江西省抚州市资溪县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

资溪县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
6．已知直线与直线间的距离为，则（ ）
A．或 B．
C．或11 D．6或
7．如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）

A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
8．已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（ ）
A． B．
C．若且，则 D．
10．已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．，
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．若点是圆上一动点，的最小值为
11．如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）

A．与所成角的余弦值为
B．过A，，三点的正方体的截面面积为9
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆圆心为M，半径为，的内切圆圆心为N，半径为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线垂直于x轴 B．周长为定值
C．与之和为定值 D．与之积为定值
三、填空题（共20分）
13．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ．
14．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是 .
15．若与有交点，则实数的取值范围为 .
16．椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率 .
四、解答题（共70分）
17．已知复数满足（是虚数单位）.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
18．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
(1)求角．
(2)若的周长为15，求的面积．
19．已知直线，直线
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；
(2)若，求直线的方程.
20．已知圆过点和．
(1)求圆的方程；
(2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
21．已知直四棱柱，，，，，．

(1)证明：直线平面；
(2)若该四棱柱的体积为，求的长．
22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．
1．C
直线l与平面没有公共点，则直线l与平面平行，反之，也成立，
故“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充要条件.
故选：C
2．D
，对应点坐标为，在第四象限，
故选：D．
3．A
直线的斜率是，设倾斜角为，
解得
故选：A
4．C
因为
所以，
当时，
，为锐角，不合题意，舍去；
当时，
，满足题意；
所以.
故选：C
5．A
解：
.
故答案选：A.

6．A
直线可化为，
所以，解得或．
故选：A.
7．C
A选项，连接，由于分别是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.

B选项，连接，
由于三角形和三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.

C选项，几何体是正四面体，
设在底面上的射影为，连接，则平面，
且是等边三角形的中心，
连接，由于分别是的中点，
所以是等边三角形的中位线，所以，
所以平面与平面不垂直，C选项错误.

D选项，连接，
同理B选项的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.

故选：C
8．C
设，则，所以，
当时，；
当时，，
当且仅当即时取等号，所以；
由上可知，取最小值时，，
所以，
故选：C.
9．BD
向量，，则，A错误；
，B正确；
令为坐标原点，则，点，C错误；
，D正确.
故选：BD
10．AB
圆：的圆心坐标为，
故，，解得，，圆方程为，
对选项A：因为直线恒过点，正确；
对选项B：，，正确；
对选项C：当直线与垂直时，弦最短，此时，
弦长为，错误；
对选项D：设，即，当直线与圆相切时，，
解得或，故，错误；
故选：AB
11．AC
正方体易得，取中点，连接．由于是中点，因此，所以，所以是与所成角或其补角，
由已知中，，，
，A正确；
取中点，连接，同理可证（由得），因此是过A，，三点的正方体的截面，它是等腰梯形，
，，，面积为，B错；

由于，平面，平面，所以平面，从而到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，
当与重合时，，C正确；

设是点关于平面的对称点，则，又，
显然，，
又，所以，
，，
显然当是线段与平面的交点时，取得最小值，D错．

故选：AC．
12．AD
由题意，可得如下示意图，其中为内切圆与各边切点，
由图知：，
由，则
令横坐标为，则，即为双曲线右顶点，
同理，内切圆在轴上的切点也为，又都垂直于轴，
所以直线垂直于x轴，A对；
由周长为，
而的长不定，故周长不为定值，B错；
由分别平分，且，
在中，又，
所以，故为定值，D对.
令，则，
显然为直线的倾斜角，其大小不定，故与之和不为定值，C错.
故选：AD
13．
由题意知，
该直线的斜率为，
解得.
故答案为：.
14．
由题意，
，
，
所以，即与的夹角是.
故答案为：.
15．
由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆，
又由直线恒经过定点，
因为曲线与轴的交点分别为，
可得，
要使得与有交点，可得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.

16．
因为的中点M为双曲线的左顶点，所以，
椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，
所以，可得，
所以，代入可得，
则椭圆的离心率.
故答案为：.

17．(1)
(2)
（1）由，
得，所以
（2）因为，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
（1）由题意可得，
所以．
由正弦定理，得，
则，所以．
又，所以．
（2）因为的周长为15，所以则．
因为，所以，
即，解得或．
因为，，所以，
所以，，，所以．
19．(1)
(2)
（1）由题意可知，，
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则，解得：；
（2）若，
则且，解得：，
此时直线的方程为.
20．(1)
(2)或
（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和.
，解得,
故圆的方程为：.
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：.
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知到直线与直线的距离相等.
故有，
解得或
所以直线的方程：或
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：在直四棱柱中，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
（2）解：因为，，，，，
所以，，
所以，，解得.
22．(1)
(2)或．
（1）由题意，过点的直线l经过原点，
所以l的方程为，且点A，B关于原点对称．
设，将代入，化简得，即，∴．
∵，∴．
根据对称性，
根据椭圆定义得，∴．∴．
所以C的方程为．
（2）易知左焦点，又点E在x轴的投影为点，所以，如下图所示：

设，则，可得，即，
易知，利用三角形相似可得，可得，
所以，即，
设，，则，，
即．
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，
此时，不符合条件．
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，
联立得．
，解得，
可得，即，解得
综上，PQ所在直线的方程为或．