条件的有:
①m=2,n只能取1,计1种情形;
②m=3,n可取1或2,计2种情形;
③m=4,n可取1或2、3、4,计4种情形;
④m=5或6,n均可取1至6的值,共计2×6=12种情形.
故满足条件的情形共有1+2+4+12=19(种).
答案：A
12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A—F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A.6E B.72 C.5F D.B0
解析:在十进制中，A×B=10×11=110.
因为110=16×6+14，所以在十六进制中A×B=6E.
答案:A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上)
13.有一个圆内接正三角形，随机向圆面上投一镖中圆面，那么镖落在三角形内的概率为____________.
提示:问题属几何概型，所求的概率等于三角形的面积除以圆的面积.
答案:
14.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为____________.
解析：将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P=.
答案：
15.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到
那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率是___________.
解析：公用电话亭里一个人也没有的概率
P(0)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-…
=1-P(0)-P(0)-P(0)-0-0-…，解得P(0)=.
答案：
16.如图2给出的算法流程图中，输出的结果s=___________.
图2
解析：该算法流程图是一个循环结构，当i=7时，运行得s=2×(7+2)+3=21.
答案：21
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，请用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费y元的过程，画出流程图.
解：由题意得：
求手续费时，需先判断x的范围，故应用条件结构描述.流程图如下：
18.(本小题满分12分)从个体数为103的总体中采用系统抽样，抽取一个容量为10的样本.写出具体的操作方法.
解：第一步，将总体103个个体编号为：1、2、3、…103；
第二步，因抽取容量为10的样本，所以应从整体中剔除3个个体（用抽签法或随机数表法）；
第三步，将余下的100个个体重新编号为1、2、3、…100，分成10段，每段10个个体，在第1段随机确定一个起始编号，如4号，则编号4、14、24、…94为所取样本.
19.(本小题满分12分)某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段［60，65），［65，70），…,［95，100）进行分组，得到的分布情况如图3所示.求：
图3
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数；
（2）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比.
解:从分布图可以看出，抽测成绩各分数段的人数依次为：
［60，65）1人；［65，70）2人；［70，75）10人；［75，80）16人；［80，85）12人；［85，90）6人；［90，95）2人；［95，100）1人.因此，
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数为38人.
（2）该班抽测成绩不低于85分的占总人数的18％.
20.(本小题满分12分)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是 cm，现用直径等于2 cm的硬币投到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
解：设事件A为“硬币落下后与格线没有公共点”,如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离为1，则等边三角形的边长为，由几何概率公式得：
P(A)=.
21.(2006中数参第6期“概率与统计测评题”，20)(本小题满分12分)
设甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有m个黑球，n个白球，从甲、乙袋中各摸一球.设事件A：“两球相同”，事件B：“两球异色”，试比较P(A) 与P(B)的大小.
解：基本事件总数为(m+n)2，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，则P(A)=，“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”，则P(B)=.
∵P(B)-P(A)=≥0，
∴P(A)≤P(B)，当且仅当“m=n”时取等号.
22.(本小题满分14分)为了了解中学生的身高情况，对某校同龄的50名男学生的身体进行了测量，结果如下：（单位：cm）
175 168 170 176 167 181 162 173 171 177
171 171 174 173 174 175 177 166 163 160
166 166 163 169 174 165 175 165 170 158
174 172 166 172 167 172 175 161 173 167
170 172 165 157 172 173 166 177 169 181
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计中学生身高大于172 cm的学生所占的概率.
解案：(1)在这个样本中，最大值为181，最小值是157，它们的差是24，可以取组距为4，分成7组.根据题意列出样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
累计频率
156.5—160.5
3
0.06
0.06
160.5—164.5
4
0.08
0.14
164.5—168.5
12
0.24
0.38
168.5—172.5
12
0.24
0.62
172.5—176.5
13
0.26
0.88
176.5—180.5
4
0.08
0.96
180.5—184.5
2
0.04
1.00
合计
50
1.00
(2)根据上表，画出如图所示的频率直方图.
(3)根据频率分布表可知在这50名学生中身高大于172 cm的学生所占的频率是:
0.26+0.08+0.04=0.38.
据此，可以估计在中学生中身高大于172 cm的学生的概率是0.38.
说明：本试卷分第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)
1.在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析:问题属古典概型.基本事件数为36，两数之和等于4的事件含有基本事件数为6.所以，所求的概率为.
答案:B
2.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）
A.32 B.0.2 C.40 D.0.25
解析:由已知可知中间小长方形的面积为，也就是中间组的频率是.所以，频数为160×=32.
答案:A
3.样本4，2，1，0，-2的标准差是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
解析:s=.
答案:B
4.运行下面的程序，执行后输出的s的值是（ ）
i←1
While i<6
i←i+3
s←2i+1
End While
Print s
A.11 B.13 C.17 D.19
解析:当i=5时，i+3=8，s=2×8+1=17.
答案:B
5.给出下列4个命题：
(1)“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;
(2)“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件;
(3)“明天广州要下雨”是必然事件;
(4)“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：(1)(2)(4)正确.
答案：D
6.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温/℃
18
13
10
4
-1
杯数
24
34
39
51
63
若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）
A.y=x+6 B.y=-x+42
C.y=-2x+60 D.y=-3x+78
解析:利用计算器得y=-2x+60.
答案:C
7.(2007山东高考方案征求意见样题，文5)某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中,正确的是( )
A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
解析：依据抽样数据呈现规律与三种抽样方法的特点而定，三种抽样方法的共同特点是每个个体被抽取的概率相等.
答案：D
8.如图1，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
图1
A. B. C. D.
解析：记事件“所投的点落在梯形内部”为A，由几何概型得P(A)=(a+a)×b/ab=.
答案：D
9.为了考察两个变量x与y之间的线性关系，甲、乙两同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得到的试验数据中变量x和y的数据的平均值相等，且分别都是s、t,那么下列说法正确的是( )
A.直线l1,l2一定有公共点(s,t) B.直线l1,l2相交，但交点不一定是(s,t)
C.必有l1∥l2 D.l1,l2必定重合
解析：依据线性回归方程与系数的关系求解.
线性回归方程为，
a=t-bs,t=bs+a，(s,t)在回归直线上，直线l1,l2一定有公共点(s,t).
答案：A
10.在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2 之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析：点C位于距离点A5 cm与7 cm之间，由几何概型得P==.
答案：B
11.考虑一元二次方程x2+mx+n=0,其中m、n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由方程有实根知:m2≥4n.
由于n∈N*,故2≤m≤6.
骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑,共有6×6=36种情形.
其中满足条件的有:
①m=2,n只能取1,计1种情形;
②m=3,n可取1或2,计2种情形;
③m=4,n可取1或2、3、4,计4种情形;
④m=5或6,n均可取1至6的值,共计2×6=12种情形.
故满足条件的情形共有1+2+4+12=19(种).
答案：A
12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A—F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A.6E B.72 C.5F D.B0
解析:在十进制中，A×B=10×11=110.
因为110=16×6+14，所以在十六进制中A×B=6E.
答案:A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上)
13.有一个圆内接正三角形，随机向圆面上投一镖中圆面，那么镖落在三角形内的概率为____________.
提示:问题属几何概型，所求的概率等于三角形的面积除以圆的面积.
答案:
14.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为____________.
解析：将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P=.
答案：
15.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到
那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率是___________.
解析：公用电话亭里一个人也没有的概率
P(0)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-…
=1-P(0)-P(0)-P(0)-0-0-…，解得P(0)=.
答案：
16.如图2给出的算法流程图中，输出的结果s=___________.
图2
解析：该算法流程图是一个循环结构，当i=7时，运行得s=2×(7+2)+3=21.
答案：21
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，请用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费y元的过程，画出流程图.
解：由题意得：
求手续费时，需先判断x的范围，故应用条件结构描述.流程图如下：
18.(本小题满分12分)从个体数为103的总体中采用系统抽样，抽取一个容量为10的样本.写出具体的操作方法.
解：第一步，将总体103个个体编号为：1、2、3、…103；
第二步，因抽取容量为10的样本，所以应从整体中剔除3个个体（用抽签法或随机数表法）；
第三步，将余下的100个个体重新编号为1、2、3、…100，分成10段，每段10个个体，在第1段随机确定一个起始编号，如4号，则编号4、14、24、…94为所取样本.
19.(本小题满分12分)某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段［60，65），［65，70），…,［95，100）进行分组，得到的分布情况如图3所示.求：
图3
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数；
（2）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比.
解:从分布图可以看出，抽测成绩各分数段的人数依次为：
［60，65）1人；［65，70）2人；［70，75）10人；［75，80）16人；［80，85）12人；［85，90）6人；［90，95）2人；［95，100）1人.因此，
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数为38人.
（2）该班抽测成绩不低于85分的占总人数的18％.
20.(本小题满分12分)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是 cm，现用直径等于2 cm的硬币投到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
解：设事件A为“硬币落下后与格线没有公共点”,如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离为1，则等边三角形的边长为，由几何概率公式得：
P(A)=.
21.(2006中数参第6期“概率与统计测评题”，20)(本小题满分12分)
设甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有m个黑球，n个白球，从甲、乙袋中各摸一球.设事件A：“两球相同”，事件B：“两球异色”，试比较P(A) 与P(B)的大小.
解：基本事件总数为(m+n)2，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，则P(A)=，“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”，则P(B)=.
∵P(B)-P(A)=≥0，
∴P(A)≤P(B)，当且仅当“m=n”时取等号.
22.(本小题满分14分)为了了解中学生的身高情况，对某校同龄的50名男学生的身体进行了测量，结果如下：（单位：cm）
175 168 170 176 167 181 162 173 171 177
171 171 174 173 174 175 177 166 163 160
166 166 163 169 174 165 175 165 170 158
174 172 166 172 167 172 175 161 173 167
170 172 165 157 172 173 166 177 169 181
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计中学生身高大于172 cm的学生所占的概率.
解案：(1)在这个样本中，最大值为181，最小值是157，它们的差是24，可以取组距为4，分成7组.根据题意列出样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
累计频率
156.5—160.5
3
0.06
0.06
160.5—164.5
4
0.08
0.14
164.5—168.5
12
0.24
0.38
168.5—172.5
12
0.24
0.62
172.5—176.5
13
0.26
0.88
176.5—180.5
4
0.08
0.96
180.5—184.5
2
0.04
1.00
合计
50
1.00
(2)根据上表，画出如图所示的频率直方图.
(3)根据频率分布表可知在这50名学生中身高大于172 cm的学生所占的频率是:
0.26+0.08+0.04=0.38.
据此，可以估计在中学生中身高大于172 cm的学生的概率是0.38.