北师大版必修第一册2023-2024学年高中数学第7章概率 测评（含解析）

第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列关于古典概型的说法正确的是(　　).
①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;
④样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)=.
A.②④ B.①③④
C.①④ D.③④
2.已知事件A,B,若P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为(　　).
A.两个任意事件
B.互斥事件
C.互斥但不对立事件
D.非对立事件
3.已知定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是(　　).
A. B. C. D.
4.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a,b,c)称为勾股数.现从(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这10组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c的概率为(　　).
A. B. C. D.
5.口袋内装有一些大小、质地相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(　　).
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
6.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为(　　).
A. B. C. D.
7.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是(　　).
A. B. C. D.
8.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　).
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两球,这些球除颜色外均相同.则下列事件能与事件“两球都为白球”互斥而非对立的为(　　).
A.两球都不是白球
B.两球恰有一个白球
C.两球至少有一个白球
D.两球都为黑球
10.在五件产品中,有三件一等品和两件二等品,从中任取两件,以为概率的事件不可能是(　　).
A.恰有一件一等品
B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品
D.都不是一等品
11.下面说法正确的有(　　).
A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件
B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件
C.若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件
D.若事件A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件
12.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本,得到频率分布表如下:
组号 分组 频数 频率
第一组 [230,235) 8 0.16
第二组 [235,240) ① 0.24
第三组 [240,245) 15 ②
第四组 [245,250) 10 0.20
第五组 [250,255] 5 0.10
合计 50 1.00
以下结论正确的有(　　).
A.表中①位置的数据是12
B.表中②位置的数据是0.30
C.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,则第三组抽取2人
D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生,则2人中至少有1名是第四组的概率为 0.5
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.口袋中装有100个大小、质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为　.
14.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则甲不输的概率是　　　　　.
15.口袋里装有5个球,分别标记1,2,3,4,5这5个号码,设号码为x的球的质量为(x2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从口袋里取出.若同时从袋内任意取出2个球,则它们的质量相等的概率是　　　　　.
16.小丽和小明一起用A,B两枚质地均匀的小正方体(正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,记小丽掷出A正方体朝上的数字为x,小明掷出B正方体朝上的数字为y,那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在抛物线y=-x2+4x上的概率为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数a 50 100 200 250 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品率
(1)计算表中各次品率;
(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率约是多少
18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:
(1)所得的三位数大于400;
(2)所得的三位数是偶数.
19.(12分)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次所得到的点数,求方程有两个不相等的正实数根的概率.
20.(12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中,至少有1株成活的概率.
21.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据(单位:人)如下表:
参加演讲 社团情况 参加书法社团情况
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
22.(12分)如图,甲、乙是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.
小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:
同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).
(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;
(2)你认为该游戏规则是否公平 若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列关于古典概型的说法正确的是(　　).
①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;
④样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)=.
A.②④ B.①③④
C.①④ D.③④
答案:B
2.已知事件A,B,若P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为(　　).
A.两个任意事件
B.互斥事件
C.互斥但不对立事件
D.非对立事件
解析:因为P(A)+P(B)==P(A∪B),所以A,B之间的关系可能为互斥事件,但A,B一定不是对立事件.因为P(A)+P(B)≠1.
答案:D
3.已知定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是(　　).
A. B. C. D.
答案:B
4.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a,b,c)称为勾股数.现从(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这10组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c的概率为(　　).
A. B. C. D.
解析:从这10组勾股数随机抽取1组,共10种抽取方法,其中满足2b=a+c的有(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4种,故所求概率P=.
答案:A
5.口袋内装有一些大小、质地相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(　　).
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案:C
6.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为(　　).
A. B. C. D.
解析:首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|≤1.由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为.故选D.
答案:D
7.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是(　　).
A. B. C. D.
答案:C
8.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　).
A. B. C. D.
解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为.
答案:C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两球,这些球除颜色外均相同.则下列事件能与事件“两球都为白球”互斥而非对立的为(　　).
A.两球都不是白球
B.两球恰有一个白球
C.两球至少有一个白球
D.两球都为黑球
解析:从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两个球,所有的样本点为白白,白红,白黑,红红,红黑,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件可能发生,故A与“两球都为白球”互斥但不对立.B,D符合,理由同上.两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥,故C不符合.
答案:ABD
10.在五件产品中,有三件一等品和两件二等品,从中任取两件,以为概率的事件不可能是(　　).
A.恰有一件一等品
B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品
D.都不是一等品
解析:将三件一等品编号为1,2,3,两件二等品编号为4,5,从中任取两件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有一件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P1=;恰有两件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有两件一等品的概率P2=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率P3=1-P2=1-.则至少有一件一等品的概率是P4=P1+P2=,都不是一等品的概率是P5=1-P4=.
答案:ABD
11.下面说法正确的有(　　).
A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件
B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件
C.若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件
D.若事件A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件
解析:对于A选项,要使A,B为对立事件,除P(A)+P(B)=1还需满足P(AB)=0,即A,B不能同时发生,所以A选项错误.对于B选项,根据相互独立事件的知识可知,B选项正确.对于C选项,A包含于,所以A与不是互斥事件,所以C选项错误.对于D选项,根据相互独立事件的知识可知,D选项正确.故选BD.
答案:BD
12.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本,得到频率分布表如下:
组号 分组 频数 频率
第一组 [230,235) 8 0.16
第二组 [235,240) ① 0.24
第三组 [240,245) 15 ②
第四组 [245,250) 10 0.20
第五组 [250,255] 5 0.10
合计 50 1.00
以下结论正确的有(　　).
A.表中①位置的数据是12
B.表中②位置的数据是0.30
C.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,则第三组抽取2人
D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生,则2人中至少有1名是第四组的概率为 0.5
解析:①位置的数据为50-(8+15+10+5)=12,正确;②位置的数据为=0.30,B正确;由分层随机抽样得,第三、四、五组参加第二轮考核的人数分别为3,2,1,C错误;设抽取的6人为a,b,c,d,e,f(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情况为ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种.记“2 人中至少有1名是第四组的”为事件A,则事件A所含的样本点的个数为9.所以P(A)=,故2人中至少有1名是第四组的概率为,D错误,故选AB.
答案:AB
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.口袋中装有100个大小、质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为　.
解析:摸出红球的概率为=0.45,因为摸出红球、摸出白球和摸出黑球两两互斥,因此摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.
答案:0.32
14.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则甲不输的概率是　　　　　.
解析:画出树状图,如图所示.
从树状图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=;P(平局)=,则玩一局甲不输的概率是.
答案:
15.口袋里装有5个球,分别标记1,2,3,4,5这5个号码,设号码为x的球的质量为(x2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从口袋里取出.若同时从袋内任意取出2个球,则它们的质量相等的概率是　　　　　.
解析:设取出的2个球的号码分别为m,n(m≠n),则有m2-5m+30=n2-5n+30,所以m+n=5.
而从5个球中任意取2个球的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},样本点总数为10.
符合题意的只有两种,即2个球的号码分别是1,4或2,3.所以所求概率P=.
答案:
16.小丽和小明一起用A,B两枚质地均匀的小正方体(正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,记小丽掷出A正方体朝上的数字为x,小明掷出B正方体朝上的数字为y,那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在抛物线y=-x2+4x上的概率为　　　　　.
解析:小丽掷A正方体一次,小明掷B正方体一次,出现的结果(x,y)有36种可能,易得在抛物线y=-x2+4x上的点有(1,3),(2,4),(3,3),共3种.
因此所求的概率为.
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数a 50 100 200 250 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品率
(1)计算表中各次品率;
(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率约是多少
解:(1)表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.
(2)由(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:
(1)所得的三位数大于400;
(2)所得的三位数是偶数.
解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于400”为事件A,“所得的三位数是偶数”为事件B.
由古典概型的概率公式可得
(1)P(A)=.
(2)P(B)=.
19.(12分)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次所得到的点数,求方程有两个不相等的正实数根的概率.
解:样本空间的样本点共有36个,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.
方程有两个不相等的正实数根等价于a-2>0,16-b2>0,Δ>0,即a>2,-416.
设“一元二次方程有两个不相等的正实数根”为事件A,则事件A所包含的样本点为(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P(A)=.
20.(12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中,至少有1株成活的概率.
解:设Ak表示第k株甲种大树成活,k=1,2,Bl表示第l株乙种大树成活,l=1,2,则A1,A2,B1,B2相互独立,且P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=.
至少有1株成活的概率P=1-.
21.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据(单位:人)如下表:
参加演讲 社团情况 参加书法社团情况
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P1=.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,样本空间Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)},共15个样本点.
根据题意,这些样本点的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P2=.
22.(12分)如图,甲、乙是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.
小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:
同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).
(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;
(2)你认为该游戏规则是否公平 若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
解:(1)列表法:
甲 乙
5 6 7 8
1 6 7 8 9
2 7 8 9 10
3 8 9 10 11
或树状图:
根据列表或树状图可知,共有12种等可能的结果,其中和小于9的可能结果有6种,故小明获胜的概率为P1=.
(2)这个游戏不公平.因为小明获胜的概率为P1=,小红获胜的概率为P2=,显然,所以,这个游戏规则对小红不公平.
设计一种公平的游戏规则:当指针所指区域内的数字之和小于9时,小明获胜;当指针所指区域内的数字之和不小于9时,小红获胜.