2023年新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学模拟试卷（四）(含答案)

新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试
数学模拟试卷（四）
第Ⅰ卷 (选择题，共48分)
一、选择题（本大题16小题，每小题3分，共48分。在下列各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填入下表。）
（1）已知集合，，则
A． B． C． D．
（2）已知角的终边过点P(-4,3), 则的值是
A． B． C． D．
（3）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A. B. C. D.
（4） 某程序框图如图，该程序运行后输出的值是
A．－3 B．－ C. D．2
在1 000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下
观察，则发现草履虫的概率
A．0 B．0.002 C．0.004 D．1
（6）已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为
A．75°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°
已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O
的位置关系是
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
（8）若直线过点(-1,-1)，(2,2)，则此直线的倾斜角是
A．30° B．45° C．60° D．90°
（9）函数图象的一条对称轴是
A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．直线x＝0
（10）已知向量，，则向量与
A. 互相平行 B. 夹角为 C. 夹角为 D. 互相垂直
某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采
用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是
A．40 B．30 C．20 D．10
已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，
则z＝x－y的取值范围是
A．[－2，－1] B．[－2，1 C．[－1，2] D．[1，2]
（13） 已知, 则的值为
A. B. 7 C. D.
（14）等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+an2等于
A B C D
设a、b∈R＋，若a＋b＝1，则＋的最小值等于
A．1　 B．3 C．2　 D．4
设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当>0时，，则( )
A．1 B．-1 C． D．
第Ⅱ卷　（非选择题，共52分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案直接填在题中的横线上。）
17. 用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．
有4所自主招生的大学，甲、乙两位同学各自选择其中一所学校参加考试，
若每位同学选择每所大学的可能性相同，则这两位同学选择同一所大学的概率为
________。
19. 两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m
的值为_________。
20. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则A+ω＝________.
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤。）
21．用单调性定义证明：函数在上是增函数。
22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
23．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1) 求a1及an；
(2) 若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
24. 已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤.
求证：[f(β)]2－2＝0.
解：(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)
＝sin(x－)＋sin(x－)
＝2sin(x－)，
∴f(x)的最小正周期为T＝2π，最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－.
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
25. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
(1) 求证：BC∥l；
(2) MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4
(m∈R)．
(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2) 求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
高中学业水平考试数学模拟试卷（四）
参考答案
一、DDCDB BBBDA DCCDDB
二、17. [2，2.5] 18 . 19. m＝±6 20.
三、21. 证明：任取则
……3分
又，即，
∴ 函数在上是增函数。……6分
22. 解：（I）
……3分
（II）工厂获得利润
当时，（元）……6分
23．解　(1) 由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，
∴an＝2kn－k＋1.……3分
(2) ∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a＝am·a4m，
即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
整理得mk(k－1)＝0.
∵对任意的m∈N*成立， ∴k＝0或k＝1.……6分
24. 解　∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．……3分
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴，得m＝32，n＝－22.
∴＋＋＝32－22.……6分
25. (1) 证明　因为BC∥AD，AD 平面PAD，
BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l．……3分
(2) 解　MN∥平面PAD．
证明如下：
如图所示，取DC的中点Q．连接MQ、NQ．
因为N为PC中点，所以NQ∥PD．
因为PD 平面PAD，NQ 平面PAD，所以NQ∥平面PAD．
同理MQ∥平面PAD．
又NQ 平面MNQ，MQ 平面MNQ，
NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
所以MN∥平面PAD．……6分
26．(1) 证明　把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组，解得，
所以直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5．
定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5，即点(3,1)在圆内．
所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总
相交．……3分
(2) 解　设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1), 且垂直于过点M
的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|＝2＝2＝2＝4，
此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．
……6分
图1
正视图
俯视图
侧视图
5
5
6
3
5
5
6
3