5.5.1辅助角公式 学案

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5.5.1辅助角公式
班级 姓名
学习目标
1．掌握辅助角公式的推导与应用.
2．应用辅助角公式和其它公式解决三角函数问题.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
辅助角公式的推导 辅助角公式y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.证明：
辅助角公式的运用 例1、将下列各式化为或者的形式.(1)sinx＋cosx； (2)2sinx－2cosx； (3)sinx－cosx； (4)cos x－sin x.变式1、将下列各式化为或者的形式.(1)； (2).
三角函数综合题型 例2、已知函数f(x)＝cos－sin 2x.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
课后作业
一、基础训练题
1．化简cos x－sin x等于(　　)
A．2sin B．2cos
C．2sin D．2cos
2．(多选题)cos α－sin α化简的结果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
4．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)
A．2≤m≤6 B．－6≤m≤6
C．25．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A． B． C． D．
6．sin－cos＝________．
7．函数y＝cos x＋cos的最小值是 ，最大值是 ．
8．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．
9．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是 ．
10．化简：(1)(cosx－sinx)； (2)3sinx＋3cosx.
二、综合训练题
11．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是 ．
12．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥0．
三、能力提升题
13．已知cos＋sinα＝，则sin的值是 ．
14．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为 ．
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
5.5.1辅助角公式
参考答案
1、【答案】D
【解析】cos x－sin x＝2＝2＝2cos.
2、【答案】BD
【解析】cos α－sin α＝2＝2＝2cos＝2sin.
3、【答案】B
【解析】f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
4、【答案】A
【解析】∵sinx＋cosx＝4－m，∴sinx＋cosx＝，∴sinsinx＋coscosx＝，
∴cos＝.∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6.
5、【答案】D
【解析】f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．
6、【答案】－
【解析】原式＝2.
法一：(化正弦)原式＝2＝2＝2sin＝2sin＝－.
法二：(化余弦)原式＝2＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.
7、【答案】－　
【解析】方法一　y＝cos x＋cos xcos －sin xsin ＝cos x－sin x＝＝cos，
当cos＝－1时，ymin＝－. 当cos＝1时，ymax＝.
方法二　y＝cos＋cos＝cos·cos ＋sinsin ＋cos
＝cos＋sin＝＝cos＝cos，
所以－≤y≤.
8、【答案】
【解析】函数y＝sinx－cosx＝2sin，当0≤x<2π时，－≤x－<，
所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.
9、【答案】2
【解析】f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin.
∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
10、【解析】(1)(cosx－sinx)＝×＝2＝2cos.
(2)3sinx＋3cosx＝6＝6＝6cos.
11、【答案】－1
【解析】＝sin 15°－cos 15°＝2＝2sin(15°－45°)＝2sin(－30°)＝－1.
12、【解析】(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x－∈，sin∈，
sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈时，f(x)≥0.
13、【答案】－
【解析】因为cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＝，
·＝，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－
14、【答案】
【解析】因为f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin，
所以其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z.
解得x＝kπ＋，k∈Z.又函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，最小正实数a的值为.
15、【答案】－
【解析】f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，
∴cos θ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cos φ－sin(θ－φ)sin φ＝－sin φ＝－
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