(共14张PPT)
规范练1
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1.(10分)(2023全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
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3.(12分)(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
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利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
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解 (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,
由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.
(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,
∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;
当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,
∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
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(1)证明:AE⊥平面ABCD;
(2)设H为线段GC上一点,且三棱锥A-CDH的体积为18,求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.
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(1)证明 取线段AD的中点R,RD的中点K,连接GR,PK,QK.
∵EG∥AD,EG= AD,
∴E,A,D,G四点共面,且EG∥AR,EG=AR,
∴四边形ARGE为平行四边形,∴GR∥AE.
又GP=PD,RK=KD,∴PK∥GR,∴PK∥AE.
∵BQ=3QC,AK=3KD,∴AB∥QK,∴AD⊥QK.
又AD⊥PQ,PQ,QK 平面PQK,PQ∩QK=Q,
∴AD⊥平面PQK.
又PK 平面PQK,∴AD⊥PK,∴AE⊥AD.
又AE⊥AB,AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,
∴AE⊥平面ABCD.
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4(共12张PPT)
规范练2
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1.(10分)(2023河北张家口二模)已知数列{an}的首项a1=1,Sn为其前n项和,且nan+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
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2.(12分)(2023山东淄博一模)已知在多面体ABCDEF中,AD∥BC∥EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED= .
(1)证明:AD⊥BF;
(2)若 ,求直线CD与平面ABF所成角的正弦值.
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3.(12分)(2023山东日照一模)已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,
,且a=1.
(1)求角B;
(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折叠到平面BCED后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值.
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4.(12分)(2023新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则 .记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
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解 (1)第2次投篮的人是乙分两种情况:
第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;
第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6.
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4(共13张PPT)
规范练3
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1.(10分)(2022浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
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2.(12分)(2023浙江杭州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列 的前n项和Tn.
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解 (1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
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(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
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3.(12分)(2023湖南株洲一模)如图1,已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿对角线BD将其翻折,使∠ABC=90°,设此时AC的中点为O,如图2.
图1
图2
(1)求证:点O是点D在平面ABC上的射影;
(2)求直线AD与平面BCD所成角的余弦值.
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(2)解 设点A到平面BCD的距离为h,令菱形ABCD的边长为2,且∠DAB=60°,则∠DCB=60°,
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4.(12分)(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异
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解 (1)零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.
由题意可知,n=200,
根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
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4(共18张PPT)
规范练4
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1.(10分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
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(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)用[x]表示不超过x的最大整数,求数列{[an+an+1]·}的前n项和Sn.
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3.(12分)(2023山东潍坊三模)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品,统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1).
图1
产品的性能指数在[50,70)的适合儿童使用(简称A类产品),在[70,90)的适合少年使用(简称B类产品),在[90,110]的适合青年使用(简称C类产品),A,B,C三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位:元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
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图2
(1)该公司为了解年营销费用x(单位:万元)对年销售量y(单位:万件)的影响,对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)的数据做了初步处理,得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).
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根据散点图判断,y=a·xb可以作为年销售量y(单位:万件)关于年营销费用x(单位:万元)的经验回归方程,求y关于x的经验回归方程;(取e4.159≈64)
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(2)求每件产品的平均销售利润,并用所求的经验回归方程估计该公司应投入多少营销费,才能使得该产品一年的收益达到最大 (收益=销售利润-营销费用)
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(2)设每件产品的销售利润为X元,则X的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,由频率分布直方图可得,A,B,C三类产品的频率分别为0.15,0.45,0.4,
所以P(X=1.5)=(0.004+0.011)×10=0.15,
P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,
P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,
所以随机变量X的分布列为
X 1.5 3.5 5.5
P 0.15 0.45 0.4
所以E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,
故每件产品的平均销售利润为4元.
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则f'(t)=256-4t3=4(64-t3).
当t∈(0,4)时,f'(t)>0,则f(t)在区间(0,4)上单调递增,
当t∈(4,+∞)时,f'(t)<0,f(t)在区间(4,+∞)上单调递减,
故当t=4,即x=256时,z有最大值为768,
所以估计当该公司一年投入256万元营销费时,能使得该产品年收益达到最大.
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4.(12分)(2023广西柳州模拟)如图,以矩形ABCD的CD边为直径作半圆O,点E为半圆上一点,满足∠EDC=60°,BC=1.将半圆沿CD折起,使得半圆面和平面ABCD垂直.
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(1)证明 ABCD为矩形,∴BC⊥CD.
∵平面CDE⊥平面ABCD,且平面CDE∩平面ABCD=CD,BC 平面ABCD,
∴BC⊥平面CDE,而DE 平面CDE,∴DE⊥BC.
∵点E在半圆O上,CD为直径,∴DE⊥EC.
又BC∩EC=C,BC,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
∵DE 平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCE.
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4(共13张PPT)
规范练5
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2.(12分)(2023山东德州一模)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-2bcos A=b.
(1)求证:A=2B;
(2)若A的角平分线交BC于D,且c=2,求△ABD面积的取值范围.
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3.(12分)(2022新高考Ⅱ,20)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.
(1)证明:OE∥平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
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(1)证明 连接OA,如图所示.
∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.
又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.
取AB的中点D,连接OD,DE,则OD⊥AB.
∵AB⊥AC,∴OD∥AC.
又AC 平面PAC,OD 平面PAC,∴OD∥平面PAC.
∵D,E分别是AB,PB的中点,∴DE∥PA.
又DE 平面PAC,PA 平面PAC,∴DE∥平面PAC.
∵OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC.
∵OE 平面ODE,∴OE∥平面PAC.
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(2)解 过点D作DF∥OP,分别以DB,DO,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵PO=3,PA=5,∴OA=4.
由(1)知OB=OA=4,
又∠ABO=∠CBO=30°,
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4.(12分)(2023山东烟台、枣庄三模)已知函数
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,f(x)+k(1+ln x)≤0,求实数k的取值范围.
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令f'(x)>0,得0令f'(x)<0,得x<0或x>2,此时f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减;
综上,f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0)和(2,+∞).
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(2)(方法一)当x>1时,1+ln x>0,
则h'(x)=(x-1)(3+2ln x),
当x>1时,恒有3+2ln x>0,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0恒成立,即g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
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