5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
X
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？
新课引入
追问:(1)前面我们研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？
研究函数的一般思路：
研究函数的一般方法是：
函数的
性质
用性质
解问题
函数的
图象
函数的
定义
特殊的
函数
追问:(2)绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
追问:(3)根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
描点法
由诱导公式一
知自变量每增加(减少) 2π,正弦函数值、余弦函数值将重复出现.据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，再画正弦函数y=sinx，x∈ R的图象．
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
用描点法作出函数图象的主要步骤：
-
-
-
-
-
-
问题2：如何作出正弦函数的图象？
学习新知
在描点时，因为诸如 是无理数，无法精确地描出。
遗憾！
在直角坐标系中如何作点（ ， ）？
P
M
C( , )

y
x
O
思考：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
几何法作图的关键是如何利用单位圆中角sinx0对应的几何量，巧妙地移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x0,sinx0).
问题2：如何作出正弦函数的图象？
用几何法作 的图象! 　　　
在x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x的值分别为 ，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分.
具体应该如何作？
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，
其形状、位置、凸向等有何变化规律？
问题2：如何作出正弦函数的图象？
作法:
(1) 等分
(2) 作正弦对应线
(3) 平移
(4) 连线
用几何法作 的图象! 　　　
y
x
o
1
-1
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
五点法——
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
x
sinx
0 2
0
1
0
-1
0
图象的最低点
图象的最高点
与x轴的交点
想一想：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？
如何作出正弦函数y=sinx的图象（在精确度要求不太高时）？
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
x
o
1
-1
y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
正弦曲线
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx 的图象在… …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同。
思考：根据函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，你能想象正弦函数y=sinx，x∈ R的图象吗？依据是什么？画出应该函数的图象。
函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
你能画出函数y=|sinx|，x∈[0，2π]的图象吗？
y
x
O
π
1
2π
-1
学习新知
是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？
注：余弦函数的图像可以通过将正弦曲线向左平移 个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线.
根据诱导公式，可得:
问题3:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数y=sinx (x∈R)的图象画出余弦函数y=cosx (x∈R)的图象吗？
思考：由诱导公式可知，y=cosx与
是同一个函数，如何作函数 在[0，2π]内的图象？
x
y
O
2π
π
1
y=sinx
-1
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

正弦、余弦函数的图象
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=cosx=sin(x+ ), x R
余弦曲线
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
方法：利用图像平移
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
在函数 的图像上，起关键作用的点有：
五点法作图
-1
-
-
-
1
-
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
-
-
-1
1
-
-1
-
-
-
-1
1
-
-1
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
(2) 描点(定出五个关键点)
——五点法
问题：有没有更加简洁的作图呢？
(1)y=1+sinx，x [0, 2 ];
x
sinx
1+sinx
0 2
0
1
0
-1
0
1 2 1 0 1
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y=1+sinx，x [0, 2 ]
步骤：
1.列表
2.描点
3.连线
例1.画出下列函数的简图：
(2) y= - cosx，x [0, 2 ] .
解:按五个关键点列表:
正弦、余弦函数的图象
(2) y= - cosx，x [0, 2 ] .
x
cosx
- cosx
0 2
1
0
-1
0
1
-1 0 1 0 -1
y
x
o
1
-1
y= - cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
函数图像的平移和对称变换

【平移】








【对称】





左加右减，
上加下减.
x
sinx
0 2
1
0
-1
0
1
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x [0, 2 ] 和 y= cosx，x [ , ]的简图：
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [ , ]
向左平移 个单位长度
x
cosx
1
0
0
-1
0
0
例2.当x∈[0，2π]时，求不等式
的解集.
x
y
O
2π
π
1
-1
y
x
x
O
法1（定义）
法2（图象）
o
1
y
x
-1
2
正弦、余弦函数的图象
正弦、余弦函数的图象
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法
五点法
2.注意与诱导公式、几何对应量等知识的联系.
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
3.巩固图象的平移，以及灵活运用数形结合法.
课堂小结
在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
课外思考
谢谢大家