崇阳县2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题p：所有的等边三角形都是等腰三角形，则p的否定为（ ）
A. 所有的等边三角形都不是等腰三角形 B. 有的等边三角形不是等腰三角形
C. 有的等腰三角形不是等边三角形 D. 不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
3. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4. 已知函数，则的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. “不等式在R上恒成立”一个必要不充分条件是（ ）
A B. C. D.
7．已知函数在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8. 若实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的图象过定点
D. 若函数在内单调递增，则实数的取值范围是
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递减，在上单调递增
D. 函数的值域为
12. 若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 最大值是 6 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知函数，则________．
14. 若，且，则实数的值为______.
15. 为上奇函数，当时，，则时，__________．
已知函数，若关于x的不等式
恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6大题，共70分。
17．（本题满分10分）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18. 函数的定义域为A，集合．
（1）求B；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围．
19. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若正实数，满足，求的最小值.
20. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且．每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台．
（1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
21. 已知函数
（1）若关于x的不等式的解集为，求a，的值；
（2）已知，当时，恒成立，
求实数a的取值范围；
已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断在，的单调性，并用定义法证明；
（3）设，若对任意的，总存在，
使得成立，求实数的取值范围.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C D D C D C ABD BCD ABD ACD
1【答案】A
2【答案】B
3【答案】C
4【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性判断A选项；由可以判断B、C选项，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
在定义域内有，
所以函数在定义域上是偶函数，则A选项错误；
又，则B、C选项错误；
故选：D.
5【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，得出，再判断和的大小，即可得到答案.
【详解】根据对数函数的单调性，，
，，则，，明显可见，，
，得.
故选：D
6【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.
【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，
∴，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为推不出，故D错误．
故选：C．
7【答案】D
8【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，然后利用单调性可求解.
【详解】因，
故，
故可构造函数，
根据指数函数的性质可得：在上单调递增，而函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
又由可得，
故，
所以，
故选：C.
9【答案】ABD
10【答案】BCD
11【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，据此分析选项，作出函数图象，综合即可得答案．
【详解】根据题意，函数的图象过原点，即，则有，
又由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则，
故，则，故A正确；
的定义域为，且，为偶函数，故B正确；
函数的图象如下：
由图可得函数在上单调递增，在上单调递减，值域为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
12【答案】ACD
13【答案】11
14【答案】18
【解析】
【分析】由指对数互化可得，，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.
【详解】由题设，，，
所以，则.
故答案为：18.
15【答案】
【解析】
【分析】先设时，则，求出，根据函数的奇偶性，即可求解.
【详解】当时，则，则，
因为函数为奇函数，所以，即．
所以当时，．
故答案为：．
16【答案】
【解析】
【分析】分类讨论不等式的解集，结合函数的图像，求满足条件的实数a的取值范围.
【详解】作出函数的图像，如图所示，
有，，
由，得，
当时，，不等式无解；
当时，由得，此时不可能只有一个整数解．
当时，由得，
若不等式恰有一个整数解，则整数解为，
又，，再结合图像知，
综上所述，实数a的取值范围为．
故答案为：
17【答案】解析：（1）原式；
（2）原式
18.【答案】
；
．
【解析】
【分析】（1）根据解析式有意义求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根据集合运算可得；
（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.
【小问1详解】
由得：，即，
∴，
解得：，即，
∴．
【小问2详解】
由题意知，
由（1）知：，显然
所以有，解得：；
所以实数a的取值范围为．
19【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【小问1详解】
由为幂函数得：，
且在上单调递增，
所以，
又，所以或，
当时，为奇函数，不满足题意，
当时，为偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
由函数为偶函数，
所以
且在上单调递增，
所以，
即，
所以的取值范围为：，
【小问3详解】
因为且，
所以，
所以
，
当且仅当
且，即时取等号，
所以的最小值为.
20【答案】【分析】（1）分和两种情况，结合题意运算求解；
（2）分和两种情况，结合二次函数以及基本不等式运算求解.
【小问1详解】
当时，；
当时，；
所以．
【小问2详解】
当时，，
所以当时，；
当时，，
当且仅当时取等号，即时取等号；
因为，所以，
故当年产量为30百台时，企业所获利润最大，最大利润为400万元．
21【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式求解；（2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解；（3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算.
【小问1详解】
∵不等式的解集为，则方程的根为，且，
∴，解得，
故.
【小问2详解】
令，
若，即，
则，
∵的开口向上，对称轴为，则在单调递减，在单调递增，且，
∴，即，
故实数a的取值范围为.
22【答案】（1）偶函数，证明见解析；
（2）在上单调递增，上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明即可；
（3）将对任意的，总存在，使得成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【小问1详解】
为偶函数，证明如下，
定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数.
【小问2详解】
，在上单调递增，上单调递减，证明如下，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，上单调递减.
【小问3详解】
因为对任意的，，所以，
又存在，，所以，
因为在上单调递增，所以，
当时，函数单调递增，所以，，解得；
当时，，成立；
当时，函数单调递减，所以，，解得；
综上可得，实数的取值范围为.
