(共29张PPT)
考点突破练11 直线与圆
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必备知识夯实练
1.(2023浙江温州三模)已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
B
解析 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,则1·a+1·b=0,所以a+b=0.
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2.(2023河北张家口二模)已知点P(x0,y0)为圆C:x2+y2=2上的动点,则直线l:x0x-y0y=2与圆C的位置关系为( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.相切或相交
C
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3.(2023广东梅州二模)若直线l:mx+ny+m=0将圆C:(x-2)2+y2=4分成弧长之比为2∶1的两部分,则直线的斜率为( )
D
解析 如图,令直线l与圆C交于点A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆C的圆心C(2,0),半径r=2,∠ABC=30°,因此点C到直线l的距离d=rsin 30°=1,
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4.(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
C
解析 (方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,
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5.(2023山东潍坊模拟)若点M是圆C:x2+y2-4x=0上的任一点,直线l:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A,B两点,则∠MAB的最小值为( )
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7.(多选题)(2023广东惠州模拟)已知直线l:kx-y-k=0与圆M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(1,0)
B.圆M的圆心坐标为(2,1)
C.存在实数k,使得直线l与圆M相切
D.若k=1,直线l被圆M截得的弦长为2
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8.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
B
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9.(2023福建莆田模拟)写出一个被直线x-y=0平分且与直线x+y=0相切的圆的方程: ____________________.
(x-1)2+(y-1)2=2
(答案不唯一)
解析 由题意可知,圆心过直线x-y=0,不妨设圆心坐标为(1,1),半径为r.
又因为圆心(1,1)到直线x+y=0的距离 ,
所以(x-1)2+(y-1)2=2符合题意.
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10.(2023江苏南京师大附中一模)过点P(3,-2)且与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直线方程为____________________.
x=3或3x+4y-1=0
解析 将圆C方程化为圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,
得圆心C(1,2),半径为r=2.
当过点P(3,-2)的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,是圆C的切线,
满足题意;当过点P(3,-2)的直线斜率存在时,可设直线方程为y+2=k(x-3),
即kx-y-3k-2=0,
即此直线方程为3x+4y-1=0.
综上,满足题意的直线方程为x=3或3x+4y-1=0.
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关键能力提升练
D
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12.(2023四川德阳模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点P(-1,-2)处出发,河岸线对应的直线方程为x+y=2,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”问题中的最短总路程为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
C
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13.(多选题)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出经x轴反射,则下列结论正确的是( )
A.圆C关于x轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0
B.若反射光线平分圆C的周长,则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0
C.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点B,则|PB|+|BA|=2
D.若反射光线与圆C交于M,N两点,则△CNM面积的最大值为
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解析 对于A,由圆C方程可得x2+(y-2)2=1,故圆心C(0,2),半径r=1,
∴圆C关于x轴对称的圆的圆心为C'(0,-2),半径为1,
∴所求圆的方程为x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,故A正确;
对于B,∵反射光线平分圆C的周长,
∴反射光线经过圆心C(0,2),
∴入射光线所在直线经过点C'(0,-2),
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14.(多选题)(2023浙江杭州、宁波4月联考)已知圆O:x2+y2=1,P是直线l:x-y+2=0上一点,过点P作圆O的两条切线,切点分别为M,N,则( )
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15.(2023河南商丘模拟)已知圆C1:x2+(y-2)2=5,圆C2过点(2,-1)且与圆C1相切于点(2,1),则圆C2的方程为____________________.
(x-4)2+y2=5
解析 如图,过点(0,2)和(2,1)的直线方程为x+2y-4=0,以点(2,-1)和点(2,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=0.
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16.(2023山东淄博一模)在平面直角坐标系中,已知点P(3,1),直线y=kx+b与圆x2+y2=10交于M,N两点,若△PMN为正三角形,则实数b=__________.
-5
解析 由题意可知点P(3,1)在圆上,如图.设MN的中点为H,连接PH,因为△PMN为正三角形,所以PH过点O,且PH⊥MN,
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核心素养创新练
17.(2023河北邯郸一模)已知点A(0,0),B(6,0),符合点A,B到直线l的距离分别为1,3的直线方程为______________________________.(写出一条即可)
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解析 由题意可知直线l是圆x2+y2=1与圆(x-6)2+y2=9的公切线,
因为两圆外离,所以满足条件的直线l有四条,如图.
当直线l位于直线l1,l2位置时,
由几何性质(相似三角形的性质)
易知直线l过点(-3,0).
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18.(2023广东深圳一模)设a>0,A(2a,0),B(0,2),O为坐标原点,则以OA为弦,且与AB相切于点A的圆的标准方程为____________________;若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P,则点P横坐标x的最大值为________.
(x-a)2+(y+a2)2=a2+a4
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18(共31张PPT)
考点突破练12 圆锥曲线的方程与性质
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必备知识夯实练
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2.(2023河北石家庄一模)被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST),是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它可以通过4 450块三角形面板及2 225个触控器完成向抛物面的转化,此时轴截面可以看作拋物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型,观测时呈口径为4米,高为1米的抛物面,则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
图1
图2
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解析 如图,以抛物线的顶点为原点、对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,则设抛物线的方程为x2=2py,p>0,
由题可得抛物线上一点A(2,1),代入抛物线方程可得22=2p×1,所以p=2,
即抛物线方程为x2=4y,则抛物线的焦点坐标为(0,1),故顶点到焦点的距离为1.
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5.(2021全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )
A
解析 不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=7,
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6.(多选题)(2023山东枣庄二模)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则( )
A.C1的长轴长为
B.C2的渐近线方程为x±2y=0
C.C1与C2的离心率互为倒数
D.C1与C2的焦点相同
BC
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7.(2023河南济洛平许第四次质检)已知P为抛物线Γ:y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,M(4,2),|PF|+|PM|的最小值为5.若直线l:y=x与抛物线Γ交于除原点O外另一点N,则△OMN外接圆的面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.10π
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8.(2023全国乙,理13)已知点 在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为__________.
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关键能力提升练
10.(2023湖南师大附中模拟)两千多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线,他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥,得到的曲线称为“超曲线”,即双曲线的一支.已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形,平面α∥PQ,当平面α过母线的中点位置时截圆锥侧面所得曲线记为C,则曲线C所在双曲线的离心率为( )
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解析 如图,设平面α∥PQ,平面α与圆锥侧面的交线为曲线C,过点P且垂直于EF的母线与曲线C交于点M,则PM=MA.
过点A且垂直于PQ的截面交曲线C于点E,F.
设点P在平面α内的射影为点O,以O为原点,PQ在平面α内的射影所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,易知M为双曲线的顶点.
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12.(多选题)(2023广东汕头二模)已知曲线C:x2+y2cos α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是( )
A.曲线C可能是圆,也可能是两条直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,则α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为
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解析 设m=cos α,-1≤m≤1,故曲线C的方程可表示为x2+my2=1(-1≤m≤1).
对于A,当m=0时,曲线C的方程为x2=1,可得x=±1,此时曲线C为两条直线,当m=1时,曲线C的方程为x2+y2=1,此时曲线C是一个圆,故A正确;
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核心素养创新练
15.(多选题)(2023广东佛山二模)如图,拋物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,S,T,过点F的直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,则( )
ACD
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解析 设直线AB与直线l1,l2分别交于点G,H,由题可知|GA|=|AF|=2,|FB|=|BH|=3,
所以|GH|=|MN|=10,|AB|=5,故A正确.
如图,以A为原点建立平面直角坐标系,
则F(2,0),l1:x=-2,所以抛物线Γ1的方程为y2=8x.
连接PF,
由抛物线的定义可知|PF|=|MP|,|PF|=|NP|,
又|MN|=10,
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16.(2023湖北5月模拟预测)在圆锥内放入两个大小不等的外离的球O1与球O2,半径分别为r和R,且R=4r,使得它们与圆锥侧面和截面相切,两个球分别与截面相切于点F,E,在截口上任取一点A,又过点A作圆锥的母线,分别与两个球相切于点B,C,则可知线段AE,AF的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形,则截口曲线的离心率是__________.
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解析 如图,取两球与圆锥同一母线上的切点G,H,连接O1G,O2H,O1F,O2E,连接O2S交EF于点K.
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16(共17张PPT)
考点突破练13
圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
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(1)解 由题意知,|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=6a,
又因为|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=12a2=24,
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4.(2023山东淄博二模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图).
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
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y
B
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T
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Q
g
x
一一一一
F
E
正
不y
二
A
!
D
FOE
X
y米
M
B
0
X(共18张PPT)
考点突破练14
圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
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因此点M的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,由双曲线的定义可知,存在两个定点E1(-4,0),E2(4,0),使得|ME1|-|ME2|=4.
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(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
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4.(2023湖南张家界二模)已知曲线C: (x>0),倾斜角为α的直线l过点F2(3,0),且与曲线C相交于A,B两点.
(1)当α=90°时,求三角形ABO的面积.
(2)在x轴上是否存在定点M,使直线l在与曲线C有两个交点A,B的情况下,总有∠OMA=∠OMB 如果存在,求出定点M;如果不存在,请说明理由.
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M
P
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B
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N
Q
3AA2-10
1
234x
-1
-2
-3
y件
E
F
O
x
H
Q
y
A
0
F2(3,0)
X
B
y
A
0
M
F2(3,0)
X
B(共26张PPT)
考点突破练15 函数的图象与性质
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必备知识夯实练
A
解析 因为-4<0,
所以f(-4)=f(-4+5)=f(1)=1-3-4=-6,
所以f(f(-4))=f(-6)=f(-6+7)=f(1)=-6.
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2.(2023山东潍坊一模)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有( )
A.f(|x|)=x3 B.f(sin x)=x2
C.f(x2+2x)=|x| D.f(|x|)=x2+1
A
解析 对于A,当x=1时,f(|1|)=f(1)=1;当x=-1时,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函数定义,A错误;
对于B,令x=0,则f(sin x)=f(0)=0,令x=π,
则f(sin π)=f(0)=π2,不符合函数定义,B错误;
对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-2,则f(0)=f((-2)2+2×(-2))=2,不符合函数定义,C错误;
对于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,则|x|≥0,则存在x≥0时,f(x)=x2+1,符合函数定义,即存在函数f(x)=x2+1(x≥0),满足对任意x∈R都有f(|x|)=x2+1,D正确.
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B
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C
解析 当m≥1时,f(m)=-2,
即3m+1-1=-2,则3m+1=-1,无解;
当m<1时,f(m)=-2,即-log3(m+5)-2=-2,
解得m=-4,所以f(m+6)=f(2)=32+1-1=26.
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[2,+∞)
解析 当x≤2时,f(x)=-x+4≥2;当x>2时,f(x)=1+log2x>2.故函数f(x)的值域为[2,+∞).
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9.(2023山东枣庄模拟)已知函数y=f(x)是定义在[-4,4]上的减函数,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是__________.
(1,2]
解析 函数y=f(x)是定义在[-4,4]上的减函数,且f(a+1)>f(2a),
则-4≤a+1<2a≤4,解得1
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关键能力提升练
A.a>0,b=0,c<0 B.a<0,b=0,c<0
C.a<0,b<0,c=0 D.a>0,b=0,c>0
A
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解析 由图可得函数图象关于y轴对称,即函数f(x)为偶函数,
因为定义域不连续,所以ax2-bx+c=0有两个实数根,则Δ=b2-4ac=-4ac>0,
即a,c异号,故a>0,故B错误,A正确.
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11.(2021新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则( )
A. B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0
B
解析 因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x).
因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),
故函数f(x)是以4为周期的周期函数.
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0.故选B.
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12.(2023福建泉州模拟)如图是下列四个函数中某个函数的大致图象,则该函数是( )
D
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BC
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解析 由y=f(x)=2sin πx,则f(2-x)=2sin π(2-x)=-2sin πx=-f(x),
即y=2sin πx的图象关于点(1,0)对称.
所以y=g(x),y=f(x),x∈[-2,4]的图象如图所示,
所以在x=1的两侧各有4个交点,且4对交点分别关于点(1,0)对称,故任意两个对称的交点横坐标之和为2,则所有交点的横坐标之和为8.
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核心素养创新练
B
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令y'>0,得x<1-e;令y'<0,得1-e所以函数y=f(1-x)在区间(-∞,1-e)上单调递增,在区间(1-e,1)上单调递减,
由此得A和C和D不正确;
当1-x≤0,即x≥1时,y=f(1-x)=(1-x)e1-x,
y'=(1-x)'e1-x+(1-x)(e1-x)'=-e1-x-(1-x)e1-x=-e1-x(2-x).令y'>0,得x>2;令y'<0,得1≤x<2,所以函数y=f(1-x)在区间(2,+∞)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减,故B正确.
故选B.
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16.(多选题)(2023山东烟台二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0, f(2+2x)是偶函数,f(1)=1,则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(2 023)=-1
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
ABD
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解析 对于选项A,∵f(2+2x)是偶函数,
∴f(2-2x)=f(2+2x),
∴函数f(x)关于直线x=2对称,∴f(-x)=f(4+x).
∵f(x)+f(4+x)=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,故A正确.
对于选项B,∵f(4+x)=-f(x),
∴f(8+x)=-f(4+x),∴f(8+x)=f(x),
∴f(x)的周期为8,∴f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1,故B正确.
对于选项C,若f(x)的图象关于直线x=1对称,
则f(3)=f(-1),但是f(-1)=-f(1)=-1,f(3)=f(1)=1,
即f(3)≠f(-1),这与假设条件矛盾,故C错误;
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对于选项D,将x= 代入f(2-2x)=f(2+2x),得f(3)=f(1)=1.
将x=1代入f(x)+f(4+x)=0,得f(5)=-f(1)=-1.
同理可知f(7)=-f(3)=-1,
∵f(x)的周期为8,∴f(x)正奇数项的周期为4,
=[f(1)+2f(3)+3f(5)+4f(7)]+[5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)]+…
+[97f(193)+98f(195)+99f(197)+100f(199)]
=25×(-4)=-100,故D正确.
故选ABD.(共28张PPT)
考点突破练16 基本初等函数、函数的应用
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必备知识夯实练
1.(2023山东潍坊二模)已知函数 ,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
C
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2.(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
D
解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.
又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.
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4.(2023广东梅州二模)用二分法求方程 近似解时,所取的第一个区间可以是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
B
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5.(2023山东青岛二模)已知函数f(x)=x,g(x)=2x+2-x,则大致图象如图的函数可能是( )
A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x)
C.f(x)g(x) D.
D
解析 f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=-x=-f(x),g(-x)=2-x+2x=g(x),所以f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.由图易知其为奇函数,而f(x)+g(x)与f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故排除A,B.当x趋向于+∞时,f(x)g(x)趋向于+∞,排除C.故选D.
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A.aaC.abC
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7.(2023山东枣庄二模)指数函数y=ax的图象如图所示,则y=ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是( )
A
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9.(2023四川金堂中学三模)函数f(x)=sin x-log2x的零点个数为__________.
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解析 注意到log22=1,在同一坐标系中作出y=sin x与y=log2x的大致图象,
易知零点个数为1.
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10.(2023江苏南京二模)幂函数f(x)=xa(a∈R)满足:任意x∈R有f(-x)=f(x),且
f(-1)答案不唯一
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关键能力提升练
11.(2023山东济南一模)自然数22 023的位数为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.607 B.608 C.609 D.610
C
解析 因为lg 22 023=2 023lg 2≈2 023×0.301 0=608.923,
所以22 023≈10608.923,即22 023的位数为608+1=609.
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12.(2023辽宁锦州二模)如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,厚度为α(单位:mm)的带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm).若α=10,β=5,每对轧辊的减薄率r不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为( )(一对轧辊减薄率r= ×100%,lg 2≈ 0.301 0,lg 3≈0.477 1)
A.14 B.15 C.16 D.17
C
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解析 厚度为α=10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1-4%)n,过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β=5,
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解析 ∵f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
由②可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.
选项中四个函数定义域均为R, x∈R,都有-x∈R.
对于A,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,满足性质①,
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对于D,由幂函数的性质,f(x)=x2为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递增,不满足性质①,满足性质②.
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15.(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为________________________.
(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
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解析 令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1, .
②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,
有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),
若x2-ax+1<0,
有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**),
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核心素养创新练
16.(2023山东日照二模)对于给定的正整数n(n≥2),定义在区间[0,n]上的函数y=f(x)满足:当0≤x≤1时,f(x)=-x2+2x,且对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1) +1.若与n有关的实数kn使得方程f(x)=knx在区间[n-1,n]上有且仅有一个实数解,则关于x的方程f(x)=knx的实数解的个数为( )
A.n B.2n-1 C.n+1 D.2n+1
B
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解析 由题意,画出y=f(x)在区间[0,1]上的图象,
又对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1)+1,
可理解为在区间[n-1,n]上的图象由在区间[n-2,n-1]上的图象向右平移一个单位长度,
再向上平移一个单位长度所得,即可画出y=f(x)在区间[0,n]上的图象.
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故若与n有关的实数kn使得方程f(x)=knx在区间[n-1,n]上有且仅有一个实数解,
则y=knx与y=f(x)在区间[n-1,n]上的图象相切,
且易得y=f(x)的图象在直线y=x与其在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1],[n-1,n]上的图象的公切线之间.
故y=knx与y=f(x)的图象在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1]上均有2个交点,故关于x的方程f(x)=knx的实数解的个数为2(n-1)+1=2n-1.
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17(共22张PPT)
考点突破练17 导数的简单应用
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必备知识夯实练
1.(2023河北衡水二中模拟)曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x+y+2=0垂直,则a=( )
A
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2.(2023江西鹰潭模拟)函数 的单调递增区间为( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(1,+∞)
D
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A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
C
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5.(多选题)(2022新高考Ⅰ,10)已知函数f(x)=x3-x+1,则( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
AC
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令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),
则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)图象的对称中心,将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象,
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确;
令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1,
当切点为(1,1)时,切线方程为y=2x-1,当切点为(-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故D错误.故选AC.
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6.(多选题)(2023新高考Ⅱ,11)若函数 (a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0
BCD
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7.(2023陕西汉中二模)设函数 ,若函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则k的取值范围是__________.
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关键能力提升练
9.(2021新高考Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.ebC.0D
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A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
A
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12.(2021新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为__________.
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13.(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是__________.
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14.(2023浙江金华模拟)若存在直线l既是曲线y=x2的切线,也是曲线y=aln x的切线,则实数a的最大值为__________.
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核心素养创新练
15.(2023新疆乌鲁木齐二模)晶胞是构成晶体的最基本的几何单元,是结构化学研究的一个重要方面,在如图1所示的体心立方晶胞中,原子A与B(可视为球体)的中心分别位于正方体的顶点和体心,且原子B与8个原子A均相切,已知该晶胞的边长(图2中正方体的棱长)为 ,则当图1中所有原子(8个A原子与1个B原子)的体积之和最小时,原子A的半径为__________.
图1
图2
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15(共12张PPT)
考点突破练18 利用导数证明不等式
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1.(2023湖南长沙雅礼中学一模)已知函数f(x)=2sin x-sin 2x.
(1)当0≤x≤π时,求f(x)的最大值;
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3.(2023河北唐山一模)已知x>-1,证明:
(1)ex-1≥x≥ln(x+1);
(2)(ex-1)ln(x+1)≥x2.
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证明 (1)令f(x)=x-ln(x+1),则
当-1当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立,即x≥ln(x+1),从而ex≥eln(x+1)=x+1,所以ex-1≥x.
综上,ex-1≥x≥ln(x+1).
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4.(2023湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+2(a>0).
(1)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;
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4(共20张PPT)
考点突破练19 不等式恒成立或有解问题
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令f'(x)>0,得17,
∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1),(7,+∞),单调递增区间为(1,7).
∴当x=1时,函数取得极小值f(1)=3;
当x=7时,函数取得极大值f(7)=4ln 7-3.
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2.(2020新高考Ⅰ,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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(方法二)由题意知a>0,x>0,令aex-1=t,
∴ln a+x-1=ln t,∴ln a=ln t-x+1.
∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1.
∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1 t+ln t≥x+ln x,
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3.(2023湖南郴州三模)已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)=ln x+a(a∈R).
(1)若a=1,f(x)>g(x)在区间(0,t)上恒成立,求实数t的取值范围;
(2)若函数f(x)和g(x)有公切线,求实数a的取值范围.
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解 (1)由题意,当a=1时,设h(x)=f(x)-g(x),
则h(x)=x2-x+1-ln x-1=x2-x-ln x(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)min=h(1)=0.∴t的取值范围为(0,1].
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4.(2023河北石家庄三模)若定义在区间I上的函数y=f(x),其图象上存在不同两点处的切线相互平行,则称函数y=f(x)为区间I上的“曲折函数”,现已知函数f(x)=2a2ln x+x2(a>0).
(1)证明:y=f(x)是(0,+∞)上的“曲折函数”;
(2)设01
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又因为F(x)在(x0,a)上单调递减,结合①与②,由零点存在定理,必存在唯一的xm∈(x0,a),使得F(xm)=0,且对任意的x∈(xm,a),均有F(x)1
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因为t>x0,所以h'(t)<0,n'(t)在(x0,+∞)上单调递减,所以n'(t)所以n(t)在(x0,+∞)上单调递减,所以n(t)又因为F(x)在(x0,a)上单调递减,结合③与④,由零点存在定理,必存在唯一的xm∈(x0,a),使得F(xm)=0,且对任意的x∈(xm,a),均有F(x)考点突破练20 利用导数研究函数的零点问题
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1.(2020全国Ⅲ,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.
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2.(2023黑龙江哈师大附中三模)已知f(x)=ex·sin x-x.
(2)当x∈(-∞,π)时,讨论f(x)零点个数.
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3.(2023湖南娄底模拟)已知函数f(x)=ex+kx2-x(其中k≥0),g(x)=xex-x.
(1)证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;
(2)判断方程f(x)=g(x)在R上的实根个数.
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(1)证明 f'(x)=ex+2kx-1,设F(x)=ex+2kx-1,则F'(x)=ex+2k,
因为k≥0,所以F'(x)>0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f'(x)=F(x)≥F(0)=0,当且仅当x=0时,取得等号,
所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
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当x≥1时,h'(x)≥0,则h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
又因为h(1)=-k≤0,h(2)=e2-4k≥e2-2e>0,
所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点;
(2)解 方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.
证明如下:
方程f(x)=g(x),即ex+kx2-x=xex-x,
即(x-1)ex-kx2=0,
令h(x)=(x-1)ex-kx2,则h'(x)=x(ex-2k),
因为当x<1时,h(x)<0,则h(x)在区间(-∞,1)上无零点,
所以只需证明h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.
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②若 ,由h'(x)>0,得x>ln(2k),由h'(x)<0,得1≤x所以h(x)在区间[1,ln(2k))上单调递减,在区间(ln(2k),+∞)上单调递增.
又因为h(1)=-k<0,h(k+1)=kek+1-k(k+1)2=k[ek+1-(k+1)2],
令t=k+1>2,m(t)=et-t2,则m'(t)=et-2t,
令φ(t)=et-2t,φ'(t)=et-2,因为t>2,所以φ'(t)>0,
所以m'(t)=φ(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
所以m'(t)>m'(2)=e2-4>0,所以m(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
所以m(t)>m(2)=e2-4>0,即h(k+1)>0,
所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.
综上所述,当k∈[0,+∞)时,h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.
所以方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.
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