(共28张PPT)
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单项选择题
1.(2023新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2}
C
解析 由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,N=(-∞,-2]∪[3,+∞).
因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.
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2.(2022全国乙,理2)已知z=1-2i,且 ,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
A
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3.(2023河北唐山二模)某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103,则数学成绩不小于103分的人数至少为( )
A.220 B.240 C.250 D.300
B
解析 因为所有学生成绩的第80百分位数是103,所以数学成绩不小于103分的人数至少为1 200-1 200×80%=240.
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D
解析 由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,
即|a|2+|b|2+2|a||b|cos
=|c|2.
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5.“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量,通过植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派驻1名专家,则分派方法的种数为( )
A.90 B.150 C.180 D.300
B
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6.(2023黑龙江实验中学二模)已知直线l:2x+y+m=0上存在点A,使得过点A可作两条直线与圆C:x2+y2-2x-4y+2=0分别切于点M,N,且∠MAN=120°,则实数m的取值范围是( )
C
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7.(2023云南昆明一中模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)A.ef(1)C.ef(1)>f(2) D.ef(1)≥f(2)
C
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解析 由题意,作正三棱锥P-ABC,取AB的中点D,连接PD,CD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,如图所示.
在正三棱锥P-ABC中,易知AP=BP,PO⊥平面ABC.
∵D为AB的中点,∴PD⊥AB.
在等边三角形ABC中,
∵D为AB的中点,∴CD⊥AB.
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多项选择题
ACD
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10.(2023河北保定统考一模)沙漏是古代的一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是( )
C.细沙全部漏入下部后堆成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(π≈3.14)
BD
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11.(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0 B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点
ABC
解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0,再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
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12.(2023山西临汾二模)已知函数fn(x)=sinnx+cosnx(n∈N*),则下列说法正确的是( )
ABD
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填空题
13.(2023广东广州模拟)已知n∈N*且n>1, 的展开式中存在常数项,写出n的一个值:__________.
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答案不唯一
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解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x).又f(x)=f(2-x),
所以f(x)=f(-x)=f(2-x),所以f(x)是周期为2的函数.
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15.(2023贵州六校联盟模拟)在实际生活中,常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,若椭圆的长轴长为 ,则T=__________.
4π
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16(共28张PPT)
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单项选择题
A.1-2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
B
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A.M N B.N M
C.M=N D.M∩N=
B
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3.(2023山东聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a10是{an}中的( )
A.第30项 B.第36项
C.第48项 D.第60项
A
解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①
即12a1+55d=67.②
由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,
故a3a10是{an}中的第30项.
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4.(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
D
解析 (方法一 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,
由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,
所以a≥2.故选D.
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7.(2023江苏苏锡常镇一模)已知正四面体P-ABC的棱长为1,点O为底面ABC的中心,球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点,且公共点非该正四面体的顶点,则球O的半径为( )
B
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A
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解析 由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=[f(x)-m][f(x)-1]=0,可得f(x)=m或f(x)=1.
令y=xln x且定义域为(0,+∞),则y'=ln x+1,
综上,根据f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示.
显然f(x)=1有两个根,要使原方程有5个不相等的实数根,
则f(x)=m有三个根,
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多项选择题
9.(2023山东聊城三模)随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高,我国社会物流需求不断增加.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标,下面是2017—2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计,则( )
2017—2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计
A.2018—2022这5年我国社会物流总费用逐年增长,且2021年增长的最多
B.2017—2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9
C.2017—2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%
D.2022年我国的GDP超过了121万亿元
ACD
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解析 由图表可知,2018—2022这5年我国社会物流总费用逐年增长,2021年增长的最多,且增长为16.7-14.9=1.8万亿元,故A正确;
因为6×70%=4.2,所以70%分位数为第5项数据,即为16.7,所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7,故B错误;
由图表可知,2017—2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故C正确;
由图表可知,2022年我国的GDP为17.8÷14.7%≈121.1万亿元,故D正确.
故选ACD.
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10.(2023河北唐山三模)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则( )
A.f'(x)为偶函数
B.f'(0)=0
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.若F(x)=f(x)+xf'(x),则F'(x)为奇函数
AC
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解析 对于A,因为f(x)为奇函数且在定义域R上可导,即f(-x)=-f(x),所以两边对x取导可得(-x)'f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数,故A正确;
对于B,令f(x)=sin(πx),显然f(x)为奇函数,且最小正周期 ,
即满足f(x+2)=f(x),则f'(x)=πcos(πx),则f'(0)=π,故B错误;
对于C,因为f(x+2)=f(x)且f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(-x),所以f(x-1+2)=f(x+1)=-f(1-x),即f(x+1)+f(1-x)=0,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故C正确;
对于D,因为F(x)=f(x)+xf'(x),则F(-x)=f(-x)-xf'(-x)=-f(x)-xf'(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数,由A可知F'(x)为偶函数,故D错误.
故选AC.
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11.(2023广东汕头一模)已知直线l1:2x-y-3=0,l2:x-2y+3=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2 =r2,若圆C与直线l1,l2都相切,则下列选项一定正确的是( )
A.l1与l2关于直线y=x对称
B.若圆C的圆心在x轴上,则圆C的半径为3或9
C.圆C的圆心在直线x+y-6=0或直线x-y=0上
D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
ACD
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12.(2023山西临汾二模)已知二面角α-l-β的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,记二面角α-l-β的大小为θ,则下列说法正确的是( )
AB
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解析 如图所示,
过点A作AE∥BD且AE=BD,连接CE,ED,
则四边形ABDE为平行四边形.
又BD⊥AB,∴AE⊥AB.又AC⊥AB,
∴∠CAE=θ.又AC∩AE=A,AC,AE 平面ACE,
∴AB⊥平面ACE.又AB∥ED,∴ED⊥平面ACE,
∴ED⊥CE,ED⊥AE.由题意知,BD⊥AB,AC⊥AB,
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对于D,以A为原点,分别以AE,AB,AZ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
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填空题
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14.(2023全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=__________.
-2
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
(方法二)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.
又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
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15.(2023山东德州一模)某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成,每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购,利用如下方法进行抽检:从该企业产品中随机抽取1包产品,再从该包产品中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是一等品,则决定采购该企业产品;否则,拒绝采购.假设该企业这批产品中,每包产品均含1个或2个二等品零件,其中含2个二等品零件的包数占10%,则小张决定采购该企业产品的概率为__________.
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16.(2023广东广州一模)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上,过点(2,0)的直线交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,线段PQ的中点为M,则直线MF的斜率的最大值为__________.
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16(共31张PPT)
限时练3
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单项选择题
1.(2023广东汕头二模)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},且A∪B=A,则a的取值集合为( )
A.{-1} B.{2}
C.{-1,2} D.{1,-1,2}
B
解析 由题意可得,a+2=3或a+2=a2.若a+2=3,此时a=1,则a2=1,集合A的元素有重复,不符合题意;若a+2=a2,解得a=2或a=-1,显然a=2时符合题意,而a=-1时,a2=1,a+2=1,集合A和集合B中的元素均有重复,不符合题意.故a=2.
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5.(2023江苏南通模拟)某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺,使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3,第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn=r0+(r1-r0)·30.25n+t(t∈R,n∈N*),其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量,n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.25 g/m3时符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少为( )(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A.14 B.15 C.16 D.17
C
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C
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B
解析 设f(x)=ex-x-1,所以f'(x)=ex-1.令f'(x)<0,则x<0,令f'(x)>0,则x>0,所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(0)=0,即ex-x-1≥0,得ex≥x+1.
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8.(2022全国乙,理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则 =( )
A.-21 B.-22
C.-23 D.-24
D
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解析 由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).
∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.
又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).
∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.
又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.
当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.
当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.
当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,
又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
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多项选择题
9.(2023山东青岛统考三模)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则( )
A.z1·z2=-4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3
BD
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10.(2023黑龙江齐齐哈尔模拟)在学习了解三角形的知识后,为了锻炼实践能力,某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸,在靠近河岸不远处有一小湖,他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45°的方向上,由于受到地势的限制,他又选了点C,D,E,使点B,C,D共线,点B位于点D的正西方向上,点C位于点D的正东方向上,测得CD=CE=100 m,∠BAD=75°,∠AEC=120°, AE=200 m,并经过计算得到如下数据,则其中正确的是( )
AC
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16
解析 对于A,因为∠BAD=75°,点B位于点A的南偏西45°的方向上,
所以∠B=45°,故∠ADB=60°,∠ADC=120°.
又∠AEC=∠ADC=120°,CD=CE=100 m,AC=AC,AE=200 m,
在△AEC中,由余弦定理得,
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16
11.(2022新高考Ⅱ,10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
ACD
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16
12.(2023广东佛山二模)已知函数 ,对于任意的实数a,b,下列结论一定成立的有( )
A.若a+b>0,则f(a)+f(b)>0
B.若a+b>0,则f(a)-f(-b)>0
C.若f(a)+f(b)>0,则a+b>0
D.若f(a)+f(b)<0,则a+b<0
ABD
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填空题
13.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1= ,则该棱台的体积为__________.
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(方法二 补形法) 如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,
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16
16.(2023山东德州一模)在三棱锥V-ABC中,AB,AC,AV两两垂直,AB=AV=4, AC=2,P为棱AB上一点,AH⊥VP于点H,则△VHC面积的最大值为_________;此时,三棱锥A-VCP的外接球表面积为__________.
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16(共28张PPT)
限时练4
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16
单项选择题
1.(2023广东汕头三模)已知复数z的共轭复数 ,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
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2.(2023全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
A
解析 M∪N={x|x<2},故 U(M∪N)={x|x≥2}.故选A.其他选项均不符合题意.
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16
3.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
解析 由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b,所以a2=b2,故必要性成立;
又当a=1,b=-1时,满足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.
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4.(2022新高考Ⅱ,5)甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
B
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16
5.(2023四川乐山二诊)数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象,则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A
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B
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A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
A
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16
多项选择题
AB
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图1
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图2
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图3
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ABC
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16
填空题
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16
14.(2023湖北安陆模拟)已知函数f(x)=4x+ax2,若曲线y=f(x)过点P(1,1)的切线有两条,则实数a的取值范围为_______________.
(-∞,-3)∪(0,+∞)
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16
15.(2023全国甲,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有__________个公共点.
12
解析 设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.
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16(共31张PPT)
限时练5
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16
单项选择题
1.(2023山东济南三模)已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,6},则图中阴影部分代表的集合为( )
A.{1,2} B.{3,4} C.{4,5} D.{2,3,5}
C
解析 由题意A∪B={1,2,3,6},而阴影部分为 U(A∪B)={4,5}.故选C.
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16
2.(2023全国甲,理2)若a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
C
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16
3.(2023全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率
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5.(2023河南郑州三模)2022年11月底,人工智能研究公司OpenAI发布了名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.35 B.36 C.37 D.38
B
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16
6.(2023山东烟台二模)尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一,现今已证明该问题无解.但借助有刻度的直尺、其他曲线等,可将一个角三等分.古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法:如图,以∠ACB的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点;取线段AB的三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点作双曲线,与圆弧AB交于点E,连接CE,则∠ACB=3∠BCE.若图中CE交AB于点P, ,则cos∠ACP=( )
C
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8.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
D
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多项选择题
9.(2023福建宁德模拟)
若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则( )
A.a0=64
B.a0+a2+a4+a6=365
C.a5=12
D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6
ABD
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解析 令x=-1,则(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正确;
令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,
由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.
故选ABD.
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10.(2023山东菏泽一模)已知圆O:x2+y2=4,下列说法正确的有( )
A. m∈R,直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0与圆O都有两个公共点
B.圆O与动圆C:(x-k)2+( )2=4有四条公切线的充要条件是|k|>2
C.过直线x+y-4=0上任意一点P作圆O的两条切线PA,PB(A,B为切点),则四边形PAOB的面积的最小值为4
D.圆O上存在三点到直线x+y-2=0的距离均为1
BC
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11.(2023广东深圳二模)如图,在矩形AEFC中, ,EF=4,B为EF中点,现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折,使点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则( )
BD
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填空题
13.(2022全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为 ,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=__________.
11
解析 由题得,a·b=1×3cos=1×3× =1,
则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11.
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14.(2023河南新乡二模)若正四面体的棱长为4,则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为__________.
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16.(2023江苏南通模拟)弓琴,也可称作“乐弓”,是我国弹弦乐器的始祖.在我国古籍《吴越春秋》中,曾记载着:“断竹、续竹,飞土逐 ”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔,其正面为一椭圆面,它有多条弦,拨动琴弦,音色柔弱动听,现有某研究人员对它做出改进,安装了七根弦,发现声音强劲悦耳.下图1是一弓琴琴腔下部分的正面图.若按对称建立如图2所示坐标系,F1(-c,0)为左焦点,Pi(i=1,2,3,4,5,6,7)均匀对称分布在上半个椭圆弧上,PiF1为琴弦,记ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7),数列{an}前n项和为Sn,椭圆方程为 ,且a+64c=4ac,则S7+a7-128取最小值时,椭圆的离心率为__________.
图1
图2
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16(共28张PPT)
高考小题突破1 三角函数的图象与性质
考点一 三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
例1(1)(2023广东河源模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin138°,cos138°),则tan(α+18°)=( )
D
解析 因为cos 138°<0,sin 138°>0,所以点P在第四象限,即α为第四象限角.
由三角函数定义得
B
延伸探究
对点训练1
ACD
考点二 三角函数的图象
考向1 由函数的图象特征求解析式
例2(1)(多选题)(2020新高考Ⅰ,10)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )
BC
考向2 三角函数的图象变换
C
C
规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:
(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪个函数的图象.
(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.
(3)选方法:选择变换方法要注意对于函数y=sinωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sinω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
对点训练2
D
(2)(2023湖南雅礼中学校考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,且△QAB的面积是△PAB面积的2倍,则函数f(x)的单调递增区间为( )
D
考点三 三角函数的性质
BCD
A
增分技巧一般地,研究三角函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0或y=Acos(ωx+φ),A>0,ω>0的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.
(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.
(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x的取值范围求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.
(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
对点训练3
AD
D(共25张PPT)
高考小题突破2 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
C
(2)(2023广东茂名一模)下列四个函数中,最小正周期T与其余三个函数不同的是( )
C
A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1
C
解析 (方法一)
由已知得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,
即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,
即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.
增分技巧1.三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”.
2.三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cos2θ=tan45°.
(2)项的拆分与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦切互化:一般是切化弦.
对点训练1
C
B
考点二 正弦定理、余弦定理的简单应用
例2(1)(2021全国乙,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为
,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
(2)(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= .
2
规律方法三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
对点训练2
(1)(2023北京,7)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则C=( )
B
解析 (1)因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理,得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab.
D
因为AC=3BC=3,所以BC=DC=1.
又因为sin∠BDC=sin(π-∠BDA)=sin∠BDA=3sin∠BAC,
所以在△BDA中,由正弦定理可得AB=3BD.
在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,
即1=9BD2+9-18BD·cos∠BAC.
在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAC,
即BD2=9BD2+4-12BDcos∠BAC.
考点三 正弦定理、余弦定理的实际应用
例3(1)(2021全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
B
(2)(2023山东青岛统考一模)某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园.已知∠DAB=90°,∠DBA=45°,∠BAC=30°,∠DBC=60°,AB=
千米,则CD=____________千米.
增分技巧1.求解三角形实际应用问题的关键
(1)将数据标注在相应平面图形中,准确将问题归类、建立解决问题的数学模型.
(2)解题时尽可能将数据“化归”到三角形中,这样可以根据数据中边与角的类型灵活选用正弦定理或余弦定理求解问题.
2.解三角形实际应用问题的步骤
对点训练3
(1)(2023四川南充诊断测试)一艘海轮从A处出发,以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A
(2)(2023山西太原模拟)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为( )
A.64m B.74m C.52m D.91m
B(共45张PPT)
解答题专项 三角函数与解三角形
考点一 三角函数性质与图象的综合问题
增分技巧1.三角恒等变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想和数形结合的思想解决相关问题.
2.三角恒等变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角恒等变换化成已知角.
对点训练1
考点二 利用正弦、余弦定理解三角形
考向1 求三角形中的边或角
规律方法解三角形问题的基本策略
对点训练2
考向2 与面积有关的解三角形问题
【教师讲评】1.已知条件中有b2+c2-a2,所以要联想余弦定理,代入公式化简即可.
2.先利用正弦定理将已知等式统一为角,根据sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,发现分母相同,可将sinC用角A,B表示,并两边同乘分母,可求得角A,代入面积公式计算.
对点训练3
考向3 解三角形中的证明问题
例4(2022全国乙,理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
名师点析三角形中的证明问题有两类:一是角的关系,可以利用三角恒等变换,转化为同名三角函数,或是某个三角函数值求角;二是边的关系,可以利用正、余弦定理转化为边的关系,证明时可从复杂的一边入手,证明两边相等,也可用比较法,左边-右边=0.
对点训练4
(1)证明另一个条件成立;
(2)若△ABC的外接圆半径R=1,则在(1)的基础上求△ABC的面积.
考向4 解三角形中的最值与范围问题
例5已知四边形ABCD内接于圆O,AB=2,∠ADB=30°,∠BAD是钝角.
(1)求AC的最大值;
(2)若 ,求四边形ABCD周长的最大值.
延伸探究
(变结论)例5(2)的条件下,求△BCD面积的最大值.
解 设BC=x,CD=y,因为∠BCD=60°,
在△BCD中,由余弦定理得12=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,即xy≤12,当且仅当x=y=6时,等号成立,
增分技巧在已知三角形的一边及其对角的前提下,求该三角形周长或面积的最值通常有两种方法:
(1)代数变换法:先利用余弦定理,建立三角形中未知的两条边满足的条件等式,然后利用基本不等式求出两边之和或两边之积的最值,最后结合周长公式或面积公式即得三角形周长或面积的最值.
(2)三角变换法:先利用正弦定理,建立三角形中未知的两条边和两角满足的关系式,并用其中的一个角表示两条边,然后根据周长公式或面积公式建立周长或面积关于该角的函数关系式,最后通过三角恒等变换对函数解析式进行化简,即可求得周长或面积的最值.
对点训练5
(2023山东德州一模)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-2bcosA=b.
(1)求证:A=2B;
(2)若A的角平分线交BC于点D,且c=2,求△ABD面积的取值范围.
考点三 三角函数的实际应用
例6(2023湖南邵阳二模)人类从未停下对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空100m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以25m/s的速度出击,与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑600m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能 请说明原因.
解 (1)由题意作图如右:
(2)由题意作图如下,设捕猎成功所需的最短时间为t s,
增分技巧1.求解三角形实际应用问题的关键
(1)将数据标注在相应平面图形中,准确将问题归类、建立解决问题的数学模型;
(2)解题时尽可能将数据“化归”到三角形中,这样可以根据数据中边与角的类型灵活选用正弦定理或余弦定理求解问题.
2.解三角形实际应用问题的步骤
对点训练6(共12张PPT)
专题一 三角函数与解三角形
领航 备考路径
新课标核心考点 2020年 2021年 2022年 2023年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.三角恒等变换 第6题 第6题 第8题 第7题
2.三角函数的性质与图象 第10题 第11题 第4题 第6题 第9题 第15题 第16题
3.正弦定理、余弦定理,解三角形 第17题 第17题 第19题 第18题 第18题 第18题 第17题 第17题
通览 主干知识
1.同角三角函数的基本关系式、诱导公式
名师点析各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.三角函数图象的变换
由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
误区警示无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看“ωx+φ”的变化.
3.三角函数的图象和性质
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的三大性质
求单调区间时,必须保证ω>0
名师点析其他两类函数的三大性质类似代入公式可解,注意公式的不同之处.对y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,不能为偶函数.
5.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
名师点析注意公式的逆用与变形用,例如:tanα±tanβ=tan(α±β)(1 tanαtanβ).
(2)二倍角公式
sin2α=2sinαcosα.
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
1+sin2α=(sinα+cosα)2.
1-sin2α=(sinα-cosα)2.
6.正弦定理、余弦定理
7.三角形面积公式(共16张PPT)
培优拓展(一)
三角变换与解三角形中的“变角”“变式”
三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角” “变式”,达到解决问题的目的.
(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.
(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
角度1 变角
B
A
130°
增分技巧本题通过辅助角公式、二倍角公式、诱导公式的运用,将非特殊角不断进行转化,最终化为符合要求的角,体现了变角的重要作用.
对点训练1
角度2 变式
A
增分技巧降幂是三角恒等变换中的常用方法,通过运用降幂公式,不但可以使三角函数式的次数与已知条件相符,同时也可以变换得出已知角,从而使问题得到解决.
D
对点训练2
C