东华致远2023学年第一学期期中教学评估
高三数学 试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．填空题(共54分，1-6题4分，7-12题5分）
1.已知集合，，则_______________.
2.若复数，则_______________.
3.已知平面向量，的夹角为，若，则的值为____________.
4.若是第三象限角，且，则等于_____.
5.已知向量，且，则__________.
6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s，那么，每次绿灯亮时，请问:会有 ， 等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量。
7.若直线与曲线相切，则的值为___________.
8.已知等比数列的前项和为，若，则_________.
9.设圆的圆心为C，直线l过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为_____________________________.
10.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.
11.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
12.已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
二．选择题(共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）
13.已知，则（ ）
A． B． C． D．
14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间天 4 10 36
市场价元 90 51 90
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市
时间的变化关系 ( )
B．
C． D． ；
15.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
16.如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面，，下列说法正确的是（ ）
A．与所成的角是30°
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．与平面所成的角的正弦值是
D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
三．简答题(共78分，14+14+14+18+18）
17．（14分）在数列中，，其中为给定的正整数，的前项和为．（1）若为等比数列，，求；
（2）若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.（14分）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.
(1)若点是线段的中点，求证：直线平面；
(2)求证：平面平面.
19.（14分）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若平分交于且，求面积的最小值.
20.（18分）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
21.（18分）已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若不等式恒成立，求正实数的值；
(3)证明：.东华致远2023学年第一学期期中教学评估答案
1.已知集合，，则_______________.
1.【详解】∵，∴。
2.若复数，则_______________.
2.【详解】因为复数，所以，所以，
3.已知平面向量，的夹角为，若，则的值为____________.
3.【详解】由两边平方得，，
，解得.
若是第三象限角，且，则等于_____.
4.【详解】.
5.已知向量，且，则__________.
5.【详解】由得所以.
6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s，那么，每次绿灯亮时，请问:会有 ， 等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量。
6.【详解】这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素。而不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定。
7.若直线与曲线相切，则的值为___________.
7.【详解】设切点为，则，，，，
，所以，.故答案为：.
8.已知等比数列的前项和为，若，则_________.
8.【详解】解得，则
9.设圆的圆心为C，直线l过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为_____________________________.
9.【详解】解：由可得，则圆心C的坐标为，半径为2，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为时，代入圆的方程得，解得，，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为即，
因为，所以圆心C到直线l的距离为，
则，解得，故此时直线l的方程为，即，
所以，或。
已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.
10.【详解】因为，所以
，即，所以的外接圆半径为，在直三棱柱中，，设球的半径为，则，因此球的体积为.
11.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
11.答案：[2,3]
12.已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
12.【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．
【详解】解：因为，则，
当或时，，
当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，
故的大致图像如图所示：
关于的方程等价于，
即或，
由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故答案为：
二．选择题(共20分，每题5分）
13.已知，则（ ）
A． B． C． D．
13.【详解】由题意，.
对A，，成立，故A不正确；
对B，，不成立，故B错误；
对C，，故C不正确；
对D，因为，故，当且仅当时取等号，但，故，成立，故D正确；故选：D
14、某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间天 4 10 36
市场价元 90 51 90
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市
时间的变化关系 ( B )
B．
C． D． ；
.解：（1）∵随着时间的增加，的值先减后增 三个函数中、、显然都是单调函数，不满足题意∴选择．
15.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15.【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
16.如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面，，下列说法正确的是（ ）
A．与所成的角是
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．与平面所成的角的正弦值是
D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
16.【详解】由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
对于A中，可得，
所以，
因为，所以与的夹角为，所以A不正确；
对于B中，由平面的法向量为，
又由，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，所以，所以B错误.
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，在上取点，使得，连接，
因为为正方形，且边长为，可得，
又因为平面，平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
此时点到平面的距离最大，最大值即为，
在直角中，，可得，
由直角三角形的射影定理得，即，
即点到平面的距离最大值为，所以D正确.故选：D.
17．在数列中，，其中为给定的正整数，的前项和为．
（1）若为等比数列，，求；
（2）若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1） （2）存在
18.如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.
(1)若点是线段的中点，求证：直线平面；
(2)求证：平面平面.
提示：（1）（2）
19.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若平分交于且，求面积的最小值.
19.【详解】（1）依题意，，则，
故，则，
，
，由于，所以，所以，
则为锐角，且.
（2）依题意平分，在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以或.
当时，三角形是等边三角形，，，
，所以.
当时，，
当且仅当时等号成立，所以三角形.
综上所述，三角形面积的最小值为.
20.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
20.【详解】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，
动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：
直线的方程为，
令可得点的横坐标为：
为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：
.
，则，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则当，即时，
21.已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若不等式恒成立，求正实数的值；
(3)证明：.
21.【详解】（1）时，，
设，，
所以在区间递增；在区间递减.
所以，即，
所以时，.
（2）依题意，，
令，在上递增，且，
所以对任意恒成立.
设，
所以函数在区间递减；
在区间递增.
所以，
所以，，
由（1）知，即，即，
所以，当且仅当，即时成立.
（3）由（2）得，当时，对任意恒成立.
所以，，当且仅当时等号成立.
则，要证明，
只需证明，即证，
由（1）知，所以只需证，
即证，
①当时，，不等式成立.
②当时，，
，不等式成立.
所以成立，
所以成立.
