2023-2024第一学期高一第二次月考
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
A倍
B.10倍
c.o倍
D.100倍
1.已知集合A={xx2.4<0},B={x2-2≥0}，则AnB=（)
D.[1,2]
二、多选题（本大题共有个4个小题，每题5分，共20分，多选、错选均不得分）
A.(-2,1
B.[1,2)
C.[-2,1)
2.与亚终边相同的角的表达式中，正确的是()
9.已知角a的终边经过点P(-3,4),则()
A
B.k-360°+4k∈Z
A.oa=号
B.tana=号
A.45°+2km,k∈Z
C.k·360°+315°k∈Z
D.2km.kz
C.sna+m-号
D.cos(a月-号
10.下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（)
3.若实数a,6满足2”==6，则}+日=()
A.f(x)=x
B.f(x)=Inx
A.
B
C.g
D.1
C.f(x)=2-2
D.=是
4.已知a=1o92,b=1.7,c=062”,则a,b,c的大小关系是（)
11.已知a>0,且a≠1，则函数y=a与y=log×的图象可能是（)
A.a
B.aC.cD.c5.设a是第二象限角，则号的终边在（)
A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
log,xl,0C.第一、三、四象限
D,第一、二、四象限
12,已知函数f(x)=
固-1x>2令9W=f刻-k,则()
6.已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（()
A.若g(x)有1个零点，则k<0或k>1
A.10
B.15
C.20
D.25
7.函数)=×+4在区间上的最大值为()
B.若g(x)有2个零点，则k=1或k=0
C.f(x)的值域是(-1，+o)
A号
号
C.3
D.4
D.若存在实数a,b,c(a8.星等是衡量天体光度的量为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前
三、填空题（本大题共有个4个小题，每题5分，共20分）
二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，-0.58等星的星等值为-0.58.已知两个天体
13.已知通数侧-x80.则利-
的星等值m,m,和它们对应的亮度E,E,满足关系式m,m,=251g是（仁，>0，
14.函数f(x)=a-2(a>0,且a≠1)的图像恒过的定点的坐标为
E,>0),则1等星的亮度是6等星亮度的（)
15.函数y=1og,(x2+4x-12)的单调递减区间是
第1页共4页@第2页共4页2023-2024第一学期第二次月考解析 故选：D.
1 0.3 3.1
一、单选题 4．已知 a = log2 ，b = 1.7 ，c = 0.6 ，则 a，b，c的大小关系是（ ）2
1．已知集合 A = {x|x2-4<0 } B = {x|2x， -2≥0}，则 A ∩ B =（ ）
A．a < b < c B．a < c < b C．c < b < a D．c < a < b
A．(-2,1] B．[1,2) C．[-2,1) D．[1,2]
【答案】B
【答案】B
【分析】计算 a = -1，b > 1，0 < c < 1，得到大小关系.
【分析】先分别解一元二次不等式和指数不等式，再根据交集的定义求解即可.
a = log 1 = -1 b = 1.70.3【详解】 2 ， > 1.7
0 = 1，0 < c = 0.63.1 < 0.60 = 1，故 a < c < b.
【详解】x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) < 0，解得-2 < x < 2，所以 A = ( - 2,2). 2
x 故选：B.2 - 2 ≥ 0 2x ≥ 21，解得 x ≥ 1，所以 B = [1, + ∞).
α
所以 A ∩ B = [1,2). 5．设α是第二象限角，则 的终边在（ ）3
故选：B A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
9π
2．与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
4
π 【答案】D
A．45° + 2kπ,k ∈ Z B．k 360° + ,k ∈ Z
4
2k + π【分析】由 π < α < 2kπ + ,k ∈ 2kπ π α 2kπ ππ Z ，得到 + < < + ,k ∈ Z，对 k赋值判断.
2 3 6 3 3 3
C．k 360° + 315°,k ∈ Z 7πD．2kπ - ,k ∈ Z
4 【详解】解：因为α是第二象限角，
【答案】D
2k + π所以 π < α < 2kπ + π,k ∈ Z ，
2
【分析】根据角度的表示方法分析判断 AB，根据终边相同的角的定义分析判断 CD.
2kπ π α 2kπ π
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以 ， 错误． + < < + ,k ∈ Z，A B 3 6 3 3 3
9π 9π π α π
与 终边相同的角可以写成 2kπ + (k∈Z)的形式， 当 k = 0时， < < ，在第一象限；
4 4 6 3 3
k = -2时，2kπ + 9π = -7π 7π 5π α，315°换算成弧度制为 ，所以 C错误，D正确． 当 k = 1时， < < π，在第二象限；
4 4 4 6 3
故选：D． k 3π α 5π当 = 2时， < < ，在第四象限；
2 3 3
a b 1
3．若实数 a，b满足2 = 3 = 6，则 + 1 =（ ）
a b 故选：D
-1 1 1A． B． C． D．1 6．已知扇形的周长为 20，则该扇形的面积 S的最大值为（ ）
2 5 6
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【答案】D
【解析】利用指数式与对数式的互化可得 a = log26,b = log36，再利用对数运算，即可得答案；
【分析】设扇形圆心角为θ，扇形半径为 r，由题可得 r,θ间关系，后用 r表示 S，即可得答案.
【详解】∵ 2a = 3b = 6，∴ a = log26,b = log36，
1 1 【详解】设扇形圆心角为θ，θ > 0，扇形半径为 r，r > 0，∴ + = log62 + log63 = log66 = 1，a b
由题有 2r + rθ = 20 θ = 20 - 2，
r
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{#{QQABbQAQggiIAAAAARhCAQ26CgEQkBACCAoORAAMIAAAAANABAA=}#}
则 S = 1θr2 = 1(20-2)r2 = 10r - r2 = -(r-5)2 + 25 ≤ 25，当 r = 5,θ = 2 4 π 4时取等号. C．sin(α + π) = D．cos(α - ) = -2 2 r 5 2 5
故选：D 【答案】AB
7．函数 f(x) = x + 4 在区间[-1,2]上的最大值为（ ） 【分析】根据三角函数的定义求得 cosα,sinα,tanα，结合诱导公式确定正确答案.x+1 2
10 15 【详解】∵角α的终边经过点 P( - 3,4)，∴ |OP| = 9+16 = 5，
A． B． C．3 D．4
3 2
∴ cosα = -3 = -3，sinα = 4，∴ sin(π + α) = -sinα = -4，
【 】 5 5 5 5答案 B
π
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可． ∴ cos(α - ) = sinα =
4 tanα = 4 = -4， ，故 AB正确、CD错误，
2 5 -3 3
4 1
【详解】设 t = x + 1，则问题转化为求函数 g(t) = t + - 1在区间
t [ ,3]上的最大值．根据对勾函数的性 故选：AB2
[1 ] 10．下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ）质，得函数 g(t)在区间 ,2 上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以2
A．f(x) = x B．f(x) = lnx
g(t)max = max{g(1),g(3)} = max{15,10} = 15．2 2 3 2 x -x 1C．f(x) = 2 - 2 D．f(x) = -
x
故选：B
【答案】AC
8．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元
【分析】根据奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可判断和选择.
前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为 1，-0.58等星的星等值为-0.58.已知两个天体
【详解】对 A：f(x) = x定义域为 R，且 f(-x) = -x = -f(x)，故 f(x)为奇函数；
E
的星等值m1，m2，和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m1 -m2 = -2.5lg
1（E1 > 0，E2 > 0），则 1等星的E 又 f(x)是 R上的单调增函数，故 A满足题意；2
亮度是 6等星亮度的（ ） 对 B：f(x) = ln x定义域为(0, + ∞)，不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数，B不满足题意；
1 1
A． 倍 B．10倍 C． 倍 D．100倍 对 C：f(x) = 2
x - 2-x的定义域为 R，且 f(-x) = -(2x-2-x) = -f(x)，故 f(x)为奇函数；
10 100
y = 2x,y = -2-x又 都是 R上的单调增函数，故 f(x)是 R上的单调增函数，C满足题意；
【答案】D
1
【分析】根据题意建立对数关 式，并结合指对数互化求解. 对 D：f(x) = - 的定义域为{x|x ≠ 0}，其在定义域{x|x ≠ 0}上不是单调增函数，故 D不满足题意.系 x
E
【详解】由题意得：当m = 1，m = 6时，m -m = -5 = -2.5lg 1， 故选：AC.1 2 1 2 E2
E E 11．已知 a > 0，且 a ≠ 1
x
，则函数 y = a与 y = logax的图象可能是（ ）
即：lg 1 = 2，解之得： 1 = 102 = 100，故 D项正确.
E2 E2
故选：D.
二、多选题
A． B． C． D．
9．已知角α的终边经过点 P( - 3,4)，则（ ）
【答案】AC
A．cosα = -3 B．tanα = -4
5 3 【分析】分 a > 1和 0 < a < 1两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
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{#{QQABbQAQggiIAAAAARhCAQ26CgEQkBACCAoORAAMIAAAAANABAA=}#}
【详解】若 0 < a < 1，则函数 y = ax的图象单调递减且过点(0,1)， -log2a=d
log2b=d
函数 y = logax的图象单调递减且过点(1,0)；
设 f(a) = f(b) = f(c) = d，则{ ，由前两个方程可得-log a = log b，则 ab = 1，
x (1)c-3
2 2
-1=d
若 a > 1，则函数 y = a的图象单调递增且过点(0,1)， 2
由图象可知 d ∈ (0,1)，解得 c ∈ (2,3)，即 abc = c ∈ (2,3)，故 D正确；
而函数 y = logax的图象单调递增且过点(1,0)，
故选：BCD.
只有 A,C的图象符合．
故选：AC
{|log2x|,02 2x +1，x≤013．已知函数 f(x) = { ，则 f(4) =.2 f(x-3),x>0
A．若 g(x)有 1个零点，则 k < 0或 k > 1 【答案】9
B．若 g(x)有 2个零点，则 k = 1或 k = 0 【分析】根据函数解析式直接求解即可.
C．f(x)的值域是(-1,+∞) 【详解】解：根据题意，f(4) = f(4-3) = f(1) = f(1-3) = f(-2) = 2×(-2)2 + 1 = 9
D．若存在实数 a，b，c（a < b < c）满足 f(a) = f(b) = f(c)，则 abc的取值范围为（2，3） 故答案为：9
f(x) = a1-x【答案】BCD 14．函数 - 2（a > 0，且 a ≠ 1）的图像恒过的定点的坐标为．
x
【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数 y = log2x的图象与函数 y = (1)的图象， 【答案】(1,-1)2
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
可得函数 f(x)的图象，利用数形结合，可得答案.
1-1
【详解】因为 f(1) = a - 2 = -1，
【详解】由函数 y = log2x的图象，根据函数图象的翻折变换，
由函数 y = (1)x 所以恒过的定点的坐标为(1,-1)，的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移 3个单位，向下平移 1个单位，2
故答案为：(1,-1).
可得函数 f(x)的图象，如下图： 2
15．函数 y = log1(x +4x-12)的单调递减区间是.
2
【答案】(2, + ∞)
【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数
的单调区间即可.
【详解】y = log1(x2+4x-12) x2的定义域为 + 4x - 12 > 0，解得(x + 6)(x - 2) > 0，
函数 g(x)的图象可由函数 f(x)经过平移变换得到， 2
显然当-1 < k < 0或 k > 1时，函数 g(x)的图象与 x轴存在唯一交点，故 A错误； ∴ x < -6或 x > 2,
2
由函数 f(x)的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故 B正确； 求原函数的单调递增区间, 即求函数x + 4x - 12的减区间,
x2由图象，易知 C正确； + 4x - 12 = (x+2)2 - 16, 可知单调递减区间为( -∞, - 2),
综上可得, 函数单调递增区间为 ( -∞, - 6).
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t = x2令 + 4x - 12 2, 由 x + 4x - 12 > 0, 得 x < -6或 x > 2, 【答案】(1)3
∴ 函数 f(x) = log1(x2+4x-12)的定义域为 ( -∞, - 6) ∪ (2, + ∞), (2)10
2
【分析】根据指对幂的运算规则计算.
当 x ∈ (2, + ∞) 2时, 内层函数 t = x + 4x - 12 为增函数,而外层函数 y = log1t 为减函数,
2
3 -
2
1 -1
0 1 3 3 -
∴ 函数 f(x) = log1(x2+4x-12) 的单调递减区间是 (2, + ∞). 【详解】（1）(7+4 3) + 325 - 2×( ) + 2×(4 3)8
2
故答案为:(2, + ∞). 3 -2 1 1
= 1 + (25)5 - 2×(2-3) 3 + 23×43（２＇）
1 |x|2
16．给出下列函数：①y = x + 1；②y = -|x|；③y = ( ) ；④y = log2x. 1 22 = 1 + 23 - 2×22 + 23×23（１＇）
（1）是定义在 R上的偶函数；
1+2
f(x = 1 + 8 - 8 + 2
3 3（１＇）
（2）对任意x ,x ∈ (0, + ∞)且x ≠ x ，有 1
)-f(x2)
1 2 1 2 < 0，其中同时满足上述两个条件的函数是(填序号)．x1-x2 = 1 + 2
【答案】②③
= 3；（１＇）
【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
（2）原式= ln9e - log23 log32 + lg100（３＇）
1 |x|2
【详解】由题意，函数 y = x + 1，y = -|x|，y = ( ) 的定义域都是 R，
2 = 9 - 1 + 2；（１＇）
且都满足 f(-x) = f(x)，所以都是定义域上的偶函数； = 10（１＇）
根据对数函数的图象与性质，可得函数 y = log2x为非奇非偶函数，不符合题意， 综上，（1）原式=3；（2）原式=10.
f(x )-f(x ) 1
又由对任意x1,x2 ∈ (0, + ∞)且x1 ≠ x2，有
1 2 < 0， 18．（1）已知 sinα = ，求 cosα，tanα的值；
x1-x2 5
可得函数 f(x)是(0, + ∞)上的单调递减函数， （2）已知 cosα = -3，求 sinα，tanα的值．
5
2
根据二次函数的性质，可得函数 y = x + 1在(0, + ∞)上为单调递增函数，不符合题意；
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
当 x ∈ (0, + ∞)，可得 y = -x，在(0, + ∞)上为单调递减函数，符合题意；
【分析】（1）根据函数值的符号确定角的象限，利用平方关系求出余弦，再利用商数关系求正切值；
1 x
当 x ∈ (0, + ∞)，可得 y = ( )，在(0, + ∞)上为单调递减函数，符合题意；
2 （2）根据函数值的符号确定角的象限，利用平方关系求出正弦，再利用商数关系求正切值.
故答案为：②③ 1【详解】（1）因为 sinα = > 0，且α是第二象限角，（１＇）
5
2
当α为第二象限角时，cosα = - 1-sin α = - 1- 1 = -2 6（２＇）tanα = sinα = - 6．（２＇）
25 5 cosα 12
3
四、解答题 （2）因为 cosα = - < 0，所以α是第二或第三象限角，（１＇）
5
17．求值：
当α为第二象限角时，sinα > 0，tanα < 0，
2
3 - -1
( )0 3 -
1 2 3 2 4 sinα 4
(1) 7+4 3 + 325 - 2×(1) + 3 2×(4 3) ； 所以 sinα = 1-cos α = 1-(- ) = ，tanα = = - ；（３＇）8 5 5 cosα 3
2ln3 当α是第三象限角时，sinα < 0，tanα > 0，
(2)e - log49 log278 + lg4 + lg25 ．
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2 25
所以 sinα = - 1-cos2α = - 1-(-3) = -4 tanα = sinα = 4， ．（3＇） (3)
5 5 cosα 3 7
19．已知 tanα = -2．
2
(1)求sin α - 2cos2α的值． 【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解；
2sin(π-α)+sin(π-α) （2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解；2
(2)求 ( ) 的值．3π （3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解.cos -α +cos(-α)2
【详解】（1）∵sinx + cosx = 1，
2 5
【答案】(1) ；
3
(sinx+cosx)2 = (1)2∴ , （２＇）
(2)-1. 5
2
2 2 tan α-2 即 1 + 2sinxcosx =
1 24
，∴2sinxcosx = - ，（２＇）
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有sin α - 2cos α = ，即可求值； 25 25
tan2α+1
12
（2）应用诱导公式化简，再由商数关 及已知求值. ∴sinxcosx = - ．（１＇）系 25
sin2α - 2cos2α = sin
2α-2cos2α 12
【详解】（1） （１＇） （2）由（1）知，sinxcosx = - ，
sin2α+cos2α 25
2
= tan α-22 （２＇） (sinx-cosx)
2 = sin2x - 2sinxcosx + cos2x = 1 - 2sinxcosx = 1 + 24 = 49，（２＇）
tan α+1 25 25
= ４-２（１＇） 又-π < x < 0，
４+１ 2
２
＝ （１＇） ∴sinx < 0，cosx > 0，（２＇）
5
( ∴sinx - cosx < 0，2sin(π-α)+sin π-α2 ) 2sinα+cosα
（2） ( ) = （４＇） ∴sinx - cosx = -
7
．（１＇）
cos 3π-α +cos(-α) -sinα+cosα 5
2
sinx + cosx = 1（3）∵ ，sinx - cosx = -7，
= 2tanα+1
5 5
（１＇）
1-tanα 1
∴ = 1 （１＇）
= -1. （１＇） cos
2x-sin2x (cosx+sinx)(cosx-sinx)
1 25
π 1 = = ．（１＇）
20．已知- < x < 0，sinx + cosx = ，求下列各式的值． 1
2 5 ×
7 7
5 5
(1)sinxcosx；
21．已知 f(x) = loga(x+1)，g(x) = loga(1-x)，(a>0且a≠1)
(2)sinx - cosx；
（1）求 F(x) = f(x) + g(x)的定义域.
1
(3) ．
cos2x-sin2x （2）判断 F(x) = f(x) + g(x)的奇偶性，并说明理由.
12
【答案】(1)- 【答案】（1）(-1,1)；（2）偶函数，理由见解析.
25
7 【分析】（1）根据对数的真数大于零可求得 f(x)和 g(x)的定义域，取交集可得 F(x)定义域；
(2)-
5
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2
（2）整理可得 F(x) = loga(1-x )，验证得 F(-x) = F(x)，得到函数为偶函数. ∴ x1 - x2 < 0，1 - x1x2 > 0，
【详解】（1）令 x + 1 > 0得：x > -1 ∴ f(x)定义域为(-1,+∞)（２＇） ∴ f(x1) - f(x2) < 0，即 f(x1) < f(x2)，
令 1 - x > 0得：x < 1 ∴ g(x)定义域为(-∞,1)（２＇） ∴函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数. （１＇）
∴ F(x) = f(x) + g(x)的定义域为(-1,1)（２＇） （Ⅲ）f(2x-1) + f(x) < 0，即 f(2x-1) < -f(x)，
（2）由题意得：F(x) = loga(x+1) + loga(1-x) = loga(1-x2)，x ∈ (-1,1)（３＇） ∵函数 f(x)为奇函数
∴ F(-x) = loga(1-(-x)2) = loga(1-x2) = F(x)（２＇） ∴ f(2x-1) < f(-x)（１＇）
∴ F(x) = f(x) + g(x)为定义在(-1,1)上的偶函数（１＇） ∵ f(x)在[-1,1]上为单调递增函数，
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必 0≤x≤1
-1≤2x-1≤1 -1≤x≤1 1
须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义. ∴ { -1≤-x≤1 ， ∴
2x-1<-x { 1 ，解得：0 ≤ x < . （２＇）x< 3
y = log x (m,n) x
3
22．已知函数 a 过定点 ，函数 f(x) = 2 + n的定义域为[-1,1].x +m
故不等式的解集为：{x|0≤x<1}（１＇）
（Ⅰ）求定点(m,n) 3并证明函数 f(x)的奇偶性；
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问
（Ⅱ）判断并证明函数 f(x)在[-1,1]上的单调性；
题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
（Ⅲ）解不等式 f(2x-1) + f(x) < 0.
【答案】（Ⅰ）定点为(1,0)，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）f(x)在[-1,1]上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）{x|0≤x<1}.3
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为(1,0)，即可得 f(x)的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明 f(x)的单调性；
（Ⅲ）根据 f(x)的单调性和奇偶性，化简整理，可得 f(2x-1) < f(-x)，根据函数的定义域，列出不等式组，
即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）∵函数 y = logax过定点(m,n)，∴定点为(1,0)，（１＇）
∴ f(x) = x2 ，定义域为[-1,1]，x +1
∴ f(-x) = -x2 = -f(x). （１＇）x +1
∴函数 f(x)为奇函数. （１＇）
（Ⅱ）f(x)在[-1,1]上单调递增.
证明：任取x [ ]1,x2 ∈ -1,1 ，且x1 < x2，
( ) ( x x x (x
2+1)-x (x 2+1) (x -x )(1-x x )
则 f x1 - f x ) = 1 - 2 = 1 2 2 1 1 2 1 22 x 2+1 x 21 2 +1 (x 21 +1)(x 22 +1)
= (x 21 +1)(x 22 +1)
. （２＇）
∵ x1,x [2 ∈ -1,1]，x1 < x2，
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