2023-2024学年苏科版九年级数学第十四周周末提优训练（6.1-6.3）（含答案）

2023-2024学年苏科版九年级数学第十四周周末提优训练（6.1-6.3）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(共30分)
1．已知A、B两地的实际距离是300千米，量得两地的图上距离是5 cm．则该图所用的比例尺是 ( )
A． 1：60 B．60：1 C．6 000 000：1 D．1：6 000 000
2．已知＝，则在①＝；②＝；③＝；④＝，这四个式子中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则k的值是( )
A．－1 　　　　 B．2 　　　　 C．－1或2 　　 D．无法确定
4. 山上一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
如果AB的长度为8 cm，那么AP的长度是(　　)
A．(4－2 )cm B．(4 －4)cm C．(4 ＋4)cm D．(4－4 )cm
第4题图 第5题图 第6题图
5．宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(　　)
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6.如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是( )
A. 矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B. 矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C. 矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 D. 矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（ ）
A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，矩形中，是上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边处，连接，在上取点，以为圆心，长为半径作⊙O与相切于点．若，，则下列结论：①是的中点；②⊙O的半径是2；③；④S阴影．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图：，，那么CE的长为（ A ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在中，，点是上一点，，在上有一点，恰好满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
二．填空题(30分)
11．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____．
12．已知四条线段a，b，c，d能组成比例线段，且a＝14 cm，b＝16 cm，c＝13 cm，则d＝_______________________.
13．已知△ABC中的三边a＝2，b＝4，c＝3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha∶hb∶hc＝________．
14.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1______S2(填“＞”“＝”或“＜”)
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若AB＝，则MN＝____．
16．已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图，已知△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，AB＝1，DE=______．
17. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，那么AD=________．
18.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，
它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______.
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为 　 　．
20．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝　 　．
三．解答题(共60分)
21．（6分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，
(1)试求a,b,c的值;
(2)判断△ABC的形状.
22．（6分）如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.
(1)求k的值；
(2)已知三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
23．(6分) 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长．
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
24.（8分）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形则称这个图形是自相似图形． 探究：
如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…依次规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．
①若的面积为10000，当为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当时，请写出一个反映，，之间关系的等式．（不必证明）
25．（10分）探究下列问题：
(1)图①中的两个矩形相似吗？
(2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？
(3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)
26.（12分）材料一 对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值。
27.（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若＝3：5，求点P的坐标．
教师样卷
一．选择题(共30分)
1．已知A、B两地的实际距离是300千米，量得两地的图上距离是5 cm．则该图所用的比例尺是 ( D )
A． 1：60 B．60：1 C．6 000 000：1 D．1：6 000 000
2．已知＝，则在①＝；②＝；③＝；④＝，这四个式子中正确的个数是(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则k的值是 ( C )
A．－1 　　　　 B．2 　　　　 C．－1或2 　　 D．无法确定
4. 山上一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
如果AB的长度为8 cm，那么AP的长度是(　B　)
A．(4－2 )cm B．(4 －4)cm C．(4 ＋4)cm D．(4－4 )cm
第4题图 第5题图 第6题图
5．宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(　D　)
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
解:设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF中，DF＝，∴FG＝，
∴CG＝－1，∴＝，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D.
6.如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是( B )
A. 矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B. 矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C. 矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 D. 矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG， ∴， AF=DE， ∴AF·BC=AB·AH,
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG ， ∴S阴影部分=
= =
= ∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积. 故答案为：B.
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（ B ）
A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
解：∵DE∥BC，∴=3：4，∴CE：CA=4：7，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：CA=4：7，故选：B．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，矩形中，是上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边处，连接，在上取点，以为圆心，长为半径作⊙O与相切于点．若，，则下列结论：①是的中点；②⊙O的半径是2；③；④S阴影．其中正确的结论有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图：，，那么CE的长为（ A ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵，∴，，
即，∴CE＝3，故选：A．
10．如图，在中，，点是上一点，，在上有一点，恰好满足，则的值是（ C ）
A． B． C． D．2
解：过D作DN⊥AC于N，设AE=x，则CE=3x，∵DE=DC，∴EN=NC=1.5x，∵∠AND=，∴DN∥BC，∴，故选：C．
二．填空题(30分)
11．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝__4__．
解:∵x∶y∶z＝3∶5∶6，∴可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k.又∵2x－y＋3z＝6k－5k＋18k＝38，即k＝2，∴3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4.
12．已知四条线段a，b，c，d能组成比例线段，且a＝14 cm，b＝16 cm，c＝13 cm，则d＝___ cm或 cm或 cm____________________.
解:此题答案不唯一，由题意，可列出下面的等式：ab＝cd或ac＝bd或ad＝bc，所以可求得d的值为或或.
13．已知△ABC中的三边a＝2，b＝4，c＝3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha∶hb∶hc＝__6∶3∶4_______．
解:∵三边为a＝2，b＝4，c＝3，面积为定值，∴可设面积为6k，则ha＝6k，hb＝3k，hc＝4k，∴ha∶hb∶hc＝6∶3∶4.
14.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1__＝____S2(填“＞”“＝”或“＜”)
解： ∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB·AB.又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若AB＝，则MN＝__－2__．
解： 在△DAB中，∠ADB＝36°，AD＝BD，即△DAB是“黄金三角形”，∴＝，∴BD＝EC＝1，又∵EN＝MC＝AB＝，∴MN＝EN－(EC－MC)＝－（1-）＝－2.
16．已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图，已知△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，AB＝1，DE=______．
解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，∴＝＝，DE＝DC.又∵AB＝1，∴BC＝ ∴CD＝()2＝.∴DE＝CD＝.
17. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，那么AD=________．
解：由题意知，四边形ABEF是正方形．设AD＝x.∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1.∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，解得x1＝，x2＝ (舍去)，经检验x＝是原方程的解且符合题意，∴AD＝.
18.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，
它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______.
解:∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：，故答案为：.
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为 　 　．
解：过点B作BH∥EF交AC于H，则＝＝，∵＝，∴＝，∵BH∥EF，∴＝＝，故答案为：．
20．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝　 6 　．
解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴＝＝，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FG＝6．故答案为6
三．解答题(共60分)
21．（6分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，
(1)试求a,b,c的值;
(2)判断△ABC的形状.
解：（1）由等比性质，得＝＝＝＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4.
（2）∵a＝5，b＝3，c＝4∴b2＋c2＝32＋42＝a2＝25.∴△ABC是直角三角形．
22．（6分）如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.
(1)求k的值；
(2)已知三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
解：(1)∵AC∶CB＝CB∶AB＝k，∴设AB＝1，则CB＝k，AC＝k2.∵AC＋CB＝AB，∴k2＋k＝1.
∴k＝.又∵k＞0，∴k＝.
(2)不能．理由：∵a∶b＝b∶c＝k，∴b＝kc＝c，a＝kb＝()2c＝c.
∴a＋b＝c.∴线段a，b，c不能构成三角形．
23．(6分) 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长．
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
解：(1)∵正方形ABCD的边长是2，点P是AB的中点，∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°.∴PD＝＝.∵PF＝PD，∴AF＝－1.在正方形AMEF中，AM＝AF＝－1，∴DM＝AD－AM＝3－.
(2)点M是线段AD的黄金分割点．理由：由(1)得AD·DM＝2(3－)＝6－2， AM2＝(－1)2＝6－2，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．
24.（8分）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形则称这个图形是自相似图形． 探究：
如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…依次规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．
①若的面积为10000，当为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当时，请写出一个反映，，之间关系的等式．（不必证明）
解：如图：割线就是所求的线段．理由：∵，，∴．
①经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴．当时，，当时，，当时，，∴当时，． ②．
25．（10分）探究下列问题：
(1)图①中的两个矩形相似吗？
(2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？
(3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)
解： (1)如果两个矩形相似，只能是＝，由此得到x＝0，不合题意，故图①中的两个矩形不相似．
(2)能相似．若相似，则＝或＝，即＝(0(3)能相似．若相似，则＝，所以x＝.
26.（12分）材料一 对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值。
解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；故答案为：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），b2+b﹣1＝0，b1＝＜0（舍），b2＝＞0，∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），a2﹣3a+1＝0，a1＝＞1（舍），a2＝＜1，∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，∴
分两种情况：i）当k≥0时，t＝2k，由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），m2﹣km﹣k2＝0，m＝k；由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），n2﹣5kn+5k2＝0，n＝k，
∵k＜n＜m＜t，∴m＝k，n＝k∴＝＝＝；
ii）当k＜0时，t＝﹣2k，由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），m2﹣5km﹣5k2＝0，m＝k；由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），n2+7kn+k2＝0，n＝k＞0，∵k＜n＜m＜t，∴m＞0，∴m＝k，n＝k，∴ ＝＝＝；综上，的值是或．
27.（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若＝3：5，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点∴将、、代入中得：解得：∴抛物线的解析式为：
（2）如图1，延长DM交x轴于点H∵、∴又∵，
∴∵轴∴，
∴∵∴∴
∴是等腰直角三角形∴设直线AC的解析式为
将、两点坐标代入得：解得：∴直线AC的解析式为：设，则点
∴
∴当时，取的最大值2，此时∵ 为等腰直角三角形∴∴周长的最大值为：，此时
（3）如图2：过点Q作轴于点E∵∴∵轴∴又∵∴∴又∵∴ ,即∵点Q在直线AC上∴ ∴ 设直线OQ的解析式为：将点Q代入得：∴直线OQ的解析式为：又∵点P是直线OQ与抛物线的交点∴ ∴即或
解得：又∵P为抛物线第一象限上的点∴点P的横坐标为：∴ ∴