河南省郑州市中原区学森实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省郑州市中原区学森实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-08 20:13:52 | ||
图片预览
文档简介
学森实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
全卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）
A.3.2米 B.3.4米 C.4米 D.3.6米
5.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
6.已知直线，圆，若过上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左支交于两点，，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.直线的倾斜角大于
B.直线过定点
C.直线与直线之间的距离是
D.与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有4条
10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A. B.
C. D.事件与相互独立
11.点是椭圆上一点，是圆上一点，则（ ）
A.椭圆的离心率为
B.圆的圆心坐标为
C.圆上所有的点都在椭圆的内部
D.的最小值为
12.如图，正方体中，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使平面
B.存在点，使
C.四面体的体积为定值
D.二面角的余弦值取值范围是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与直线垂直，则实数__________.
14.一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是__________.
15.如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为为棱的中点，则__________.
16.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，椭圆上存在点使线段被直线平分，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）
（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率.
18.（本题12分）
已知向量.设函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求函数的最小值及取到最小值时的值.
19.（本题12分）
如图，在正方体中，分别为的中点.
（1）求异面直线与的夹角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
20.（本题12分）
在平面直角坐标系xoy中，点，圆为的外接圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作直线，被圆截得的弦长为，求直线的方程.
21.（本题12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求二面角的正弦值.
22.（本题12分）
已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.
（1）求的方程.
（2）若为上的两个动点，两点的纵坐标的乘积大于，且.证明：直线过定点.
参考答案：
1.A
【详解】设，则，
，解得：，
.
故选：A.
2.C
【详解】因为标准方程为的焦点为，所以由得，则，
焦点为
故选：C
3.B
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：B.
4.D
【详解】由题意可知，，则，
由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，
所以米，米，该籿球的高为米.
故选：D
5.A
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：A
6.D
【详解】由圆的性质，可得当直线上的点到圆心的距离最小时，切线长最小，
因为圆，可得圆心，半径为，
则圆心到直线的距离为，
即，所以切线长的最小值为.
故选：D.
7.C
【详解】当时，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行；
当两直线平行时，由，即，解得，
经检验时，两直线平行，故.
综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C
8.A
【详解】因为，设，则，
又由双曲线的定义，得，
所以，
又因为，可得，即，
解得，
由，即，可得，
双曲线的离心率为.
故选：A.
9.AB
【详解】因为直线的斜率为，所以该直线的倾斜角大于，故正确；将直线整理成，
由，解得，所以该直线过定点，故B正确；
将直线化为，
所以两直线间的距离，故C错误；
记以为圆心，1为半径的圆为，以为圆心，4为半径的圆为，
因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和，
所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点的距离为1，且与点的距离为4，故错误.
故选：AB.
10.AC
【详解】对于选项A：因为第二次取出球为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以事件与不独立，故D错误；
故选：AC.
11.BCD
【详解】对于，椭圆的方程可化为，则半焦距，
所以离心率，故错误；
对于B，圆的方程可化为，则圆心为，故B正确；
对于C，圆上的点显然在椭圆内，
联立可得，
而，
所以椭圆与圆无公共点，又部分点在椭圆内，则圆在椭圆内部，故正确；
对于，设，
则
则，
所以时，取得最小值，
又是圆上一点，即可得，
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12.BC
【详解】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，
，则，
，故与不垂直，故A错误.
由知，故B正确.
，为定值.故C正确.
又，设平面的法向量，
由，
令则，
又平面的法向量，
，
又.
故D错误.
（几何法）记棱中点分别为，
易知平面，而平面
则，若平面平面，则，
由平面，
所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.
故A错误.
连接，易知，设正方体棱长为2，知，记，
则，
由，
得.故B正确.
，为定值.故C正确.
过点作于点，易知，过点作于点，
知平面，所以，则二面角的平面角为，
现在中求解.
设正方体棱长为，则，
只需求取值范围即可：
记，则，
分析易知在时取到最大值，此时，
在时取到最小值，此时，
又即，
即
所以即，
.
故D错误.
故选：BC
13.6
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
当时，两直线方程分别为和，符号题意.
故答案为：6
14.
【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点，
故该光线从发射到吸收所走过的路程为.
故答案为：.
15.
【详解】如图所示，连接，
因为，
所以
.
因为四面体为棱长为2的正四面体，
可得，且，
所以.
故答案为：.
16.
【详解】设，则线段的中点为.
直线的方程为：，
把点的坐标代入可得：，
与联立可得：，
，
化为，
解得.
随圆的离心率的取值范围是.
故答案为.
17.（1）；（2）.
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为.
（2）依题意可设所求直线的方程为.
令，得；令，得.
依题意可得，
解得.
18.（1）最小正周期为
（2），最小值为
【详解】（1）解：由向量，
可得，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）知
当时，可得，
所以当时，即，函数的最小值为.
19.（1） （2）
【详解】（1）由两两垂直，以正交基底建系如图，
则，
，
有，
设异面直线与的夹角为，
则，
即异面直线与夹角的余弦值为.
（2）设平面的一个法向量为，
由，得
令，则，即，
又，则点到平面的距离.
20.（1）（2）或
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆为的外接圆，
所以解得，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为.
（2）由上可知圆心，半径，
因为过点作直线，被圆截得的弦长为，
所以可得圆心到直线的距离为.
当的斜率不存在时，方程为，满足题意；
当的斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，
所以直线的方程为，即.
综上所述，所求直线的方程为或.
21.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：在正方形中，.
又因为平面底面，平面平面平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）设与交于点，则平面平面，
在平面内作垂直于，
又因为平面平面，
所以平面，而平面，所以，
又，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
由（1）知平面平面，所以，
又底面，
所以底面，故和底面所成的角为，即，
故.
以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.
设.则，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，
由即取，得
由即，取，得.
所以，
设二面角的大小为，则.
所以二面角的正弦值为.
22.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）依题意可得，解得，故的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，
设的坐标分别为，
则，
且.
设直线的倾斜角分别为，
因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，所以，
所以，则，
则，
即，所以，
所以，化简可得，
则直线的方程为，故直线过定点.
数学试卷
全卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）
A.3.2米 B.3.4米 C.4米 D.3.6米
5.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
6.已知直线，圆，若过上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.“”是“直线和直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左支交于两点，，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.直线的倾斜角大于
B.直线过定点
C.直线与直线之间的距离是
D.与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有4条
10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A. B.
C. D.事件与相互独立
11.点是椭圆上一点，是圆上一点，则（ ）
A.椭圆的离心率为
B.圆的圆心坐标为
C.圆上所有的点都在椭圆的内部
D.的最小值为
12.如图，正方体中，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使平面
B.存在点，使
C.四面体的体积为定值
D.二面角的余弦值取值范围是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线与直线垂直，则实数__________.
14.一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是__________.
15.如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为为棱的中点，则__________.
16.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，椭圆上存在点使线段被直线平分，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）
（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率.
18.（本题12分）
已知向量.设函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求函数的最小值及取到最小值时的值.
19.（本题12分）
如图，在正方体中，分别为的中点.
（1）求异面直线与的夹角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
20.（本题12分）
在平面直角坐标系xoy中，点，圆为的外接圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作直线，被圆截得的弦长为，求直线的方程.
21.（本题12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求二面角的正弦值.
22.（本题12分）
已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.
（1）求的方程.
（2）若为上的两个动点，两点的纵坐标的乘积大于，且.证明：直线过定点.
参考答案：
1.A
【详解】设，则，
，解得：，
.
故选：A.
2.C
【详解】因为标准方程为的焦点为，所以由得，则，
焦点为
故选：C
3.B
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：B.
4.D
【详解】由题意可知，，则，
由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，
所以米，米，该籿球的高为米.
故选：D
5.A
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：A
6.D
【详解】由圆的性质，可得当直线上的点到圆心的距离最小时，切线长最小，
因为圆，可得圆心，半径为，
则圆心到直线的距离为，
即，所以切线长的最小值为.
故选：D.
7.C
【详解】当时，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行；
当两直线平行时，由，即，解得，
经检验时，两直线平行，故.
综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C
8.A
【详解】因为，设，则，
又由双曲线的定义，得，
所以，
又因为，可得，即，
解得，
由，即，可得，
双曲线的离心率为.
故选：A.
9.AB
【详解】因为直线的斜率为，所以该直线的倾斜角大于，故正确；将直线整理成，
由，解得，所以该直线过定点，故B正确；
将直线化为，
所以两直线间的距离，故C错误；
记以为圆心，1为半径的圆为，以为圆心，4为半径的圆为，
因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和，
所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点的距离为1，且与点的距离为4，故错误.
故选：AB.
10.AC
【详解】对于选项A：因为第二次取出球为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以事件与不独立，故D错误；
故选：AC.
11.BCD
【详解】对于，椭圆的方程可化为，则半焦距，
所以离心率，故错误；
对于B，圆的方程可化为，则圆心为，故B正确；
对于C，圆上的点显然在椭圆内，
联立可得，
而，
所以椭圆与圆无公共点，又部分点在椭圆内，则圆在椭圆内部，故正确；
对于，设，
则
则，
所以时，取得最小值，
又是圆上一点，即可得，
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12.BC
【详解】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，
，则，
，故与不垂直，故A错误.
由知，故B正确.
，为定值.故C正确.
又，设平面的法向量，
由，
令则，
又平面的法向量，
，
又.
故D错误.
（几何法）记棱中点分别为，
易知平面，而平面
则，若平面平面，则，
由平面，
所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面.
故A错误.
连接，易知，设正方体棱长为2，知，记，
则，
由，
得.故B正确.
，为定值.故C正确.
过点作于点，易知，过点作于点，
知平面，所以，则二面角的平面角为，
现在中求解.
设正方体棱长为，则，
只需求取值范围即可：
记，则，
分析易知在时取到最大值，此时，
在时取到最小值，此时，
又即，
即
所以即，
.
故D错误.
故选：BC
13.6
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
当时，两直线方程分别为和，符号题意.
故答案为：6
14.
【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点，
故该光线从发射到吸收所走过的路程为.
故答案为：.
15.
【详解】如图所示，连接，
因为，
所以
.
因为四面体为棱长为2的正四面体，
可得，且，
所以.
故答案为：.
16.
【详解】设，则线段的中点为.
直线的方程为：，
把点的坐标代入可得：，
与联立可得：，
，
化为，
解得.
随圆的离心率的取值范围是.
故答案为.
17.（1）；（2）.
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为.
（2）依题意可设所求直线的方程为.
令，得；令，得.
依题意可得，
解得.
18.（1）最小正周期为
（2），最小值为
【详解】（1）解：由向量，
可得，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）知
当时，可得，
所以当时，即，函数的最小值为.
19.（1） （2）
【详解】（1）由两两垂直，以正交基底建系如图，
则，
，
有，
设异面直线与的夹角为，
则，
即异面直线与夹角的余弦值为.
（2）设平面的一个法向量为，
由，得
令，则，即，
又，则点到平面的距离.
20.（1）（2）或
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆为的外接圆，
所以解得，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为.
（2）由上可知圆心，半径，
因为过点作直线，被圆截得的弦长为，
所以可得圆心到直线的距离为.
当的斜率不存在时，方程为，满足题意；
当的斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，
所以直线的方程为，即.
综上所述，所求直线的方程为或.
21.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：在正方形中，.
又因为平面底面，平面平面平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）设与交于点，则平面平面，
在平面内作垂直于，
又因为平面平面，
所以平面，而平面，所以，
又，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
由（1）知平面平面，所以，
又底面，
所以底面，故和底面所成的角为，即，
故.
以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.
设.则，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，
由即取，得
由即，取，得.
所以，
设二面角的大小为，则.
所以二面角的正弦值为.
22.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）依题意可得，解得，故的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，
设的坐标分别为，
则，
且.
设直线的倾斜角分别为，
因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，所以，
所以，则，
则，
即，所以，
所以，化简可得，
则直线的方程为，故直线过定点.
同课章节目录