§4 事件的独立性
课后训练巩固提升
一、A组
1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( ).
A.0.12 B.0.42
C.0.46 D.0.88
2.下列事件A,B是相互独立事件的是( ).
A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,事件A表示“第一次正面朝上”,B表示“第二次反面朝上”
B.袋中有大小、质地相同的两个白球和两个黑球,不放回地依次摸两球,事件A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.事件A表示“人能活到60岁”,B表示“人能活到80岁”
3.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则事件A发生的概率P(A)等于( ).
A. B.
C. D.
4.如图,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统可以正常工作的概率是( ).
A.0.504 B.0.994
C.0.496 D.0.06
5.(多选题)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,则下列结论正确的有( ).
A.两个球不都是红球的概率为
B.两个球都是红球的概率为
C.至少有一个红球的概率为
D.两个球中恰有一个红球的概率为
6.已知事件A,B,C相互独立,若P(A∩B)=,P(∩C)=,P(A∩B∩)=,则P(B)= ,P(∩B)= .
7.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为 .
8.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少命中一次的概率.
9.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约;乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响,求:
(1)至少有一人面试合格的概率;
(2)没有人签约的概率.
二、B组
1.甲、乙两个气象台独立进行天气预报,如果他们预报准确的概率分别为0.8,0.9,那么在一次预报中,两个气象台都没预报准确的概率为( ).
A.0.72 B.0.3
C.0.02 D.0.03
2.在一段时间内,甲去某地的概率是,乙去此地的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是( ).
A. B.
C. D.
3.把一枚质地均匀的骰子任意地掷一次,下列各组事件是相互独立事件的组数为( ).
①事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出奇数点”;
②事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3点”;
③事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3的倍数点”;
④事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出的点数小于4”.
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(多选题)有两种投资方案,一年后投资盈亏情况如下表.
投资股市:
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金:
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则( ).
A.P(A)=0.5
B.当p=时,q=
C.若P(C)=0.75,则p=0.5
D.若P(C)>0.8,则p>
5.如图,在电路图中有开关a,b,c,它们闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).
A. B. C. D.
6.某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三个交通灯在一分钟内绿灯亮的时间(单位:s)分别为25 s,35 s,45 s,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( ).
A. B.
C. D.
7.某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为 ;
(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为 .
8.一个元件能正常工作的概率叫作这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为p(0
(1)
(2)
§4 事件的独立性
课后训练巩固提升
一、A组
1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( ).
A.0.12 B.0.42
C.0.46 D.0.88
解析:由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有1人被录取的概率为1-0.12=0.88.
答案:D
2.下列事件A,B是相互独立事件的是( ).
A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,事件A表示“第一次正面朝上”,B表示“第二次反面朝上”
B.袋中有大小、质地相同的两个白球和两个黑球,不放回地依次摸两球,事件A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.事件A表示“人能活到60岁”,B表示“人能活到80岁”
答案:A
3.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则事件A发生的概率P(A)等于( ).
A. B.
C. D.
解析:由题意得P(A)=P(B),且事件A,B相互独立,所以P(A)P()=P(B)P().
所以[1-P()]P()=[1-P()]P().
所以P()=P().
因为P()=[P()]2=,
所以P()=.
故P(A)=1-P()=.
答案:D
4.如图,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统可以正常工作的概率是( ).
A.0.504 B.0.994
C.0.496 D.0.06
解析:系统正常工作,即A,B,C3个开关至少有一个能正常工作.设事件A,B,C分别表示开关A,B,C正常工作,则事件A,B,C相互独立.故系统正常工作的概率P=1-P()=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.994.
答案:B
5.(多选题)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,则下列结论正确的有( ).
A.两个球不都是红球的概率为
B.两个球都是红球的概率为
C.至少有一个红球的概率为
D.两个球中恰有一个红球的概率为
解析:由题意,得两个球不都是红球的概率为1-,两个球都是红球的概率为,至少有一个红球的概率为1-,两个球中恰有一个红球的概率为.
答案:ABCD
6.已知事件A,B,C相互独立,若P(A∩B)=,P(∩C)=,P(A∩B∩)=,则P(B)= ,P(∩B)= .
解析:由题意,得
解得
故P(∩B)=[1-P(A)]P(B)=.
答案:
7.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为 .
解析:设“甲解出,而乙、丙不能解出”为事件A,
则P(A)=,
“乙解出,而甲、丙不能解出”为事件B,
则P(B)=,
“丙解出,而甲、乙不能解出”为事件C,
则P(C)=,
故由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为P(A)+P(B)+P(C)=.
答案:
8.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少命中一次的概率.
解:(1)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=.
故甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为P=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1,则P1=P()=P()P()P()P()=.
故甲、乙两人在罚球线各投球两次,至少命中一次的概率为1-P1=.
9.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约;乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响,求:
(1)至少有一人面试合格的概率;
(2)没有人签约的概率.
解:用A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙面试合格”,由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=.
(1)至少有一人面试合格的概率是1-P()=1-P()P()P()=1-.
(2)没有人签约的概率为P()+P(C)+P()=P()P(B)P()+P()P()P(C)+P()P()P()=.
二、B组
1.甲、乙两个气象台独立进行天气预报,如果他们预报准确的概率分别为0.8,0.9,那么在一次预报中,两个气象台都没预报准确的概率为( ).
A.0.72 B.0.3
C.0.02 D.0.03
解析:因为甲、乙两个气象台预报不准确的概率分别为0.2,0.1,且相互独立,所以两个气象台都没预报准确的概率为0.2×0.1=0.02.
答案:C
2.在一段时间内,甲去某地的概率是,乙去此地的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是( ).
A. B.
C. D.
解析:至少有一人去此地的对立事件是两人都不去此地,两人都不去此地的概率是,因此,至少有一人去此地的概率是1-.
答案:C
3.把一枚质地均匀的骰子任意地掷一次,下列各组事件是相互独立事件的组数为( ).
①事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出奇数点”;
②事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3点”;
③事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出3的倍数点”;
④事件A表示“掷出偶数点”,B表示“掷出的点数小于4”.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,
所以A与B不是相互独立事件.
②P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,
所以A与B不是相互独立事件.
③P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
P(AB)=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.
④P(A)=,P(B)=,P(AB)=,
P(A)P(B)≠P(AB),所以A与B不是相互独立事件.
答案:A
4.(多选题)有两种投资方案,一年后投资盈亏情况如下表.
投资股市:
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金:
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则( ).
A.P(A)=0.5
B.当p=时,q=
C.若P(C)=0.75,则p=0.5
D.若P(C)>0.8,则p>
解析:由题意知P(A)=,P(B)=p,∴A正确.
∵“购买基金”后,投资结果只有三种,且三种投资结果两两互斥,∴p++q=1.
又p=,∴q=,∴B正确.
∵C=AB+AB,且A,B相互独立,
∴P(C)=(1-p)+p+p=p.
若P(C)=0.75,则p=0.5,∴C正确;
若P(C)>0.8,则p>0.8,∴p>.
又p++q=1,q>0,∴p<,∴答案:ABC
5.如图,在电路图中有开关a,b,c,它们闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).
A. B. C. D.
解析:设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,所以P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=.
答案:B
6.某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三个交通灯在一分钟内绿灯亮的时间(单位:s)分别为25 s,35 s,45 s,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( ).
A. B.
C. D.
解析:设这三个交通灯绿灯亮分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,且A,B,C相互独立.
所以三处都不停车的概率为P(ABC)=.
答案:A
7.某自助银行有A,B,C,D四台ATM,在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为 ;
(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为 .
解析:(1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用,故所求概率P1=.
(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率P2=.
答案:(1) (2)
8.一个元件能正常工作的概率叫作这个元件的可靠性,设构成系统的每个元件的可靠性为p(0(1)
(2)
解:系统(1)有两条道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作.
系统(1)每条道路正常工作的概率是p3,不能正常工作的概率是1-p3,系统(1)不能正常工作的概率为,故系统(1)正常工作的概率是P1=1-(1-p3)2=p3(2-p3).
系统(2)由3对并联元件串联而成,它能正常工作,当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件不能正常工作的概率为(1-p)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1-(1-p)2,故系统(2)正常工作的概率是P2=[1-(1-p)2]3=p3(2-p)3.
因为P1-P2=p3(2-p3)-p3(2-p)3=-6p3(p-1)2<0,所以P14 事件的独立性
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解相互独立事件的概念,明确相互独立事件与互斥事件之间的区别.
2.掌握相互独立事件概率的乘法公式.
3.学会用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.
4.提升数学抽象和数学建模素养.
自主预习·新知导学
一、事件相互独立的含义
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)积事件AB的含义是什么 怎样用Venn图表示积事件AB
(2)请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A),P(B)的大小关系.
提示:(1)事件A与事件B同时发生,即积事件AB的样本点既在事件A中,也在事件B中.用Venn图表示为
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.端午节学校放假三天,甲、乙两名同学都打算去敬老院,甲准备在三天内随机选一天去,记事件A:“甲选的是第一天”;乙准备在前两天中随机选一天去,记事件B:“乙选的是第一天”.
(1)直觉上,你觉得事件A是否发生会影响事件B发生吗
(2)求出P(A),P(B),P(AB)并观察这三个值有什么关系.
提示:(1)甲选第一天,对乙选第一天是没有影响的,即事件A是否发生不影响事件B发生.
3.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).
4.下列事件A,B是相互独立事件的是( ).
A.一枚均匀硬币抛两次,A:第一次出现正面,B:第二次出现反面
B.袋中有大小、质地相同的2个白球和2个黑球,不放回地依次摸2个球,A:第一次摸到白球,B:第二次摸到白球
C.掷一枚均匀的骰子,A:朝上的面的点数为奇数,B:朝上的面的点数为偶数
D.A:人能活到50岁,B:人能活到70岁
答案:A
二、相互独立事件的性质
【问题思考】
1.若事件A与事件B相互独立,则事件A与事件B的对立事件相互独立吗 为什么
3.一个袋中有3个红球和2个白球,另一袋中有2个红球和1个白球,这些球除颜色外其余均相同.从每袋中任取1个球,则至少取到1个白球的概率是_____________.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若A,B为相互独立事件,则事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响.( √ )
(2)若事件A,B互斥,则A,B不可能同时发生.( √ )
(3)若事件A,B相互独立,则A,B不可能同时发生.( × )
(4)应用公式P(AB)=P(A)P(B)的前提是事件A,B相互独立.
( √ )
(5)当事件A,B相互独立时,P(A∪B)=P(A)+P(B).( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 互斥事件与相互独立事件
【例1】 下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖;
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙中奖;
(3)甲组有3名男生、2名女生,乙组有2名男生、3名女生.现从甲、乙两组中各抽选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(4)容器内装有大小、质地相同的5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
解:(1)1张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙是否中奖没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然,所以它们是相互独立事件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能同时发生,“独立事件”互不影响.
【变式训练1】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件.
(1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”;
(2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;
(3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;
(4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”.
解:(1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件.
(2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”发生的概率没有影响,二者是相互独立事件.
(3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件.
(4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”可能同时发生,二者既不是互斥事件,也不是相互独立事件.
探究二 相互独立事件的概率公式
【例2】 甲、乙、丙3位大学毕业生同时应聘某个用人单位,3人能被选中的概率分别为 各自能否被选中互不影响.求:
(1)3人同时被选中的概率;
(2)3人中至少有1人被选中的概率.
本例条件不变,求3人均未被选中的概率.
解:设甲、乙、丙各自被选中的事件为A,B,C,
则3人均未被选中的概率
求P(AB)时注意事件A,B是否相互独立,求P(A+B)时应注意事件A,B是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路: (1)分类讨论;(2)求对立事件,利用 来计算.
(1)甲获胜的概率;
(2)甲投篮次数分别为1,2,3次的概率.
解:设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,
(1)记“甲获胜”为事件C,则
探究三 相互独立事件概率的应用
求复杂事件的概率的方法
(1)列出题中所涉及的各事件,并用适当符号表示.
(2)理清各事件之间的关系是互斥还是对立,或者是相互独立.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算事件的概率要分多种情形时,可利用对立事件的概率来求解.
【变式训练3】 在一个选拔项目中,每名选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.求:
(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率;
(3)该选手最终通过考核的概率.
随 堂 练 习
1.甲、乙两名射击运动员射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若甲、乙各射击一次,目标被击中的概率是( )
A.0.56 B.0.92 C.0.94 D.0.96
答案:C
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,设事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是( )
A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
解析:事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},
样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立.
因为当“出现6点”时,事件A与事件B都发生,
所以A,B不是互斥事件.
答案:B
答案:C
4.现有甲、乙、丙三个独立的科研机构,在一定的时期内能研制出某种疫苗的概率分别是 则他们都失败的概率为
,他们能研制出疫苗的概率为 .
解析:记事件A,B,C分别表示“甲、乙、丙三个科研机构在一定时期内能研制出疫苗”,则事件A,B,C相互独立,
5.甲、乙二人进行围棋比赛,共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知在前2局中,甲、乙各胜1局.求:
(1)再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)甲获得这次比赛胜利的概率.
解:设Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,Bj表示事件:第j局乙获胜,j=3,4.
(1)设A表示事件“再赛2局结束比赛”,
则A=A3A4∪B3B4.
由于各局比赛结果相互独立,且A3A4与B3B4互斥,
故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
(2)设B表示事件“甲获得这次比赛的胜利”.
因前2局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,
由于各局比赛结果相互独立,且A3A4,B3A4A5,A3B4A5彼此互斥,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)
=P(A3)·P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)·P(A5)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.