人教版数学九年级下册 第二十七章 相似复习 学案（含答案）

相似复习课
班级： 姓名： 组号：
一、知识梳理
1．比例线段
若线段a，b，c，d满足a：c=b：d，则称a，b，c，d为成比例线段。
练习：已知线段a，b，c，d成比例，如果a=12，b=8，d=15，那么c= 。
平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图1：l1∥l2∥l3。则
练习：如图2，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．相似三角形的判定方法：
练习：如图3，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是 （注：只需写出一个正确答案即可）。
4．相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角
②相似三角形的对应边
③似三角形周长的比等于
④相似三角形面积的比等于
练习：如图4，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为 。
若△ADE的周长为13cm则△ABC的周长为 。
5．位似变换：
（1）两个图形是 ；
（2）每组 相交于一点；
（3） 互相平行。具有上述特点的图形是位似图形，对应点连线的交点是位似中心。
练习：如图5，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)。以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A． B． C． D．
二、综合运用
1．如图6，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上。
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长。
2．如图7，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F。
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由。
三、课堂检测
A组
1．下列各组数中，成比例的是（ ）
A．－7，－5，14，5 B．－6，－8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12
2．如图8，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米。
B组
3．如图9所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似。
四、课堂小结
1．相似三角形的性质和判定有何区别？
2．你的其他收获。
五、拓展延伸
1．如图10，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 。
2．在△ABC中，∠ACB=45 。点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC．如图（1），且点D在线段BC上运动。试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论。
（2）如果AB≠AC，如图（2），且点D在线段BC上运动。（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长。（用含的式子表示）
【答案】
知识梳理
1．练习：
2． ；
练习：A
3．
①平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似。
③两角相等的两三角形相似。
④三边对应比值相等的两三角形相似。
⑤两个直角三角形，斜边的比等于直角边的比，则这两直角三角形相似。
练习：略
4．
①相等； ②的比相等；
③相似比； ④相似比的平方。
练习：1：4；26cm
5．（1）相似图形；（2）对应点直线（3）对应边
练习：D
综合运用
1．解：（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵==3，
∴△ABD∽△CAE；（2）∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，
∴BC=2A．
2．解：（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的
∴AC=AC′AB=AB′∠CAC′=∠BAB′
∴AC/AB=AC′/AB′
∴△ACC′∽△ABB′；
（2）当β=2α时，AC=BF。
理由：∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠AC′C=（180°－∠CAC′）÷2=90°－1/2β=90°－α，
∵∠BCE=∠ACB－∠ACC′=90°－（90°－α）=α，
∴∠BCE=∠ABC，
∴BE=CE。
∵△ACC′∽△ABB′，
∵∠ACE=∠ABF。
在△AEC和△FEB中，
∵∠ACE＝∠ABF，BE＝CE，∠AEC＝∠FEB
∴△AEC≌△FEB（ASA），
∴AC=BF。
课堂检测
1．B
2．3
3．解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，∴=，
∴AP2－7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP。
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP。
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=。
检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC。
因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处。
课堂小结
略
拓展延伸
1．略
2．
解：（1）CF与BD位置关系是垂直， 证明如下：如图（1） ∵AB=AC，∠ACB=45°， ∴∠ABC=45°， 由正方形ADEF得AD=AF， ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠FAC， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠ACF=∠ABD ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD；
（2）CF⊥BD，（1）中的结论成立， 理由：如图（2）， 过点A作AC⊥AC交BC于点G ∴AC=AG，仿（1）可证： △GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGD=45°， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90° 即CF⊥BO；
（3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ =4－x， 易证△AQD∽△DCP， ∴ ∴ ②如图（4），点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x， 过A作AG⊥AC交CB延长线于点G， 则△AGD≌△ACF， ∴∠AGD=∠ACF， ∵∠AGD+∠ACG=90°， ∴∠ACF+∠ACG=90°， ∴CF⊥ BD， ∴△AQD∽△DCP，
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