九年级数学下册试题 5.4二次函数与一元二次方程同步练习-苏科版（含答案）

5.4二次函数与一元二次方程
一．选择题
1． 如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
2． 如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
3． 如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则ax2+bx+c+4＝0的解的情况为（　　）
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
4． 若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5． 已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
6． 在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
7． 已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
8． 若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
9． 关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
10．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
11．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（　　）
A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0
C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜0
12．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
13．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是　 　．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　 　．
15．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　 　．
16．对于任意实数m，抛物线y＝x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是　 　．
17．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是　 　．
18．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　 　．
19．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　 　．
20．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　 　．
21．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　 　．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有　 　个．
23．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是　 　．
三．解答题
24．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）若△PAB的面积为，求P点的坐标．
25．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（I）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
26．已知抛物线y＝x2﹣（2m+4）x+m2﹣10的顶点A到y轴的距离为3，与x轴交于C、D两点．
（1）求顶点A的坐标；
（2）若点B在该抛物线上，且S△BCD＝54，求点B的坐标．
27．已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．
28．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．
（1）求b和c（用m的代数式表示）；
（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；
（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．
29．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．
（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．
（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值；
②若y1＞y2，试求x的取值范围．
30．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象经过点B和线段AC中点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出ax2+bx﹣3＞kx+t的x的取值范围．
答案
一．选择题
C．C．C．B．C．C．B．C．D．A．B．B．
二．填空题
13．（1，0），（﹣3，0）．
14．（﹣3，0）．
15．k且k≠1．
16．n．
17．n＝1或﹣3≤n＜0．
18．（2，0），（1，0）和（0，2）．
19．2．
20．﹣4≤t＜5．
21．4．
22．3．
23．3＜AD≤9．
三．解答题
24．（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）点A、B的坐标知，AB＝4，
∵△PAB的面积为AB×|yP|，即4×|yP|，解得yP，
∴﹣x2+2x+3，解得x或或或，
故点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
25．（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）函数的对称轴为直线x2，
当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，
故顶点坐标为（2，﹣1）．
26．（1）y＝x2﹣（2m+4）x+m2﹣10＝[x﹣（m+2）]2+m2﹣10﹣（m+2）2＝[x﹣（m+2）]2﹣4m﹣14，
∴抛物线顶点A的坐标为（m+2，﹣4m﹣14），
由于顶点A到y轴的距离为3，
∴|m+2|＝3，
∴m＝1或m＝﹣5，
∵抛物线与x轴交于C、D两点，
∴m＝﹣5舍去．
∴m＝1，
∴抛物线顶点A的坐标为（3，﹣18）．
（2）∵抛物线C1的解析式为y＝（x﹣3）2﹣18，
∴抛物线C1与x轴交C、D两点的坐标为（3+3，0），（3﹣3，0），
∴CD＝6，
∵B点在抛物线C1上，S△BCD＝54，设B（xB，yB），则yB＝±18，
把yB＝±18代入y＝（x﹣3）2﹣18并解得xB＝9或﹣3或3，
∴B点坐标为（9，18），（﹣3，18），（3，﹣18）．
27．（1）证明：①当m＝0时，该函数是一次函数y＝2x﹣2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）；
②当m≠0时，∵y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，
∴该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1．
∴无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）；
（2）解：若m＝0，则y＝2x﹣2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意；
若m≠0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1，0），与y轴交点是（0，m﹣2）．
即当m﹣2是整数时，1也是整数，
所以m＝±1，±2．
综上所述，m＝﹣2，﹣1，0，1，2．
28．（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x1＝m﹣2，x2＝2m+1，
∴b＝x1+x2＝3m﹣1，
c＝x1x2＝（m﹣2）（2m+1）＝2m2﹣3m﹣2；
（2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为（，），
①当，即m＜﹣1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y的值最大为：﹣4﹣2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2﹣3m＝1，
解得，m＝﹣1（舍去），或m（舍去）；
②当﹣21，即﹣1≤m≤1时，y有最大值为y1，
解得，m＝﹣1，或m＝﹣5（舍去）；
③当1，即m＞1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的值最大为：﹣1+（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2+6m＝1，
解得，m，或m（舍去）．
综上，m＝﹣1或．
（3）设线段AB的解析式为y＝kx+b（﹣1≤x≤2），
把A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m）代入得，解得，
∴线段AB为：y＝3mx﹣2m2（﹣1≤x≤2），
由3mx﹣2m2＝﹣x2+（3m﹣1）x﹣（2m2﹣3m﹣2），整理得x2+x﹣3m﹣2＝0（﹣1≤x≤2），
当△＝1+4（3m+2）＞0时，m，
∵二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，
∴（﹣1）2+（﹣1）﹣3m﹣2≥0，22+2﹣3m﹣2≥0，
∴m，
∴综上所述，m的取值范围为m．
29．（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，
∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；
（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则，，
∴，
∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
∴|x1﹣x2|＝3，
∴，
解得，k＝1或k；
②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2
∵y1＞y2，
∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，
解得：x＜﹣2或x＞2；
当k时，
∵y1＞y2，
∴（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，
解得：﹣10＜x＜﹣2．
30．（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得，c＝﹣3，故OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，故OA＝1，OB＝3，
故点A、B的坐标为：（﹣1，0）、（3，0），
则抛物线表达式可设为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∵c＝﹣3，
∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）设AC的中点为D，由中点公式得点D的坐标为（，），而点B（3，0），
∵直线BD的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线BD的表达式为：yx②，
联立①②并解得：x＝3或，
即两个函数交点的横坐标为3或，
故x或x＞3时，ax2+bx﹣3＞kx+t，
即ax2+bx﹣3＞kx+b的x的取值范围为x或x＞3．