东华致远 2023 学年第一学期期中教学评估
高一数学 试卷
考试时间：120 分钟 满分 150 分
一、填空（1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分）
1. 已知集合 = { 2 2 , 1}，若3 ∈ ，则实数 的值是 ___________.
1
2. 分式不等式 > 1的解集为 __________.
3. 已知 , ∈ ，则“ > 1 且 > 1”是“ + > 2”的 ___________ 条件.
1
4. 将3 ( ＞0)化为有理数指数幂的形式为 ___________.
√ √
5. 设 > 0, > 0,且 + = 18，则 的最大值为 ____________.
6. 已知对数函数 = ( > 0 且 ≠ 1)的图像经过点(3,2), 若点 ( , 4)为此函数图像上
的点，则实数 = ____________.
7. 若 53 = ，5 = 2，用含有 ， 的代数式表示 26为 ___________.
8. 关于 x 的方程| | + | 1| = 1的解为 ____________.
9. 用反证法证明时，命题“实数 , , 中至少有 1 个数是偶数”的否定是 ______________.
10. 若函数y = ( 2 3 + 3) x是指数函数，则 = ____________.
11. 若不等式( 2 1) 2 ( 1) 1 < 0的解集为 R，则实数 的取值范围是 ____________.
12. 对于数集 ＝{﹣1， 1， 2， 3， ， }，其中 0＜ 1＜ 2＜ 3＜ ＜ ，n≥2，定义点集
＝{( ， ) | ∈ ， ∈ }，若对于任意( 1， 1) ∈ ，存在( 2， 2) ∈ ，使得 1 2+ 1 2＝
0，则称集合 X 具有性质 P。 则下列命题中为真命题的是 ____________.
① ＝{﹣1，1，2}具有性质 P；
② 若集合 具有性质 P，则1 ∈ ；
1
③ 集合 具有性质 P，若 1 = ，则 ＝1． 2
二、选择题（13~16 题每题 5 分）
13. 集合 = {1，2，3，4，5}，则该集合的非空真子集个数有（ ）
A. 25 个 B. 23 个 C. 32 个 D. 30 个
14. 下列计算正确的是（ ）
A. (2 + 1)2 = 2 2 + 2 + 1 B. ( 2)3 = 6
C. √9 = ±3 D. + 2 2 = 3 3
1 / 4
{#{QQABRQAQggiAAhAAARgCAQmYCAEQkAECAKoOxAAEMAAAQRNABAA=}#}
1 1
15. 幂函数 = 2, = 1, = 3, = 2，在第一象限图像依次是下图中的曲线（ ）
A. 2, 1, 3, 4 B. 4, 1, 3, 2 C. 3, 2, 1, 4 D. 1, 4, 2, 3
16. 关于 的不等式 2 2 8 2 < 0 ( > 0) 的解集为( 1， 2),且 2 1 = 15,则实数 =（ ）
5 7 15 15
A. B. C. D.
2 2 4 2
三、解答题(17~21 题满分 76 分)
17.（1）试比较 2( 1)2 与 2 4 + 2 的值的大小（6 分）
（2）设 ∈ . 证明：若 2是偶数，则 也是偶数（6 分）
18. 已知 = { | 2 2 3 ≤ 0}, = { | | | ≤ 1, ∈ }
(1)若 ∪ = ，求实数 的取值范围；（7 分）
(2)若 ∈ ，求 ∩ . （7 分）
2 / 4
{#{QQABRQAQggiAAhAAARgCAQmYCAEQkAECAKoOxAAEMAAAQRNABAA=}#}
19. 2023 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本 2500
10 2 + 400 , 0 < < 40
万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本 c 万元,且 = { 10000 ，
801 + 4300,40 ≤ ≤ 120
由市场调研知，每一百辆车售价 800 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完。
（1）求出 2023 年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：百辆）的函数关系；（利润=
销售额-成本）（6 分）
（2）当 2023 的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润（8 分）
20. 已知y = f(x)是幂函数，y=g(x)是指数函数
1
（1）若函数y = f(x)过定点（4， ），求函数y = f(x)的表达式和定义域；（4 分）
2
（2）若指数函数 ( ) = 在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ，求实数 a 的值；（6 分）
3
3
（3）若f(x) = x 2，f(t2 + 1) < f(t + 3),求实数 t 的取值范围。（8 分）
3 / 4
{#{QQABRQAQggiAAhAAARgCAQmYCAEQkAECAKoOxAAEMAAAQRNABAA=}#}
21. 已知函数 ( ) = | + 1|( ∈ )，函数 ( ) = 2 + + ( , ∈ )的值域为[0, +∞)
（1）若不等式 ( ) < 3的解集为(-2,1)，求 m 的值；（6 分）
（2）在（1）的条件下，若| ( ) 2 ( )| ≤ 恒成立，求实数 k 的取值范围；（6 分）
2
（3）若关于 x 的不等式 ( ) < 的解集为(m,m+6)，求实数 c 的值；（6 分）
4 / 4
{#{QQABRQAQggiAAhAAARgCAQmYCAEQkAECAKoOxAAEMAAAQRNABAA=}#}参考答案
满分150分
填空（54分）
1， a=3或a=-1
2， (0,1)
3，充分非必要
4，
5， 81
6， 9
7， 1+
8， [a,a+1]
9，实数a，b，c中没有偶数.
10， 2
11，
12，①②③
12，【分析】根据已知条件及集合X具有性质P的定义，结合反证法即可求解．
【解答】解：因为X＝{﹣1，1，2}，所以Y＝{（﹣1，﹣1），（1，1），（2，2），（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，2），（2，﹣1），（2，1）}，
根据集合X具有性质P的定义，对于任意（s，t）∈Y，
若s＞0，t＞0，则s＝t或（s，t）＝（1，2），或（s，t）＝（2，1），
若s＝t，取s2＝﹣1，t2＝﹣1，则ss2+tt2＝0；
若（s，t）＝（1，2），取s2＝2，t2＝﹣1，则ss2+tt2＝0；
若（s，t）＝（2，1），取s2＝﹣1，t2＝2，则ss2+tt2＝0；
若s，t有一个为负数，则s＝﹣1或t＝﹣1，
若s＝﹣1，则取s2＝t，t2＝1，则ss2+tt2＝0；
若t＝﹣1，则取s2＝1，t2＝s，则ss2+tt2＝0；
故①正确；
对于任意（s1，t1）∈Y，存在（s2，t2）∈Y，使得s1s2+t1t2＝0
取（x1，x1）∈Y，存在（xp，xq）使得x1xp+x1xq＝0，所以xp+xq＝0，
不妨设xp＝1，xq＝﹣1，所以若集合X具有性质P，则1∈X，故②正确；
③假设xn＞1，令，则存在s，t∈X使得，
同②得s，t中必有一个数为﹣1，
若s＝﹣1，则，于是，矛盾，
若t＝﹣1，则，于是s＝2xn＞xn，也矛盾，
所以xn≤1，又由②得1∈X，所以xn≥1，所以xn＝1，故③正确，
故真命题是①②③正确．
故答案为：①②③．
选择（20分）（5分一题）
13， D
14， B
15， D
16，A
解答题
17， (做差)
（1）解：—)
=)
=
所以当a=0时，=)
当a≠0时，＞)
（2）反证法（略）
18，
解：A=[-1,3],B=[a-1,a+1]
因为，所以BA，
所以0≤a≤2
因此a的取值范围是[0,2]
因为
所以易知≠
当时，
当时，
当时，
综上所述当时
当时，
当时，
19， (1)
(2)当时，
=
所以当x=20时，y取最大值1500
当时
当且仅当即x=100时等号成立
所以当x=100时，y取最大值1600
综上所述，x=100时，y取最大值1600
答：当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元
20、
（1）设幂函数.
因为函数过点（4，），
所以=，，
所以，定义域
（2）当0＜a＜1时，在[1,2]是严格减函数，
所以，解得
当a＞1时，在[1,2]是严格增函数，
所以，解得
综上所述a的值为或
由幂函数的性质可得，函数的定义域为,且在定义域上是严格减函数，
因为，
所以， 解得-3＜t＜-1或t＞2
因此实数t的取值范围为
21，已知函数，函数的值域为.
（1）若不等式的解集为，求m的值；
（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的不等式的解集为，求实数c的值；
【提示】（1）由题意得，-2和1是方程的根，直接代入求出m；
（2）利用绝对值的三角不等式求出的最大值，即可求出k的范围；
（3）由的值域为求得.设方程的两根为，利用根与系数的关系求出c.
【解析】（1）不等式可化为.
因为不等式的解集为，所以-2和1是方程的两根，
代入得：，解得：m=2.
（2）在（1）的条件下，.
所以可化为.
因为，
所以，
所以.
即实数k的取值范围.
（3）由的值域为可知：，即.
不等式可化为，其解集为.
设方程的两根为，则
又，
所以，
解得：c=9；
