江西省抚州市资溪县2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

资溪县2023-2024学年高一上学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知p：，q：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数满足关系式，则的最小值为（　）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知，则满足的关系式有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为奇函数 D．为增函数
12．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．函数的定义域是
14．若幂函数为奇函数，则的值为 .
15．函数 （且）的图象过定点 ．
16．设函数，存在最大值，则的取值范围是 .
四、解答题（共70分）
17．化简求值
(1)计算；
(2)
18．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
19．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
20．已知函数（且）的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
21．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？
(2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值．
22．已知函数，满足.
(1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
(2)设.
①当时，求的最小值；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
1．C
因为合，，则，
因此，.
故选：C.
2．A
因为成立，必有成立，而成立，不一定成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
3．D
由特称命题的否定为全称命题，故命题的否定是，.
故选：D
4．D
对于A，若，则不等式不成立，故A错误；
对于B，若，则不等式不成立，故B错误；
对于C，若，则不等式不成立，故C错误；
对于D，因为，所以，即，故D正确.
故选：D
5．C
对称轴为,
所以在严格增，所以，
故选：C.
6．D
函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7．A
由在定义域上单调递减，所以得：，
由在定义域上单调递增，所以得：，
即：.故A项正确.
故选：A.
8．C
令，则，
将看作关于的一元二次方程的两根，
则，故，可得或，
由，
结合二次函数性质，在上递减，在上递增，
又，
所以的最小值为.
故选：C
9．CD
，则，若“”是“”的充分不必要条件，
则，CD满足.
故选：CD.
10．AD
因为，
所以.
观察可得，.
故选：AD
11．ACD
由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：
由图知：值域为，且在定义域上递增，
令，则，故，
令，则，故，且，
所以为奇函数.
故选：ACD
12．BC
因为为奇函数，所以，即，故A错误；
因为为偶函数，所以，
则有，，
又由为奇函数，得，
即，，
所以，，，
所以，B正确；
由可知当得，
由知，当得，
所以，所以，
又，都有即，
所以在上单调递增，且，所以，
所以，所以C正确；
由及
得，，
所以，
因为在上单调递增，且，所以，
所以，即，所以D错误.
故选：BC
13．
要使有意义，则，
∴，
∴的定义域为，
故答案为：．
14．0
由是幂函数，得，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：0
15．
因为函数的图象过点定，而的图象是由的图象沿x轴向左平移一个单位得到的．故图象过点
故答案为（﹣1，1）．
16．
①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，
故函数存在最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，，
当时，函数在上单调递增，此时 ，
于是时函数存在最大值.又，解得 ；
④当时，函数在上单调递减， ，
在上单调递增，此时
故当，解得，
又，故；
综上，的取值范围是时函数存在最大值.
故答案为：
17．(1)
(2)
（1）原式；
（2）原式
18．(1)
(2)
（1）∵，
∴，
又，
∴.
（2）由题意可得，
又∵，
∴解得，
所以实数m的取值范围为.
19．(1)；
(2)存在.
（1）因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件
20．(1)
(2)
（1）因为的图象经过点，
则，且且，所以．
（2）当时，，则，
因为，所以在上单调递增，
则，即，
所以的值域为．
21．(1)80；
(2)14.
（1）依题意，，整理得：，即，而，解得，
所以调整后技术人员的人数x最多为80.
（2）依题意，，整理得：，
，而当时，，当且仅当时取等号，因此，
所以正整数t的最大值为14.
22．(1)见解析
(2)①；②或
（1）由题意可得，
令，则
，
时，且，
故，故在区间上为减函数；
时，且，
故，故在区间上为增函数.
（2）①令，解得，
由中可知的定义域为，
且，
因为，则，可得，故，
令，则，
故，当且仅当时取等号，
故，
②因为恒成立，
故，即，
由①：时，
令，令，
由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
时，在上为减函数，
故，，
故，得，和矛盾，
时，在上为减函数，在上为增函数，
，即，
得，
时，在上为增函数，故，得，
即或，由得，
综上得：或.