2.1 古典概型的概率计算公式
课后训练巩固提升
1.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( ).
A. B. C. D.
2.古代“五行”学说认为,物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为( ).
A. B. C. D.
3.某银行储蓄卡上的密码是一个由6位数字组成的号码,每位上的数字可在0,1,2,…,9这10个数字中选取,某人未记住密码的最后一位数字,若按下密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是( ).
A. B. C. D.
4.已知集合A={-5,0,3},在平面直角坐标系中,点(x,y)满足x∈A,y∈A,且x≠y,则点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率是( ).
A. B. C. D.
5.(多选题)将1个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个.下列结论正确的有( ).
A.恰有1个面涂有颜色的概率为
B.恰有2个面涂有颜色的概率为
C.恰有3个面涂有颜色的概率为
D.各面都未涂色的概率为
6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
7.若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数x,y作为点M的坐标,则点M的坐标满足x2+y2≤16的概率是 ;点M的坐标满足y=2x的概率为 .
8.袋中装有大小、质地相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
(2)若以球的颜色为划分样本点的依据,有多少种不同的摸法 以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
9.有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况,现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从二、B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别抽取1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
10.某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表.
项目 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内的概率.
2.1 古典概型的概率计算公式
课后训练巩固提升
1.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( ).
A. B. C. D.
解析:样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共含有6个等可能出现的样本点,事件“这两数之和等于4”包含的样本点有(2,2),(3,1),共2个.故所求概率为.
答案:C
2.古代“五行”学说认为,物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为( ).
A. B. C. D.
解析:试验的样本空间Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共10个样本点,事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点,故其概率P=.
答案:C
3.某银行储蓄卡上的密码是一个由6位数字组成的号码,每位上的数字可在0,1,2,…,9这10个数字中选取,某人未记住密码的最后一位数字,若按下密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是( ).
A. B. C. D.
解析:只考虑最后一位数字,共有10种等可能的不同结果,而正确密码只有1个,故概率为.
答案:C
4.已知集合A={-5,0,3},在平面直角坐标系中,点(x,y)满足x∈A,y∈A,且x≠y,则点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率是( ).
A. B. C. D.
解析:易求满足x∈A,y∈A,且x≠y的点共有6个.
当x=-5时,在圆x2+y2=9外部的点有(-5,0),(-5,3).
当x=0时,在圆外的点有(0,-5).
当x=3时,在圆外的点有(3,-5).
故点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率为.故选B.
答案:B
5.(多选题)将1个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个.下列结论正确的有( ).
A.恰有1个面涂有颜色的概率为
B.恰有2个面涂有颜色的概率为
C.恰有3个面涂有颜色的概率为
D.各面都未涂色的概率为
解析:共有27个小正方体,有0个面、1个面、2个面、3个面涂有颜色的正方体分别有1个、6个、12个、8个,故它们的概率分别为,即.
答案:ABC
6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
解析:试验“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的样本空间Ω={(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)},共有10个等可能出现的样本点.
因为事件“它们的长度恰好相差0.3m”包含样本点:(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个,所以由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为=0.2.
答案:0.2
7.若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数x,y作为点M的坐标,则点M的坐标满足x2+y2≤16的概率是 ;点M的坐标满足y=2x的概率为 .
解析:连续掷两次均匀的骰子,得到的点数x,y记作M(x,y),共有36种情况,其中点M(x,y)满足x2+y2≤16的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8种情况,所以点M的坐标满足x2+y2≤16的概率P1=.
点M(x,y)的坐标满足y=2x的有(1,2),(2,4),共2种情况,所以点M的坐标满足y=2x的概率P2=.
答案:
8.袋中装有大小、质地相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
(2)若以球的颜色为划分样本点的依据,有多少种不同的摸法 以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
解:(1)由于共有11个球,且每球有一个区别于其他球的编号,故共有11种不同的摸法.
又因为所有球大小、质地相同,所以每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3种不同的摸法,分别记A为“摸到白球”,B为“摸到黑球”,C为“摸到红球”,又因为所有球大小、质地相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为,同理可知摸中黑球、红球的可能性均为,显然A,B,C三个事件出现的可能性不相等,即3种不同的摸法不是等可能的,所以以颜色为划分样本点的依据的概率模型不是古典概型.
9.有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况,现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从二、B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别抽取1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
解:(1)由题设知,分层随机抽样的抽取比例为,所以各组抽取的人数如下表.
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
(2)设从一、A组抽到的3名评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从二、B组抽到的6名评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知样本空间的样本点总数是18,事件“2人都支持1号歌手”包含的样本点有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,共4个,故所求概率为.
10.某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表.
项目 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内的概率.
解:(1)从身高低于1.80m的同学中任选2人,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.
事件“选到的2人身高都在1.78m以下”包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78m以下的概率为.
(2)从该小组同学中任选2人,样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有10个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.
事件“选到的2人身高都在1.70m以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内”包含的样本点有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.
因此选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内的概率为.(共40张PPT)
2.1 古典概型的概率计算公式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例概括出古典概型的两个基本特征,理解古典概型.
2.掌握古典概型的概率计算公式.
3.会用列举法计算一些随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.
4.体会数学中解决实际问题思想,提升数学建模素养.
自主预习·新知导学
一、事件的概率
【问题思考】
1.如何描述一个随机事件发生的可能性
提示:概率.
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,“出现正面向上”的可能性是多少
3.对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A) ≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.
4.概率如何刻画随机事件
提示:概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
二、古典概型
【问题思考】
1.试验E1:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数,试验E2:抛掷一枚质地均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况.在试验E1,E2中,样本点有怎样的共性
提示:有限性和等可能性.
2.(1)古典概型定义:
一般地,若试验E具有如下特征:
①有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;
②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的概率公式:
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
3.向一个圆内随机地投射一个点,观察点落在圆内的不同位置,你认为这个情境适合用古典概型来描述吗 为什么
提示:不适合,因为此试验样本空间的样本点总数是无限的.
4.有人认为,抛掷两枚均匀的骰子,掷出的点数之和可能为2,3,4,…,12,共有11种可能的情形,因此,“掷出的点数之和为2”的可能性与“掷出的点数之和为6”的可能性相等,都是,这种说法是否正确 为什么
提示:不正确.因为抛掷两枚均匀的骰子,其样本空间有36个样本点,每个样本点出现的可能性相等,而“掷出的点数之和为2”包含的样本点只有(1,1),“掷出的点数之和为6”包含的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.故不是等可能的,即样本空间的各个样本点出现的可能性不相等,故这种说法不正确.
5.从编号为1,2,…,12的12道题目中,随机抽1道题目,抽到编号大于8的题目的概率P= .
解析:从编号为1,2,…,12的12道题目中,随机抽1道题目,样本点总数为12,事件“抽到编号大于8的题目”所含样本点个数为4,所以
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本空间的样本点是“发芽”与“不发芽”.( × )
(2)古典概型中的任意两个样本点都是互斥的. ( √ )
(3)从1,2,3,4,5中不放回地依次随机取出两个数,其和为5的概率是0.2.( √ )
(4)抛掷一枚均匀的骰子,观察掷出的点数,掷出的点数是偶数的概率为 .( √ )
(5)对于任意事件A,满足0≤P(A)<1.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 样本点个数的求法
【例1】 从含有2件正品a1,a2和1件次品b的3件产品中,按先后顺序任意取出2件产品,每次取出后不放回,计算:
(1)一共有多少种不同的结果
(2)取出的2件产品中恰有1件次品的结果有多少种
解:(1)按照题意,取产品的过程可用树状图直观表示,如图.
因此样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},包含6个样本点,即一共有6种不同的结果.
(2)由(1)可知,取出的2件产品中恰有1件次品的结果有(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2),共4种.
列举法是探求样本点的常用方法,列举时必须按照某一标准进行,要做到不重、不漏.
【变式训练1】 求下列各试验中样本点的个数,并指出包含哪些样本点.
(1)从字母a,b,c中任取2个字母;
(2)从装有大小、质地完全相同,且分别标有1,2,3,4,5的5个球的袋中任意取出2个球.
解:(1)从3个字母中任取2个字母有3种等可能的结果,即样本空间样本点的个数为3,分别是(a,b),(a,c),(b,c).
(2)从分别标有1,2,3,4,5的5个球中任意取出2个球,
共包含10个样本点,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).
探究二 古典概型的概念
【例2】 (1)在区间[0,3]上任取一个数,求此数小于1的概率,问此试验的概率模型是否为古典概型 为什么
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数,求所取两数之一是2的概率,此试验的概率模型是古典概型吗 试说明理由.
解:(1)此试验的概率模型不属于古典概型.因为在区间[0,3]上任取一个数,区间[0,3]上的每个数被取到的可能性是相等的,具备等可能性.但试验结果有无限多个,不满足试验结果的有限性.
(2)此试验的概率模型是古典概型.因为此试验的样本点总数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每个样本点的出现是等可能的,因此属于古典概型.
判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否具备古典概型的两个特征:(1)试验的样本空间的样本点总数有限,即有限性;(2)每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等,即等可能性.
【变式训练2】 (多选题)下列试验是古典概型的有( ).
A.在公交车站候车不超过10 min的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球,观察颜色
C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接正方形内
D.向上抛掷一枚均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况
解析:用古典概型的两个特征去判断即可.
对于选项A,因为10 min是个时间段,样本点的总数有无限个,所以不是古典概型;
对于选项B,因为有摸到白球、摸到黑球两种可能的结果,且摸到白球与黑球的概率都是 ,所以是古典概型;
对于选项C,因为样本空间的样本点总数有无限个,所以不是古典概型;
对于选项D,因为硬币质地均匀,所以正面、反面出现的可能性相等,所以是古典概型.
答案:BD
探究三 古典概型的概率计算
【例3】 同时掷两枚均匀的骰子,计算:
(1)一共有多少种不同的结果
(2)向上的点数之和是5的结果有多少种
(3)向上的点数之和是5的概率是多少
解:(1)用有序数对(x,y)来表示抛掷结果,可能结果如图直观表示,
样本空间Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
共有36个样本点,即有36种不同的结果.
(2)由上图不难看出,向上点数之和是5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种.
(3)记事件A表示“向上的点数之和为5”,由(2)知事件A包含的样本点个数为4,根据古典概型的计算公式可得
1.本例条件不变,求向上的点数之和不大于7的概率.
解:记“向上的点数之和不大于7”为事件C,则C={(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)},共有21个样本点.所以
2.本例条件不变,求向上的点数之和为3的倍数的概率.
解:记“向上的点数之和为3的倍数”为事件D,则D={(1,2), (1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)},共有12个样本点.所以
求古典概型概率的计算步骤
(1)确定样本空间中样本点的总数n.
(2)确定事件A中包含的样本点数m.
(3)代入公式 求值.
【变式训练3】 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每名顾客从装有四个编号分别为0,1,2,3,大小、质地完全相同的小球的抽奖箱中,每次随机取出一个球记下编号后放回,连续取两次.若取出的两个小球的编号相加之和等于6,则中一等奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖.
求:(1)中三等奖的概率;
(2)中奖的概率.
解:从四个小球中有放回地随机取球两次,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),
(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共有16个样本点,且每个样本点出现的可能性相等.
(1)设“中三等奖”为事件A,即取出的两个小球的编号相加之和等于4或3,则A={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)},共含有7个样本点,
(2)设“中奖”为事件B.由(1)知事件“中三等奖”包含7个样本点;
事件“中二等奖”,即两个小球的编号相加之和等于5,包含的样本点有(2,3),(3,2),共2个;
事件“中一等奖”,即两个小球的编号相加之和等于6,包含的样本点有(3,3),共1个.
易 错 辨 析
因找不全样本点致误
【典例】 已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,试写出所有样本点.
错解 样本点有(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6).
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,集合N中的元素既可以作为点的纵坐标,也可以作为点的横坐标,错解中少了以下样本点:(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).
正解:样本点共有12个,它们是(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),
(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).
弄清题意,避免遗漏.
随 堂 练 习
1.下列随机试验的数学模型属于古典概型的是( )
A.在一定的条件下,移植一棵吊兰,它可能成活,也可能不成活
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C.某射手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环
D.四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
答案:D
2.已知在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的饮料的概率是( )
A.0.2 B.0.02
C.0.1 D.0.01
答案:B
3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析:从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法,其中可以构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3种,故所求概率为
4.为了加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.求:
(1)决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
解:根据题意可知,其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),
(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共包含6个样本点.2.2 古典概型的应用
课后训练巩固提升
一、A组
1.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a,从{1,2,3}中随机选取一个数记为b,则b>a的概率是( ).
A. B. C. D.
2.袋中装有大小、质地相同的黄球、红球、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则是下列哪个事件发生的概率( ).
A.颜色相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不同 D.无红球
3.在军训汇报表演中,A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后顺序是随机定的,则B先于A,C通过的概率为( ).
A. B. C. D.
4.(多选题)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法不正确的有( ).
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1∪A2∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.事件A1,A2,A3的关系不确定
5.若从集合A={1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={1,2,3}中随机选取一个数记为b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)满足a+b=n”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N).若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为 .
6.从正方形4个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点距离不小于该正方形边长的概率为 .
7.在一个不透明的盒子中装有10个大小、质地相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.
8.袋中装有大小、质地相同的6个球,其中4个白球、2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率:
(1)事件A表示“取出的2个球都是白球”;
(2)事件B表示“取出的2个球中1个白球,1个红球”;
(3)事件C表示“取出的2个球中至少有1个白球”.
二、B组
1.从集合A={2,4}中随机抽取一个数记为a,从集合B={1,3}中随机抽取一个数记为b,则f(x)=ax2+2bx+1在区间(-∞,-1]上单调递减的概率为( ).
A. B. C. D.0
2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中,任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( ).
A. B. C. D.
3.某小组共有5名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( ).
A. B. C. D.
4.某射手射击一次,未中靶的概率为0.05,中靶环数大于6的概率为0.7,则事件A表示“中靶环数大于0且小于或等于6”的概率为 .
5.用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个排列在一起的小矩形随机涂色,每个小矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个小矩形颜色都相同的概率;
(2)3个小矩形颜色都不同的概率.
6.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
2.2 古典概型的应用
课后训练巩固提升
一、A组
1.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a,从{1,2,3}中随机选取一个数记为b,则b>a的概率是( ).
A. B. C. D.
解析:样本点总数n=15,我们用(a,b)表示随机选取的结果,事件“b>a”包含(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点,故所求概率为.
答案:D
2.袋中装有大小、质地相同的黄球、红球、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则是下列哪个事件发生的概率( ).
A.颜色相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不同 D.无红球
解析:有放回地取球3次,共有27种等可能结果,其中颜色相同的结果有3种,其概率为;设事件A表示“颜色不全相同”,则事件A是事件“颜色相同”的对立事件,故事件A的概率为1-;颜色全不同,即黄、红、白各一个,则其概率为;无红球,即每次都是黄球或白球,则其概率为.故选B.
答案:B
3.在军训汇报表演中,A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后顺序是随机定的,则B先于A,C通过的概率为( ).
A. B. C. D.
答案:B
4.(多选题)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法不正确的有( ).
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1∪A2∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.事件A1,A2,A3的关系不确定
解析:比如在一个箱子中有白球、黄球和红球若干,从中任取一球,取到红球(记为事件A1)的概率为0.2,取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3,取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5,显然A1∪A2与A3既不是互斥事件,也不是对立事件,故A错误;A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”,不是必然事件,故B错误;P(A2∪A3)=P(A3)=0.5,故C错误.
答案:ABC
5.若从集合A={1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={1,2,3}中随机选取一个数记为b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)满足a+b=n”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N).若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为 .
解析:分别从集合A和B中随机选取一个数确定平面上的点P为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6个.满足a+b=2的点有1个,满足a+b=3的点有2个,满足a+b=4的点有2个,满足a+b=5的点有1个,所以若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为3和4.
答案:3和4
6.从正方形4个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点距离不小于该正方形边长的概率为 .
解析:从5个点中取2个点的所有情况有10种,其中距离不小于正方形边长的情况有6种,故概率为.
答案:
7.在一个不透明的盒子中装有10个大小、质地相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.
解法1:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故共有10个等可能出现的样本点.令A={所取球的号码为偶数},显然A中含有5个样本点,从而P(A)=.
解法2:若把一次试验的所有可能结果取为:所取球的号码为奇数,所取球的号码为偶数,则它们是等可能出现的样本点,样本点总数为2,令A={所取球的号码为偶数},则A所含样本点个数为1,故P(A)=.
8.袋中装有大小、质地相同的6个球,其中4个白球、2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率:
(1)事件A表示“取出的2个球都是白球”;
(2)事件B表示“取出的2个球中1个白球,1个红球”;
(3)事件C表示“取出的2个球中至少有1个白球”.
解:设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.
从袋中的6个小球中任取2个球,则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点.所以取出的2个球都是白球的概率为P(A)=.
(2)事件B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8个样本点.所以取出的2个球中1个白球,1个红球的概率为P(B)=.
(3)方法1 因为C=A∪B,且A,B为互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=.
方法2 设C的对立事件为,则=“取出的2个球中没有白球(全为红球)”,则={(5,6)}.
P(C)=1-P()=1-.
二、B组
1.从集合A={2,4}中随机抽取一个数记为a,从集合B={1,3}中随机抽取一个数记为b,则f(x)=ax2+2bx+1在区间(-∞,-1]上单调递减的概率为( ).
A. B. C. D.0
解析:(a,b)的所有取值情况如下:(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4种,记“f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减”为事件A,由条件可知f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-,则-≥-1,即0<≤1,则事件A包含情况有(2,1),(4,1),(4,3),共3种,则P(A)=.
答案:B
2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中,任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( ).
A. B. C. D.
解析:从5张卡片中任取2张,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}共10个样本点.事件“两个字母恰好是按字母顺序相邻”包含的样本点有(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),共4个,因此,所求概率P=.
答案:B
3.某小组共有5名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( ).
A. B. C. D.
解析:由题意知男生人数为5-3=2,设2名男生分别为m1,m2,3名女生分别为w1,w2,w3,则选举2名代表的所有可能结果为(m1,m2),(m1,w1),(m1,w2),(m1,w3),(m2,w1),(m2,w2),(m2,w3),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w3),共10种.
设事件A表示“至少有1名女生当选”,则事件包含的样本点为(m1,m2).
故所求概率P(A)=1-P()=1-.
答案:B
4.某射手射击一次,未中靶的概率为0.05,中靶环数大于6的概率为0.7,则事件A表示“中靶环数大于0且小于或等于6”的概率为 .
解析:“未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件,“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0且小于或等于6”,设为事件A,所以P(A)=1-(0.05+0.7)=0.25.
答案:0.25
5.用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个排列在一起的小矩形随机涂色,每个小矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个小矩形颜色都相同的概率;
(2)3个小矩形颜色都不同的概率.
解:样本空间的样本点共有27个,且每个样本点出现的可能性相等.所有样本点用树状图表示,如图所示.
(第6题答图)
(1)记“3个小矩形都涂同一颜色”为事件A,由图知,事件A包含的样本点有3个,故P(A)=.
(2)记“3个小矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B包含的样本点有2×3=6(个),故P(B)=.
6.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中“S≤4”的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共6种.
所以P(B)=.(共39张PPT)
2.2 古典概型的应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例学会应用古典概型.
2.会从不同角度建立不同的概率模型并理解互斥事件概率加法公式,能应用公式解决实际问题.
3.通过建立概率模型来解决简单的实际问题,体会数学建模的学科素养.
自主预习·新知导学
一、古典概型的求解
【问题思考】
1.古典概型的基本特征是什么
提示:一是有限性,即样本空间为有限样本空间;二是等可能性,样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
3.求解古典概型中样本空间的样本点总数,常用的方法是什么
提示:列举法.
4.从甲、乙、丙三人中任选两名代表参加某项活动,甲被选中的概率为( )
答案:C
二、互斥事件的概率加法公式
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)什么是互斥事件 怎样用Venn图表示
(2)请根据Venn图直观判断出P(A∪B)与P(A),P(B)的大小关系.
提示:(1)一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.Venn图如图所示.
A,B互斥
(2)P(A)≤P(A∪B),P(B)≤P(A∪B).
2.在试验E“抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点数为奇数”,事件B表示“掷出的点数为4”,事件A与B是否为互斥事件 试探究P(A),P(B)与P(A+B)有怎样的关系.
提示:事件A和事件B是互斥事件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在古典概型中,概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).( × )
(2)两个互斥事件的概率加法公式可以推广到n个两两互斥事件的概率加法公式.( √ )
(3)当一个事件的情况比较复杂时,我们可以用求其对立事件的概率的方法间接地来求它的概率.( √ )
(5)如果P(A)≤P(B),那么A B.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 构建不同的概率模型解决问题
【例1】 从1,2,3,4,5,6中任取两个数字组成一个两位数,求组成的两位数大于50的概率.
解法1:依题意知,样本空间Ω={12,13,14,15,16,21,23,24,25,26,31,32,34,35,36,41,42,43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,64,65},共有30个样本点.设“组成的两位数大于50”为事件A,则事件A包含的样本点有51,52,53,54,56,61,62,63,64,65,共10个.
由古典概型的概率计算公式,得
解法2:由于50的个位数字是0,因此大于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可.十位上的数字的所有可能结果是1,2,3,4,5,6,即此样本空间共包含6个样本点.设十位上的数字不小于5为事件A,则事件A包含的样本点有5,6,共有2个.由古典概型的概率计算公式,得
可以用传统解法,但是样本点较多;还可以从另一角度巧妙建立古典概率模型,使样本点个数较少,理解、运算都较简便.
【变式训练1】 求连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,掷出的点数之和为奇数的概率.
解法1:设事件A表示“掷出的点数之和为奇数”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,显然此样本空间中共包含36个样本点.其中事件A包含的(i,j)只能为(奇,偶)或(偶,奇),所以事件A包含的样本点个数为3×3+3×3=18. 3×3+3×3=18.故
解法2:设事件A表示“掷出的点数之和为奇数”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.若把试验的所有可能结果取为(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇), (偶,偶),则它们也组成等可能样本点的样本空间,共有4个样本点.事件A包含的样本点个数为2.故
探究二 互斥事件的概率的求法
【例2】 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
已知同种血型的人之间可以相互输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何血型人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人之间不能互相输血,小明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一人,其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一人,其血不能输给小明的概率是多少
分析:将比例化为概率,根据事件之间的关系,选择概率公式计算.
解:把任找一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B', C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
(1)因为B,O型血的人可以输血给B型血的人,所以“任找一人,其血可以输给小明”为事件B'∪D',根据互斥事件的概率加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血的人不能输血给B型血的人,故“任找一人,其血不能输给小明”为事件A'∪C',根据互斥事件的概率加法公式,得P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”,对于较难判断关系的,必要时可利用Venn图或列出试验的样本空间及随机事件进行分析.
【变式训练2】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表:
(1)至多有2人排队的概率是多少
(2)至少有2人排队的概率是多少
排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
解:设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4,5人及以上的事件依次为A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知这六个事件两两互斥.
(1)设事件B表示“至多有2人排队”,则B=A0∪A1∪A2,P(B)=P(A0∪A1∪A2)
=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)设事件C表示“至少有2人排队”,则C=A2∪A3∪A4∪A5,P(C)=P(A2∪A3∪A4∪A5)
=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
探究三 建立概率模型解决实际问题
【例3】 有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上.现在这四人均未留意,在四个席位上随意就座.求:
(1)这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)这四人恰好都未坐在自己的席位上的概率.
解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用图表示出来.
1.本例条件不变,求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
解:记事件C为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”,则事件C含有8个样本点,
2.本例条件不变,求这四人中至少有两人坐在自己的席位上的概率.
1.当事件个数没有明显规律,且涉及的样本点又不太多时,可用树状图法直观地将其表示出来,树状图可以清晰准确地列出所有的样本点.
2.若事件可以表示成有序实数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,这样可以准确地找出样本点的个数.利用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观.
【变式训练3】 某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动转盘两次,如图7-2-1.每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数(指针指向分界线则重转转盘).设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
分析:理解游戏规则 列出样本点 查找所求事件的样本点个数 计算概率 比较大小.
解:用数对(x,y)表示小亮两次转动转盘记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含的样本点总数为16.
易 错 辨 析
因建模错误而致误
【典例】 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,求出现两次正面朝上的概率.
错解 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,面朝上的可能结果有“2次正面”,“2次反面”,“1次正面,1次反面”,共3种,即有3个样本点.所以出现2次正面朝上的概率为
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:因为“1次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正” 2种情况,所以出现“2次正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”的可能性是不相同的,因此,把这3个事件看成样本点建立的模型不是古典概型.
正解:把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,朝上的面出现“2次正面”,“2次反面”,“一正一反”和“一反一正”4种可能的结果,即有4个样本点并且这4个样本点出现的可能性相等,这个模型是古典概型.所以出现2次正面朝上的概率为
分清事件是不是古典概型,找准样本空间的所有样本点.
随 堂 练 习
1.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65, P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
解析:抽到的不是一等品的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:C
2.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则 =( ).
A.0.5 B.0.2
C.0.7 D.0.8
解析:因为A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(A)=0.5-0.3=0.2,因此 =1-P(A)=1-0.2=0.8.
答案:D
4.某人去外地旅游,他乘坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,求:
(1)他乘坐火车或乘坐飞机的概率.
(2)他不乘坐轮船的概率.
解:记事件A为“乘坐火车”,B为“乘坐轮船”,C为“乘坐汽车”,D为“乘坐飞机”.这四个事件彼此互斥.
(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.7,即他乘坐火车或乘坐飞机的概率为0.7.
