1.1 随机现象 1.2 样本空间
课后训练巩固提升
1.下面现象:
①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为2,2,5,其中是随机现象的是( ).
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
2.下列说法正确的是( ).
A.随机现象至少有2种可能结果
B.随机现象必然会发生
C.射击一个目标除命中和未命中还有其他情况
D.样本空间中样本点都是有限的
3.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数.下列说法不正确的是( ).
A.样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}
B.样本空间中共有6个样本点
C.这个试验的所有可能结果是明确可知的
D.6个样本点是样本空间Ω的6个子集
4.(多选题)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中是随机现象的有( ).
A.3件都是正品
B.至少有1件次品
C.3件都是次品
D.至少有1件正品
5.试验E:连续定点投篮直到投进为止,观察投篮的总次数,则样本空间Ω= .
6.油浮在水面上属于 现象;明天会下雪属于 现象.
7.写出下列试验的样本空间:
(1)某人射击一次命中的环数(环数为整数);
(2)从集合A={a,b,c,d}中任取两个元素构成A的子集.
8.从集合{2,3,4,6,9}中任取两个不同的数,分别作为对数的底数和真数,求对数的值.写出这一试验的样本空间.
1.1 随机现象 1.2 样本空间
课后训练巩固提升
1.下面现象:
①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为2,2,5,其中是随机现象的是( ).
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
答案:A
2.下列说法正确的是( ).
A.随机现象至少有2种可能结果
B.随机现象必然会发生
C.射击一个目标除命中和未命中还有其他情况
D.样本空间中样本点都是有限的
答案:A
3.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数.下列说法不正确的是( ).
A.样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}
B.样本空间中共有6个样本点
C.这个试验的所有可能结果是明确可知的
D.6个样本点是样本空间Ω的6个子集
答案:D
4.(多选题)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中是随机现象的有( ).
A.3件都是正品
B.至少有1件次品
C.3件都是次品
D.至少有1件正品
解析:25件同类产品中只有2件次品,从中取3件,不可能都是次品,故“3件都是次品”不是随机现象,同样取3件最多有2件次品必然会有正品.故“至少有1件正品”也不是随机现象.
答案:AB
5.试验E:连续定点投篮直到投进为止,观察投篮的总次数,则样本空间Ω= .
答案:{1,2,3,4,…}
6.油浮在水面上属于 现象;明天会下雪属于 现象.
答案:确定性 随机
7.写出下列试验的样本空间:
(1)某人射击一次命中的环数(环数为整数);
(2)从集合A={a,b,c,d}中任取两个元素构成A的子集.
解:(1)Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(2)Ω={{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}}.
8.从集合{2,3,4,6,9}中任取两个不同的数,分别作为对数的底数和真数,求对数的值.写出这一试验的样本空间.
解:因为log24=log39,log42=log93,log94=log32,log49=log23,
所以Ω={log23,log24,log26,log29,log32,log34,log36,log42,log43,log46,log62,log63,log64,log69,log92,log96}.(共26张PPT)
1.1 随机现象
1.2 样本空间
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解确定性现象和随机现象.
2.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.
3.会用样本空间来描述实验结果.
4.体会数学建模思想,提升数学抽象能力.
自主预习·新知导学
一、随机现象
【问题思考】
1.新生儿的性别,有几种可能结果 哪几种 能否预知呢
提示:2种.男孩,女孩.不能.
2.在自然界和人类社会中,普遍存在着两类现象.一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
3.(多选题)下列现象属于随机现象的是( ).
A.太阳从西方落下
B.在标准大气压下,水在100 ℃时会沸腾
C.抛掷一枚质地均匀的骰子出现的点数是6
D.小赵在罚球线投篮一次投中
答案:CD
二、样本空间
【问题思考】
1.甲、乙两人参加一个抽奖活动,请写出所有可能的结果.
提示:所有可能结果共有4种:(甲中,乙中),(甲中,乙不中),(甲不中,乙中),(甲不中,乙不中).
2.(1)在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E来表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
(2)把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作
列举法.
(3)一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.(1)对于随机现象,当在相同的条件下重复进行试验时,试验的结果有什么特点
(2)样本空间和样本点有什么区别
提示:(1)尽管不能预知每次试验的具体结果,但这个试验的所有可能结果往往是明确可知的.
(2)样本空间是指试验的所有可能结果组成的集合;样本点是样本空间的元素,试验的每种可能结果.
4.观察下列实验,请说出可能出现的试验结果:
(1)连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,观察正面、反面出现的情况;
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的面出现的点数.
解:(1)试验的所有可能结果共有4种:(正面,正面),(正面,反面), (反面,正面),(反面,反面).
(2)试验的所有可能结果共有6种:1,2,3,4,5,6.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)向上抛一块石头,石头最终会落到地上,是随机现象.( × )
(2)在相同条件下,抛掷同一枚硬币,其结果是确定性现象.
( × )
(3)在抛掷两枚质地均匀的骰子的试验中,观察骰子掷出的点数,该试验共有36种可能的结果.( √ )
(4)任一试验的样本点的个数都是有限的. ( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 随机现象的判断
【例1】 判断以下现象是否为随机现象:
(1)单位时间内通过某路口的轿车有8辆;
(2)n(n≥3)边形的内角和为(n-2)·180°;
(3)某同学竞选学生会主席成功;
(4)一名篮球运动员每场比赛都得8分.
分析:判断一个现象是不是随机现象,关键是看这一现象的发生是否具有确定性.若一定发生或一定不发生,则它不是随机现象,反之,则为随机现象.
解:(1)(3)(4)为随机现象,(2)不是随机现象.
随机现象具有这样的特点
(1)结果至少有2种.
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
【变式训练1】 下列现象为随机现象的是 ,是确定性现象的是 .(填序号)
①某人买彩票中奖;
②某射手射击一次命中;
③从一副牌中抽到红桃A;
④走到一个红绿灯路口时,正好是红灯;
⑤电线通电时发热;
⑥从含2件次品的500件产品中抽出3件全是正品.
答案:①②③④⑥ ⑤
探究二 样本空间
【例2】 某人做试验:从一个装有标号分别为1,2,3,4的小球(除标号外均相同)的盒子中,无放回地取小球两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字.
(1)这个试验所有可能结果共有多少种
(2)写出这个试验的样本空间.
解:(1)当x=1时,有(1,2),(1,3),(1,4)3种可能结果;当x=2时,有(2,1),(2,3),(2,4)3种可能结果;当x=3时,有(3,1),(3,2),(3,4)3种可能结果;当x=4时,有(4,1),(4,2),(4,3)3种可能结果,所以这个试验所有的可能结果共有3×4=12(种).
(2)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3)}.
若本例中将“无放回”改为“有放回”,其余条件不变,则结果如何
解:(1)当x=1时,有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)4种可能结果;
当x=2时,有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)4种可能结果;
当x=3时,有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)4种可能结果;
当x=4时,有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)4种可能结果.
所以这个试验所有的可能结果共有4×4=16(种).
(2)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
把样本点看作元素,由样本点组成的集合就是样本空间.
【变式训练2】 写出下列试验的所有可能结果:
(1)从装有红、白、黑小球各1个的布袋中任取2个小球,这些球除颜色外均相同;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数作差.
解:(1)所有可能结果有3种:(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球).
(2)可能结果:1-3=-2,3-1=2,
1-6=-5,6-1=5,
1-10=-9,10-1=9,
3-6=-3,6-3=3,
3-10=-7,10-3=7,
6-10=-4,10-6=4.
即试验的所有可能结果共有12种:-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4.
随 堂 练 习
1.下列说法正确的是( ).
A.上课间操时,小亮同学站在排头是确定性现象
B.某班在一次数学测试中,及格率为100%是随机现象
C.取一个实数x,使得x2+1>0是随机现象
D.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是定义域上的增函数是确定性现象
解析:A中,小亮站在排头是随机现象,故错误;
C中,任意实数x都有x2+1>0,因此取一个实数x,使得x2+1>0是确定性现象,故错误;
D中,函数y=logax(a>0,且a≠1)只有在a>1时才是定义域上的增函数,故是随机现象,故错误.
答案:B
2.写出下列试验的所有可能结果:
(1)甲、乙两队进行一场足球比赛,比赛结果(可以是平局);
(2)小明练习投篮10次,投篮命中的次数.
解:(1)比赛的所有可能结果有3种:甲赢、乙赢、平局.
(2)投篮命中次数的所有可能结果共有11种:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3.写出下列试验的样本空间:
(1)从含有5件次品的100件产品中任取3件,记录其中的次品数;
(2)过马路交叉口时,观察遇上的交通指挥灯的颜色.
解:(1)因为任取3件,次品数可能有0,1,2,3件,
所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3}.
(2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色,
所以试验的样本空间Ω={红色,绿色,黄色}.1.3 随机事件
课后训练巩固提升
1.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取两个不同的数作为点D的坐标,则事件“点D落在x轴上”包含的样本点共有( ).
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
2.已知关于x的二次函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P,Q中随机取一个数a和b,得到样本点(a,b),则使函数y=f(x)有零点的样本点的个数为 .使函数y=f(x)有唯一零点的是 .
3.在试验E“同时抛掷两枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示随机事件“向上的点数之和是5”,则事件A用样本点表示为 .
4.在试验E“同时抛掷两枚质地均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),观察两枚骰子掷出的点数”中,设两枚骰子掷出的点数分别为x,y,事件A表示随机事件“log2xy=1”,试用样本点表示事件A.
5.试验E:从一个装有标号为1,2,3,4的小球(除标号外其余均相同)的盒子中,无放回地依次摸取2个小球,观察摸取的球的标号情况.
(1)写出试验E的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
事件A表示随机事件“第一次取出的小球上的标号为2”;
事件B表示随机事件“取出的2个小球标号之和为4”;
(3)指出随机事件C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}的含义.
1.3 随机事件
课后训练巩固提升
1.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取两个不同的数作为点D的坐标,则事件“点D落在x轴上”包含的样本点共有( ).
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
解析:“点D落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,因A中共有9个非零实数,故选C.
答案:C
2.已知关于x的二次函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P,Q中随机取一个数a和b,得到样本点(a,b),则使函数y=f(x)有零点的样本点的个数为 .使函数y=f(x)有唯一零点的是 .
解析:样本空间Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共15个样本点.函数y=f(x)有零点等价于方程ax2+bx+1=0对应的判别式Δ=b2-4a≥0,符合条件的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点,其中(1,2)是使y=f(x)有唯一零点的样本点.
答案:6 (1,2)
3.在试验E“同时抛掷两枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示随机事件“向上的点数之和是5”,则事件A用样本点表示为 .
解析:因为有两枚骰子,(1,4)与(4,1)表示不同的样本点,所以事件A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}.
答案:{(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
4.在试验E“同时抛掷两枚质地均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),观察两枚骰子掷出的点数”中,设两枚骰子掷出的点数分别为x,y,事件A表示随机事件“log2xy=1”,试用样本点表示事件A.
解:由log2xy=1,得2x=y.
∵x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6},
∴
∴事件A={(1,2),(2,4),(3,6)}.
5.试验E:从一个装有标号为1,2,3,4的小球(除标号外其余均相同)的盒子中,无放回地依次摸取2个小球,观察摸取的球的标号情况.
(1)写出试验E的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
事件A表示随机事件“第一次取出的小球上的标号为2”;
事件B表示随机事件“取出的2个小球标号之和为4”;
(3)指出随机事件C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}的含义.
解:(1)用(x1,x2)表示摸取的2个小球的结果,其中x1表示第一次摸取的小球,x2表示第二次摸取的小球,则x1,x2=1,2,3,4,且x1≠x2,那么试验E的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
(2)因为事件A表示“第一次取出的小球上的标号为2”,即x1=2,所以事件A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
因为事件B表示“取出的2个小球标号之和为4”,即x1+x2=4,所以事件B={(1,3),(3,1)}.
(3)观察事件C所含的样本点可知,x1+x2≥4,即取出的2个小球标号之和大于或等于4.因此事件C的含义为取出的2个小球标号之和大于或等于4.(共25张PPT)
1.3 随机事件
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例理解随机事件、必然事件和不可能事件.
2.会用样本点表示随机事件.
3.了解随机事件的含义.
4.培养数学抽象学科素养.
自主预习·新知导学
一、随机事件
【问题思考】
1.“若从集合 中任取一个元素记为a,则函数f(x)=logax是增函数”,这一事件是否一定会发生
提示:不一定.
2.一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.
样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
二、用样本点表示事件与指出随机事件的含义
【问题思考】
1.用样本点表示事件如何描述比较简洁
提示:在描述试验的所有可能结果的过程中,如果用文字语言描述,可能比较复杂,我们可以用一些字母或数字来表示某种可能结果.
2.用样本点表示事件的步骤是什么
提示:(1)写出试验的所有可能结果;(2)用集合把样本空间表示出来;(3)根据事件,找出符合的样本点,组成集合.
3.如何根据给出事件的集合指出随机事件的含义
提示:(1)写出所给试验的样本空间;(2)观察所给事件样本点的内在规律;(3)根据所给出试验的样本空间及事件的样本点的内在规律,指出随机事件的含义.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“在常温下焊锡融化”是不可能事件.( √ )
(2)“一个三角形的三边长分别为1,2,3”是必然事件.( × )
(3)在试验“抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,可以用样本空间的子集{2,4,6}表示事件“出现偶数点”.
( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 用样本点表示随机事件
【例1】 试验E:在甲、乙2个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球(除标号外其余均相同),现从甲、乙2个盒子中各取出1个球,观察球的标号.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”;
②事件B表示“取出的2个球上的标号为相邻整数”;
③事件C表示“取出的2个球上的标号之和能被3整除”.
解:(1)分别用x1,x2表示从甲、乙2个盒子中取出的球的标号,则x1,x2=1,2,3,4,那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,所以事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
②事件B表示的随机事件“取出的2个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
③因为2≤x1+x2≤8,所以事件C表示的随机事件“取出的2个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3,6,所以事件C={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)}.
【变式训练1】 试验E:袋中有红球、白球(除颜色外其余均相同)各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,观察球的颜色.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
①事件A表示“三次颜色恰有两次同色”;
②事件B表示“三次颜色全相同”;
③事件C表示“三次摸到的红球多于白球”.
解:(1)每个样本点表示为(x,y,z),则样本空间Ω={(红,红,红),
(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),
(白,白,红), (白,白,白)}.
(2)①事件A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),
(白,红,白),(白,白,红)}.
②事件B={(红,红,红),(白,白,白)}.
③事件C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}.
探究二 随机事件的含义
【例2】 试验E:从1,2,3,4这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个,观察取出的数字.
(1)写出试验的样本空间.
(2)指出下列随机事件的含义:
①事件A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)};
②事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
解:(1)用(x,y)表示取出的两个数,x,y=1,2,3,4,且x≠y,所以样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3)}.
(2)(含义不唯一)①观察事件A中所含的样本点可知,1和2,2和4,两个数成2倍关系,即取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍,因此事件A的含义为:取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍.
②观察事件B中所含的样本点可知,两个数的差是1或-1,因此事件B的含义为:取出的两个数差的绝对值为1.
【变式训练2】 试验E:甲、乙、丙三人坐在同一排的三个位置上,从左到右记这三个位置为1,2,3,观察甲、乙两人的位置情况,记为(x1,x2),其中x1表示甲的位置,x2表示乙的位置.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)指出下列随机事件的含义:
①事件A={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)};
②事件B={(1,2),(1,3),(2,3)}.
解:(1)这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.
(2)①观察事件A中所含的样本点可知,每个样本点中两个数是连续的,即座位是相邻的.因此事件A的含义为甲、乙相邻.
②观察事件B中所含的样本点可知,每个样本点中第二个数字比第一个大,即乙的座位在甲的右边,但不一定相邻.因此事件B的含义为甲在乙的左边,但不一定相邻.
随 堂 练 习
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,下列不是样本点的是( )
A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是3
C.向上的点数是4 D.向上的点数是6
答案:A
2.12本外形相同的书中,有10本语文书,2本数学书,从中任取3本,是必然事件的是( ).
A.3本都是语文书 B.至少有一本是数学书
C.3本都是数学书 D.至少有一本是语文书
解析:从10本语文书,2本数学书中,任意取3本的结果:3本语文书,2本语文书和1本数学书,1本语文书和2本数学书,共3种.故选D.
答案:D
3.在实验E“甲、乙、丙三人各投篮一次,观察投篮结果”中,用1表示投篮命中,0表示投篮未命中,则事件A表示随机事件“恰有两人命中”,用样本点表示是( )
A.{(1,1)} B.{(1,1,0)}
C.{(1,1,0),(1,0,1)} D.{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
解析:事件A表示“恰有两人命中”,所以满足要求的样本点共有3个:甲、乙命中,丙未命中;甲、丙命中,乙未命中;乙、丙命中,甲未命中.
因此,事件A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
答案:D
4.在试验E“抛掷两枚均匀的骰子各一次,观察骰子掷出的点数”中,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差记为X,则事件A={X|X≥5}的含义是( )
A.第一枚6点,第二枚2点 B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚1点,第二枚6点 D.第一枚6点,第二枚1点
解析:抛掷两枚均匀的骰子各一次,分别用x1,x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数,则x1,x2=1,2,3,4,5,6.由题意知X≥5等价于x1-x2=5,所以x1=6,x2=1,即事件A的含义是第一枚6点,第二枚1点.
答案:D
5.在试验E“从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数”中,设事件A表示随机事件“这个两位数大于40”,试用样本点表示事件A.
解:因为这个两位数大于40,所以十位数字为4或5,所以事件A={41,42,43,45,51,52,53,54}.1.4 随机事件的运算
课后训练巩固提升
1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ).
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对
2.已知在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是( ).
A.抽得3件正品
B.抽得至少有1件正品
C.抽得至少有1件次品
D.抽得3件正品或2件次品1件正品
3.(多选题)下列各对事件,是互斥事件的有( ).
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
4.从装有大小、质地相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列选项中的各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( ).
A.至少有一个红球;至少有一个白球
B.恰有一个红球;都是白球
C.至少有一个红球;都是白球
D.至多有一个红球;都是红球
5.如果事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么( ).
A.A∪B是必然事件 B.是必然事件
C.一定互斥 D.一定对立
6.某射手打靶时连续射击两次,观察中靶的情况.事件“至少有一次中靶”的对立事件是 .
7.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数.设事件A表示“掷出的点数为1”,B表示“掷出的点数为偶数”,C表示“掷出的点数小于3”,D表示“掷出的点数大于2”,E表示“掷出的点数是3的倍数”.
(1)写出试验E的样本空间,用样本点表示上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系
(3)用样本点表示事件C,∪C,D∩E,.
1.4 随机事件的运算
课后训练巩固提升
1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ).
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对
解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,但不是必有一个发生.
答案:C
2.已知在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是( ).
A.抽得3件正品
B.抽得至少有1件正品
C.抽得至少有1件次品
D.抽得3件正品或2件次品1件正品
答案:A
3.(多选题)下列各对事件,是互斥事件的有( ).
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
解析:A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”不可能同时发生,是互斥事件;B中“甲射中10环”与“乙射中9环”可以同时发生,不是互斥事件;C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,是互斥事件;D中,甲、乙各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”可以同时发生,不是互斥事件.
答案:AC
4.从装有大小、质地相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列选项中的各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( ).
A.至少有一个红球;至少有一个白球
B.恰有一个红球;都是白球
C.至少有一个红球;都是白球
D.至多有一个红球;都是红球
解析:对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
答案:B
5.如果事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么( ).
A.A∪B是必然事件 B.是必然事件
C.一定互斥 D.一定对立
解析:用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,
=Ω,是必然事件.
答案:B
6.某射手打靶时连续射击两次,观察中靶的情况.事件“至少有一次中靶”的对立事件是 .
解析:连续射击两次有以下四种情况:第一次中靶第二次没中靶,第一次没中靶第二次中靶,两次都中靶,两次都没中靶.故“至少有一次中靶”的对立事件为“两次都没中靶”.
答案:“两次都没中靶”
7.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数.设事件A表示“掷出的点数为1”,B表示“掷出的点数为偶数”,C表示“掷出的点数小于3”,D表示“掷出的点数大于2”,E表示“掷出的点数是3的倍数”.
(1)写出试验E的样本空间,用样本点表示上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系
(3)用样本点表示事件C,∪C,D∩E,.
解:(1)因为掷一枚骰子,试验的可能结果为1,2,3,4,5,6,所以试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(2)因为A C,所以事件C包含事件A;因为C∩D= ,C∪D=Ω,所以事件C与事件D互为对立事件;因为D E,所以事件D包含事件E.
(3)={1,2},C={2},∪C={1,2,3,5},D∩E={3,6},={1,2,4,5}.(共36张PPT)
1.4 随机事件的运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例理解交事件和并事件.
2.掌握事件的互斥和对立,并理解互斥与对立的区别与联系.
3.会进行简单的随机事件的运算.
4.通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算,提升数学抽象素养.
自主预习·新知导学
一、随机事件的运算
【问题思考】
1.某款学习用品有a,b,c,d,e 5种品牌在某文具店销售,同学甲随机选择这款学习用品的某种品牌购买.
(1)请写出这一试验的样本空间.
(2)试用样本点表示下列事件:
①事件C表示“选择a品牌”;
②事件D表示“选择a品牌或b品牌”;
③事件E表示“选择a品牌或c品牌”;
④事件F表示“选择a品牌或b品牌或c品牌”;
⑤事件G表示“选择d品牌或e品牌”.
(3)请用集合的关系和运算回答下列问题:
①C与D有什么关系
②D∪E与哪个集合相等
③D∩E与哪个集合相等
④E与G有公共元素吗 F与G呢
⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G
提示:(1)样本空间Ω={a,b,c,d,e}.
(2)①C={a};②D={a,b};③E={a,c};④F={a,b,c};⑤G={d,e}.
(3)①C包含于D;②D∪E=F;③D∩E=C;④没有;没有;
⑤E∩G= ,F∩G= ,F∪G=Ω.
2.随机事件的运算
3.(1)打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示( ).
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
(2)试验E:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,观察掷出的点数情况.设事件P表示“掷出的点数是1”,Q表示“掷出的点数是3或4”,M表示“掷出的点数是1或3”,用样本点表示事件P∪Q= ,M∩Q= .
答案:(1)B (2){1,3,4} {3}
二、事件之间的关系
【问题思考】
1.抛掷两枚硬币,设事件A:出现两个正面,B:出现一正一反,C:至少出现一个反面.试问A与B能否同时发生 B与C能否同时发生
提示:A与B不能同时发生.B与C能同时发生.
2.互斥事件与对立事件
3.命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”有什么关系 (指充分性与必要性).
提示:根据定义可知,“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要条件,但不是充分条件.
4.一射手打靶,设事件A:射击环数大于8,B:射击环数不大于6, C:射击环数大于6,则A与B是 事件,B与C是 事件.
答案:互斥 对立
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,事件B一定发生,那么A∩B=A.( √ )
(2)若事件A发生,事件B不发生,则事件A与事件B互为对立事件.( × )
(3)事件A与事件B在任何一次试验中不同时发生,则事件A与事件B互斥.( √ )
(4)在试验“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,“出现2点”和“出现5点”是互斥事件.( √ )
(5)事件A+B发生包含两层意思:A发生B不发生,A不发生B发生.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 互斥事件与对立事件的判断
【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各10张)中,任抽1张.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,若是互斥事件,是否为对立事件,并说明理由:
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”.
分析:互斥事件不能同时发生,对立事件既不能同时发生,又必有一个发生;定义是判断事件是不是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法.
解:(1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此,两个事件不是对立事件.
(2)是互斥事件,也是对立事件.
理由:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,也是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌的点数为10.因此,两事件既不是互斥事件,也不是对立事件.
1.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件.
2.要紧扣互斥事件的概念,判断两个事件是否能同时发生是关键.
【变式训练1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,设事件A表示“只订甲报”,事件B表示“至少订一种报”,事件C表示“至多订一种报”,事件D表示“不订甲报”,事件E表示“一种报也不订”.判断下列各对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
【变式训练1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,设事件A表示“只订甲报”,事件B表示“至少订一种报”,事件C表示“至多订一种报”,事件D表示“不订甲报”,事件E表示“一种报也不订”.判断下列各对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
解:(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生,故B与E也是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能:“只订甲报”,“只订乙报”,“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能: “一种报也不订”,“只订甲报”,“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知,事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
探究二 随机事件的运算
【例2】 从某大学数学系图书室中任选一本书,设A={数学书},B={中文版的书},C={2022年后出版的书}.问:
1.进行事件的运算时,一要紧扣运算的定义,二要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果.必要时可列出全部试验结果进行分析.
2.在一些较为简单的问题中,判断事件之间的关系时,也可以根据常识来判断,若是比较复杂的问题,则严格按定义来进行推理.
【变式训练2】 设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的运算表示下列事件:
(1)仅B发生;
(2)A,B,C都不发生;
(3)A,B,C都发生;
(4)A,B,C不都发生;
(5)A,B,C至少有一个发生;
(6)A,B,C恰有一个发生;
(7)A,B,C至多有一个发生.
易 错 辨 析
混淆互斥与对立
【典例】 抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),观察朝上一面的数字.事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数字为4”,判断A与B的关系.
错解 因为事件A与B不可能同时发生,所以事件A与B是对立事件.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错误的原因在于忽视了互斥事件与对立事件的区别,把互斥事件误认为对立事件.
正解:事件A与B不可能同时发生,但事件A与B的并事件不是必然事件,故A与B是互斥事件,但不是对立事件.
注意互斥事件与对立事件的区别与联系.
随 堂 练 习
1.(多选题)一批产品共有100件,其中5件是次品,其余为合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:恰有1件次品;事件B:至少有2件次品;事件C:至少有1件次品;事件D:至多有1件次品.则下列结论正确的是( ).
A.A∪B=C B.D∪B是必然事件
C.A∩B=C D.A∩D=C
解析:事件A∪B:至少有1件次品,即事件C,所以A正确;事件D∪B:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以B正确;事件A∩B= ,C不正确;事件A∩D:恰有1件次品,即事件A,所以D不正确.
答案:AB
2.设A表示事件“甲产品畅销,乙产品滞销”,则其对立事件 为( )
A.“甲产品滞销,乙产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销”
C.“甲产品滞销”
D.“甲产品滞销或乙产品畅销”
答案:D
3.某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
答案:C
4.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数,设事件A表示“向上的点数是1或2”,事件B表示“向上的点数是2或3”,则( )
A.A B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析:事件A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},故A+B,即A∪B表示向上的点数为1或2或3,AB,即A∩B表示向上的点数为2.
答案:C
5.在试验“抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点数是奇数”,B表示“掷出的点数是偶数”,C表示“掷出的点数是3的倍数”.其中的互斥事件是
,对立事件是 .
答案:A与B A与B
