龙川县 2023-2024 学年度第一学期期中考试
高 一 数 学
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每题 5分，共 40分）
1．已知集合 A 1,m ， B 2m 2,1 ，若 A B，则实数m （ ）
A．0 B．1 C．1或 2 D．2
2．已知幂函数 f x x 的图象过点 P 3,9 ，则 （ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．3
3．命题“ x 1, , x2 2 0 ”的否定是（ ）
A． x ,1 , x2 2 0 B． x 1, , x2 2 0
C． x 1, , x2 2 0 D． x 1, , x2 2 0
4．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
f x 1 2
A． x B f x 2x C f x x f x x． ． D．
x2 1，x 0
5．已知函数 f x x ，则 f f 0 的值是（ ）
2 ，x 0
A 2 B C 1． ． 2 ． 2 D．22
4
6．若 x 2，则 y x 的最小值为（ ）
x 2
A．4 B．5 C．6 D．8
7．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}
8．若 ，下面有六个结论：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（每题 5分，共 20分）
9．已知集合 A x x 3k 1,k Z ，则下列表示正确的是（ ）
A． 1 A B． 11 A C．2 A D． 34 A
10．下列函数中最小值为 1的是（ ）
A．y
1
x 0,1 B．y 2 x 1 C．y x2 6x 10 D．y 5x 1x ，
11．已知不等式 ax2 bx c 0的解集为{x∣x 1或 x 3}，则下列结论正确的是
（ ）
A． a<0 B． a b c 0
C． c 0 D． cx2
1
bx a 0的解集为 x∣ x 13
f (x)
12．若函数 f x 在定义域内 D内的某区间 M是增函数，且 在 M上是减函数，
x
则称 f x 在 M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是（ ）
A．若 f (x) x2 ,则不存在区间 M使 f x 为“弱增函数”
B．若 f (x) x
1
,则存在区间 M使 f x x 为“弱增函数”
C．若 f (x) x5 x3 x,则 f x 为 R上的“弱增函数’
D．若 f (x) x2 (4 a)x a在区间 0,2 上是“弱增函数”，则 a 4
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每题 5分，共 20分）
13．集合 ，则集合 A的子集的个数为 个．
14．求值： .
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}
f x x15．函数 x 2 0 的定义域是 .
2x 3
x
16. x已知定义域为 的单调减函数 是奇函数，当 时， f (x) 2 .
3
则 的解析式为 ；
四、解答题（共 70分）
17．已知全集 {-3，-2，-1，0，1，2，3}， ， ， ， ， ，
(1)求 ， ；
(2)求 ， ．
18．计算下列各式：
1
1
(1)814 5 3 0 8 3 ；
27
2 1 1 1 1 1
(2) 5x 3 y 2 x 1
5
y 2 x3 y 6 ，其中 x， y 0 .
4 6
19．已知函数 f (x) a3 x ，（a为常数， a 0且a 1），若 f (2) 3．
(1)求 a的值；
(2)解不等式 f (x) 9
20.已知集合 A x | x 2 2ax a 2 4 0 , B x | 1 x 2 ．
(1)若 a 3，求 A B；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围．
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}
21．佗城位于龙川县最南端，内有百岁街、越王井、赵佗故居、正相塔、越王庙、
孔庙、考棚等旧址及古建筑，某开发商计划 2024年在佗城景区开发新的游玩项目，
全年需投入固定成本 400万元，若该项目在 2024年有 x万名游客，则需另投入成
50 , 0 x 5
R(x) 2 x 40x 200, 5 x 20
本 万元，且 ，该游玩项目的每张门票
81x 1600 850, x 20
x
售价为 80元.
(1)求 2024年该项目的利润 （万元）关于游客数量 x（万人）的函数关系式（利
润=销售额-成本）.
(2)当 2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
22 2．二次函数 f x ax bx c，且 f 0 2， f x 1 f x 2x 1
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若关于 x的方程 f x m 0在 1,2 上有解，求实数m的取值范围；
(3)当 x t,t 2 t R 时，求函数 f x 的最小值 g t 的解析式。
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}龙川县 2023-2024 学年度高一数学期中考试卷
答案及解析
一单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B C C A D
1．D 【详解】由题意可知m 2m 2，解得m 2
2 ．C 【详解】因为幂函数 f x x 的图象过点 P 3,9 ，所以3 9，解得 2 .
3．D 【详解】根据存在量词的否定式全称量词，所以“ x 1, , x2 2 0 ”
的否定式“ x 1, , x2 2 0”，
1
4．B 【详解】对于 A， f x 在 ,0 和 0, 单调递减，不是定义域
x
,0 U 0, 的减函数，故 A 错误；
对于 B， f x 2x定义域R ，又因为 f x 2x f x ，所以 f x 2x在定
义域内是奇函数，结合一次函数特征可知， f x 2x为减函数，故 B 正确；
对于 C 2 2 2， f x x 定义域R ，又因为 f x x f x ，所以 f x x 在定
义域内是偶函数，故 C 错误；
对于 D， f x x定义域 0, ，为非奇非偶函数，故 D 错误.
1
5．C 【详解】由已知 f 0 1， f f 0 f 1 .2
4 4
6．C 【详解】 y x x 2 2 ，
x 2 x 2
因为 x 2 4 4，所以 x 2 0，所以 y x 2 2 2 x 2 2 4 2 6 ，
x 2 x 2
4
当且仅当 x 2 ，即 x 4时等号成立，
x 2
故最小值为 6，
试卷第 1页，共 6页
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7．A 【详解】因为函数 在 ， 上的增函数，且 ，所以
，即 ，又 ，所以 ，所以 .
8．D 【详解】对①： ， ， ，故 ，
正确；
对②： ， ，
，故 ，正确；
对③：取 ， ，则 ， ， ，错误；
对④： ， ， ，故 ，正确；
对⑤：取 ， ，则 ， ， ，错误；
对⑥：要证 ，即 ，即 ，正确；
故选：D.
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BCD ABC ABD ABD
9．BCD【详解】易知 k 0 x 1 1 A， k 1 x 2 2 A，
10
k 11 x 34 34 A，令3k 1 11 k Z ，
3
即 B、C、D 正确，A 错误；故选：BCD
1
10．ABC【详解】对于 A，函数 y 在 0,1 上单调递减，当 x 1时， ymin 1，故x
A 符合题意.对于 B，由 x 0，得函数 y 2 x 1的最小值为 1，故 B 符合题意；
对于 C，函数 y x2 6x 10 x 3 2 1的最小值为 1，故 C 符合题意；
对于 D，函数 y 5x 1的值域为 1, ，没有最小值，故 D 不符题意；
故选：ABC.
11．ABD【详解】因为不等式 ax2 bx c 0的解集为{x∣x 1或 x 3}，则 1，
试卷第 2页，共 6页
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a 0
b
3是方程 ax2 bx c 0的两根，则 1 3 ，解得 a 0,b 2a,c 3a 0 ，
a
1 3
c
a
故 A 正确，C 错误；
因为 a b c a 2a 3a 4a 0，故 B 正确；
1
不等式 cx2 bx a 0可以化简为3x2 2x 1 0，解得 x 1，故 D 正确；
3
故选：ABD
f (x)
12．ABD【详解】A. f (x) x2 , xx 在定义域内的任何区间上都是增函数，故不
存在区间 M使 f x 为“弱增函数”；
B. f (x) x
1 1, y f (x) 1 在 上为增函数， 1 x 2 ，易知它在 1, 上为减函x x
数
故 f (x) x
1
存在区间 M使 f x 为“弱增函数”；
x
C. f (x) x 5 x 3 x 为奇函数，且 x 0 时， f (x) x 5 x 3 x 为增函数，故奇函数
的对称性可知， f (x) x 5 x 3 x为 R上增函数；
y f (x) x 4 x 2 1为偶函数，其在 x 0 时为增函数，故在 x 0 时为减函数.故不
x
是 R上的弱增函数；
D. 若 f (x) x2 (4 a)x a在区间 0,2 上是“弱增函数”，则 f (x) x2 (4 a)x a在
0,2 4 a上为增函数，故 0 ，故 a 4
2
y f (x)又 x (4 a )
a
在 0,2 上为减函数，则由双勾函数单调性可知， a 2，x x
则 a 4
综上有 a 4
故选：ABD
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三、填空题
13、 4 ； 14、 8 ；
3
14、 ； , 2 2, ； 16、
2
13．4 【详解】由题设，集合 有 2 个元素，故集合 A的子集的个数为 个.
14．8 【详解】 8.
3 2x 3 015． , 2 2,
3
【详解】由题意可得 ，解得 x 2或 x 2 .
2 x 2 0 2
f x x所以函数 x 2 0 3的定义域是 , 2
2x 3 2
2, .
16. ；.【详解】解：因为定义域为 的函数 是奇函数，
所以 .
因为当 时， ，所以 ，又因为函数 是奇函数，
所以 ，所以 ，综上，
四、解答题
17．【详解】（1）由 ， ，则 ，
；
（2）全集 ，则 ， ，
所以 ， ．
1 1
1 8 3
0
1 3
18．【详解】（1 3）由814 5 3 3 4 4 2 3 7 1 27 3 1 ； 3 2 2
试卷第 4页，共 6页
{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}
（2）由
2 1 1 1 1 1 1 5 1 5
2 1
1 1 1 1 4 5
5x 3 y 2 x y 2 x 3 y 6
25
4 6
5 x 3 3 y 2 2 6 x 3 y 6
4 6 24
19．【详解】（1）∵函数 ， ，∴ ，∴ .
（2）由（1）知 ，由 ，得 ∴ ，即 ，
∴ 的解集为 .
20. 2【详解】（1）解：若 a 3 ，则 A x | x 6x 5 0 x |1 x 5 ，又
B x | 1 x 2 ，所以 A B x | 1 x 5 ；
（2 2 2）解： A x | x 2ax a 4 0 x |a 2 x a 2 ，
因为“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，所以 B是 A的真子集，
a 2 1
所以 ，解得0 a 1，所以实数 a的取值范围是[0,1]．
a 2 2
21.【详解】（1）解：由题意可得，
8
8
8 8 8
8
即
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时，由基本不等式知 8 ，当且仅当 即 时等号
成立，
故 max 8 ，综上，游客为 40 万人时利润最大，最大为 370
万．
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21 2．【详解】（1）解：由题意，∵ f x ax bx c，∴ f 0 c 2，
∴ c 2，即 f x ax2 bx 2，
又∵ f x 1 f x 2x 1，
a x 1 2∴ b x 1 2 ax 2 bx 2 2ax a b 2x 1 ，
2a 2 a 1 2
∴ a b ，解得： b ，则
f x x 2， x R .
1 0
（2）解：由题意，关于 x的方程 f x m 0在 1,2 上有解，
即 x2 2 m 0 在 1,2 上有解，则m 2 x2，
∵ 1 x 2，∴0 x2 4，则 0 m 2 4，
解得： 2 m 6，即实数m的取值范围为 2,6 .
（3）解：
2
如图，函数 f x x 2的图象是以直线 x 0为对称轴，
开口向上的抛物线，
当 t 0时，函数 f x 在 t, t 2 上单调递增，则
f x f tmin t
2 2；
当 t 2 0即 t 2时，函数 f x 在 t, t 2 上单调递减，则
f x f t 2 t 2 2 2 t2 4 t 6min ；
当 t 0 t 2即 2 t 0时， f x f 0min 2 ；
t 2 4t 6, t 2
综上， g t 2, 2 t 0 .
2
t 2, t 0
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{#{QQABTQKUogAgAhBAABgCEQVYCAIQkAECCKoOQBAEMAAAQANABAA=}#}
