湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含解析）

公安县第三中学2023-2024学年高一上学期11月月考
数学试卷
一、单选题
1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2．设函数在区间的最大值是，最小值为，则（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
3．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac4．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，则为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的值为
A． B．
C．0 D．
7．若实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，.若函数在内恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是
A．
B．
C．
D．
10．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
12．若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数存在保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
三、填空题
13．设集合，则集合M的非空真子集个数为 .
14．对一切实数x，令为不大于x的最大整数.例，.若，则实数x的取值范围是 .
15．二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数l的最大值为 .
四、解答题
16．已知集合，集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．已知函数为幂函数，且在上单调递增.
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)令，，求的值域.
18．已知
（1）若实数a＝0，证明：存在，使得恒成立
（2）若对任意x≥0，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)用定义证明函数在区间上单调递增；
(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．
20．北京冬奥会计划于年月日开幕，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨.盛会的举行，不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展.某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为（万元），其中与之间的关系为：，通过市场分析，当每件产品售价为元时，该厂年内生产的商品能全部销售完.若将产品单价定为元.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．设函数，，为的导函数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值.
五、双空题
22．设实数、满足，则的最大值为 ，的最小值 ．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】或.
因为集合，，所以.
故选：D
2．B
【详解】令，则函数为奇函数，
在区间上的最大值与最小值之和为0，
即，
．
故选：B.
3．A
【详解】解：对于A、B：
a>b，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
4．B
【详解】由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
5．B
【详解】由题意，集合，
所以.
故选：B.
6．D
【详解】试题分析：当时，，所以，因为是偶函数，所以，即，所以，，同理可得，，作出函数的图象如图所示：
在一个周期上，当时，直线与曲线恰有两个不同的交点；当时，直线与曲线相切，并和曲线在上的图象有一个交点．因为函数的最小正周期为，所以实数的值是或（），故选D．
考点1、函数的解析式；2、函数的奇偶性；3、函数的周期性；4、函数的图象．
7．D
【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线并平移.易知目标函数在点处取得最小值，没有最大值.联立，解得.此时，所以的取值范围为，
故选：D.
8．A
【详解】已知对任意的，都有，
当时，，且函数是定义在R上的偶函数，
所以画出函数的图象，如图所示：
若函数在内恰有2个不同的零点，
又，已有一个交点，则转化为在内恰有1个零点，
即在内恰有个交点，
由图可知，当过点时，，
当与相切原点时，，则此时，
当过点时，
故实数k的取值范围是.
故选
9．C
【详解】试题分析：分析题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C．
考点：以集合为背景的创新题．
10．D
【详解】由条件可得
函数关于直线对称；
在，上单调递增，且在时使得；
又
，，所以选项成立；
，比离对称轴远，
可得，选项成立；
，，可知比离对称轴远
，选项成立；
，符号不定，，无法比较大小，
不一定成立．
故选：．
11．ABD
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，，设，，
∵，当且仅当，即时，取等号
∴
则的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
12．ACD
【详解】对于A，在和上单调递增，
令，得，，故不存在保值区间，故A正确，
对于B，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，，
若存在保值区间，
若，令得无解，
若，则，作差后化简得或，不合题意，
故不存在保值区间，故B错误，
对于C，若存在保值区间，
而在上单调递增，故，得，故C正确，
对于D，函数在上单调递减，
若存在保值区间，
则，作差得，
得，则原式等价于在上有两解，
令，则在上有两解，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，故D正确，
故选：ACD
13．6
【详解】因为有3个元素，
所以集合M的非空真子集个数为个.
故答案为：6.
14．
【详解】根据题意可得：，则或
∴或
故答案为：．
15．
【详解】由恒有两个零点，则，
令，
∴，而，
∴，若，
∴，
当时，有；当时，有；
综上，，要使恒成立，则，故l的最大值为.
故答案为：.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且
所以，即是方程的根
所以，得
则
所以．
（2）因为，所以
对于方程，
①当即时，，满足
②当即或时，
因为，所以或或
当时，，得
当时，，无解
当时，，无解
综上所述，．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以，.
（2）解：，.
①当时，在上单调递减，
所以，，此时；
②当时，，
设，，可得，
，此时，
综上，的值域为.
18．（1）证明见解析；（2）.
【详解】解：（1）当a＝0时，，所以存在，使得恒成立.
（2）当时，对任意恒成立.
因为，设，则有，又x≥0，所以，所以在上单调递增，且有最小值.
当时，，即，所以上单调递增且恒成立，即成立；
当时，，当时，，，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，不符合题意，所以不成立；
综上所述：.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增．
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
20．(1)
(2)当该厂年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
【详解】（1）解：当且时，，
当且时，.
所以，.
（2）解：当且时，，此时，当时，；
当且时，，
当且仅当时，等号成立.
因此，当该厂年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
21．（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；
（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）因为，
所以，
从而.令，得或.
因为，，都在集合中，且，所以，，.
此时，.
令，得或.列表如下：
-3 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以的极小值为.
22． /
【分析】根据给定条件，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式作答.
【详解】依题意，，则有，解得，
当且仅当时取“=”，由解得或，
所以当时，取得最大值；
当时，，当且仅当时取“=”，因此，当且仅当时取“=”，
于是得，解得，
由解得或，
所以当或时，取得最小值.
故答案为：；