(共41张PPT)
高考小题突破5 概率与统计的基本计算
考点一 用样本估计总体
例1(多选题)(2023广东广州一模)某校随机抽取了100名学生测量体重,经统计,这些学生的体重数据(单位:kg)全部介于45至70之间,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则( )
A.频率分布直方图中a的值为0.07
B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
AC
解析 对于A,因为5×(0.01+a+0.06+0.04+0.02)=1,所以a=0.07,故A正确;对于B,(0.01+0.07+0.06)×5×100=70,故B错误;
对于C,因为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7,
0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9,0.7<0.78<0.9,所以第78百分位数位于区间[60,65)内,设第78百分位数为x,则0.01×5+0.07×5+0.06×5+(x-60)×0.04=0.78,解得x=62,故C正确;
对于D,因为0.01×5×47.5+0.07×5×52.5+0.06×5×57.5+0.04×5×
62.5+0.02×5×67.5=57.25,所以估计该校学生体重的平均数约为57.25,故D错误.故选AC.
增分技巧1.用样本的频率估计总体的步骤
(1)确定样本容量N;(2)确定事件发生的次数(频数)n;(3)求频率 ;(4)估计总体.
2.用样本的数字特征估计总体的步骤
(1)确定样本;(2)求样本的平均数、众数、中位数、方差(标准差);(3)由数字分析样本、估计总体.
对点训练1
(1)(多选题)(2023浙江湖州模拟)为响应自己城市倡导的低碳出行,小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位:分钟),得到下列两个频率分布直方图.基于以上统计信息,则( )
A.骑车时间的中位数的估计值是22
B.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19
C.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D.坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值
坐公交车时间为x
骑车时间为y
BC
解析 对于A,设骑车时间的中位数为a,易知20
则0.10×2+0.20(a-20)=0.50,解得a=21.5,故骑车时间的中位数的估计值是21.5,故A错误;
对于B,设坐公交车时间的40%分位数为b,易知18则0.025×2+0.050×2+0.075×2+0.100×(b-18)=0.4,解得b=19,
故坐公交车时间的40%分位数的估计值是19,故B正确;
对于C,坐公交车时间的平均数
(2)(多选题)(2023江苏南通二模)已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位:吨/公顷)数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂交水稻近五年的产量(单位:吨/公顷)数据为9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则( )
A.甲种杂交水稻的样本极差小于乙种杂交水稻的样本极差
B.甲种杂交水稻的样本平均数等于乙种杂交水稻的样本平均数
C.甲种杂交水稻的样本方差大于乙种杂交水稻的样本方差
D.甲种杂交水稻的第60百分位数小于乙种杂交水稻的第60百分位数
ABD
考点二 古典概型
例2(2023辽宁盘锦高级中学一模)“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节,每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气,则这2个节气恰好不在一个季节的概率为__________.
延伸探究
在本例条件下,若从24个节气中任选3个节气,求这3个节气恰好在一个季节的概率.
增分技巧古典概型求解的关键点
(1)解答古典概型问题,关键是正确求出样本空间中样本点的总数和事件A包含的样本点的个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.
(2)在求样本点的总数时,要准确理解样本点的构成,这样才能保证所求事件A所包含的样本点的个数的求法与样本点的总数的求法的一致性.
对点训练2
(1)(2022新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
D
(2)(2023天津,13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为__________;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为__________.
考点三 相互独立事件的概率
A
(2)(多选题)(2023江苏南京师大附中模拟)甲、乙两人准备买一部手机,购买国产手机的概率分别为0.6,0.5,购买白色手机的概率分别为0.4,0.6,若甲、乙两人购买哪款手机互相独立,则( )
A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5
B.两人都没购买白色手机的概率为0.52
C.甲购买国产白色手机的概率为0.48
D.甲、乙至少一人购买国产白色手机的概率为0.468
AD
解析 由已知,甲、乙两人购买哪款手机互相独立,
“甲购买国产手机”记为事件A,则P(A)=0.6;“乙购买国产手机”记为事件B,则P(B)=0.5;
“甲购买白色手机”记为事件C,则P(C)=0.4;“乙购买白色手机”记为事件D,则P(D)=0.6.
对于C,“甲购买国产白色手机”记为事件E,其概率为P(E)=P(AC)=0.6×0.4=0.24,故C错误;
对于D,“乙购买国产白色手机”记为事件F,其概率为P(F)=P(BD)=0.5×0.6=0.3,
结合选项C的判断,甲、乙至少一人购买国产白色手机的概率为
1-P( )=1-(1-0.24)×(1-0.3)=0.468,故D正确.
增分技巧求相互独立事件和n次独立重复试验的概率的注意点
(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.
(2)注意辨别n次独立重复试验的基本特征:①同一个试验独立重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
对点训练3
B
(2)(2023浙江金丽衢十二校三模)班级举行知识竞猜闯关活动,设置了A,B,C三个问题,答题者可自行决定答三题顺序.甲有60%的可能答对问题A,80%的可能答对问题B,50%的可能答对问题C.记答题者连续答对两题的概率为p,要使得p最大,他应该先回答( )
A.问题A
B.问题B
C.问题A,B和C都可以
D.问题C
D
解析 ①若先回答问题A,则答题顺序可能为A,B,C和A,C,B.
当答题顺序为A,B,C且连对两题时,
p=0.6×0.8×(1-0.5)+(1-0.6)×0.8×0.5=0.4;
当答题顺序为A,C,B且连对两题时,
p=0.6×0.5×(1-0.8)+(1-0.6)×0.5×0.8=0.22.
故先回答问题A,连对两题的概率为0.4+0.22=0.62.
②若先回答问题B,则答题顺序可能为B,A,C和B,C,A.
当答题顺序为B,A,C且连对两题时,
p=0.8×0.6×(1-0.5)+(1-0.8)×0.6×0.5=0.3;
当答题顺序为B,C,A且连对两题时,
p=0.8×0.5×(1-0.6)+(1-0.8)×0.5×0.6=0.22.
故先回答问题B,连对两题的概率为0.3+0.22=0.52.
③若先回答问题C,则答题顺序可能为C,A,B和C,B,A.
当答题顺序为C,A,B且连对两题时,
p=0.5×0.6×(1-0.8)+(1-0.5)×0.6×0.8=0.3;
当答题顺序为C,B,A且连对两题时,
p=0.5×0.8×(1-0.6)+(1-0.5)×0.8×0.6=0.4.
故先回答问题C,连对两题的概率为0.3+0.4=0.7.
∵0.7>0.62>0.52,∴要使p最大,应先回答问题C.
故选D.
考点四 条件概率与全概率公式
考向1 条件概率
例4(1)(2023上海宝山二模)从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A,“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B,则P(B|A)=__________.
(2)(2023江苏江浦高级中学模拟)某公司在某地区进行商品A的调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位,已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%,从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购买商品A的概率为__________.
增分技巧条件概率的三种求法
对点训练4
(1)(2022天津,13)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为__________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为__________.
考向2 全概率公式
例5 (2023辽宁鞍山一中模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为( )
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77
D
解析 由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,
则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,
所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,
记事件B为“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4,
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.
增分技巧应用全概率公式求概率的步骤
对点训练5
(2023安徽安庆二模)设某批产品中,甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%,35%,20%,甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件,若取到的是次品的概率为2.95%,则推测丙车间生产的产品的次品率为__________.
5%
解析 记事件A表示“取到的是一件次品”,事件B1,B2,B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的,显然Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥,则P(B1)=0.45,P(B2)=0.35,P(B3)=0.2.
由于P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.03,设P(A|B3)=m,由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.45+0.03×0.35+m×0.2,
而P(A)=2.95%,故m=5%.
考点五 正态分布及其应用
例6(1)(多选题)(2023河北衡水中学模拟)工厂生产某零件,其尺寸D(单位: cm)服从正态分布N(10,0.01k2).其中k由零件的材料决定,且k>0.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时,认为该零件不合格;当零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时,认为该零件为优质零件;其余则认为是普通零件.已知当随机变量X~N(μ,σ2)时,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,则下列说法正确的有( )
A.k越大,预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小
B.k越大,预计生产出普通零件的概率越大
C.若k=1.5,则生产200个零件约有9个零件不合格
D.若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a,2a,-5a,则当k=1时,每生产1000个零件预计盈利2580a
AC
解析 依题意,得μ=10,σ2=0.01k2,则σ=0.1k,k>0.对于A,当k变大时,σ变大,则零件尺寸D的正态曲线越“矮胖”,所以预计生产出的优质零件的概率越小,不合格零件的概率越大,故A正确;对于B,由选项A可知,预计生产出普通零件的概率越小,故B错误;对于C,当k=1.5时, σ=0.1k=0.15,则P(X>10.3)= P(X>μ+2σ)≈0.022 75,而P(X<9.7)=P(X<μ-2σ) =P(X>μ+2σ)≈0.022 75,所以预计生产出的不合格零件的概率为P(X>10.3)+P(X<9.7)≈0.045 5,故生产200个零件约有不合格零件的个数为200×0.045 5=9.1≈9,故C正确;对于D,当k=1时,σ=0.1k=0.1,则P(X>10.3)= P(X>μ+3σ)≈0.001 35,P(X<9.7)≈0.001 35,P(9.9(2)(2022新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)=__________.
0.14
解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2增分技巧利用正态曲线的对称性求概率的策略
(1)解决此类问题的关键是利用对称轴x=μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时,可借助图形判断.
(2)对于X~N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴知:
①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
②P(X③P(a(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率,将所求问题向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)转化,然后利用特定值求出相应概率.同时,要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的区域的面积为1这些特殊性质.
对点训练6
(1)(多选题)(2023辽宁沈阳一模)某产品的质量指标值服从正态分布N(100,σ2),则下列结论正确的是( )
A.σ越大,则产品的质量指标值落在区间(99.9,100.1)内的概率越大
B.该产品的质量指标值大于100的概率为0.5
C.该产品的质量指标值大于100.01的概率与小于99.99的概率相等
D.该产品的质量指标值落在区间(99.9,100.2)内的概率与落在区间(100,100.3)内的概率相等
BC
解析 设随机变量X~N(100,σ2).
对于A,σ越大,正态曲线越“矮胖”,则产品的质量指标值落在区间(99.9,100.1)内的概率越小,故A错误;
对于B,μ=100,则P(X>100)=0.5,故B正确;
对于C,由正态密度曲线的对称性可知P(X>100.01)=P(X<99.99),故C正确;
对于D,
P(99.90,
所以P(99.9P(100故选BC.
(2)(2023山东聊城二模)某运动生理学家对健走活动人群的体脂率(体脂率是指人体内脂肪含量与总体重的比值)做了大量的调查,发现调查者的体脂率X服从正态分布N(0.2,σ2),规定体脂率小于或等于0.17的人的身材为良好身材.若参加健走的人群中有16%的人具有良好身材,则σ的值约为__________.
参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.
0.03
解析 因为(1-0.682 7)÷2≈16%,P(0.2-σ≤X≤0.2+σ)≈0.682 7,所以当σ=0.03时,P(X≤0.2-0.03)=P(X≤0.17)≈(1-0.682 7)÷2≈16%,满足要求.(共53张PPT)
解答题专项 概率与统计的综合问题
考点一 经验回归方程的实际应用
例1(2023山东济南二模)根据国家统计局统计,我国2018~2022年的新生儿数量如下:
年份编号x 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
新生儿数量y/万人 1523 1465 1200 1062 956
(1)由表中数据可以看出,可用线性回归模型拟合新生儿数量y(单位:万人)与年份编号x的关系,请用样本相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的经验回归方程,并预测我国2023年的新生儿数量.
增分技巧线性回归分析问题的类型及解题方法
(1)求经验回归方程:
(2)预测变量值:
①若已知经验回归方程(方程中无参数),进行预测时,可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值.
②若经验回归方程中有参数,根据经验回归直线一定经过点 ,求出参数值,得到经验回归方程,进而完成预测.
对点训练1
(2023四川成都石室中学三模)“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式,也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
编号i 1 2 3 4 5
间隔时间xi/分钟 6 8 10 12 14
等候人数yi/人 15 18 20 24 23
(1)根据以上数据作出折线图(图略),易知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用样本相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的经验回归方程,并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.
考点二 独立性检验的实际应用
例2(2020新高考Ⅰ,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位: μg/m3),得下表:
单位:μg/m3
PM2.5 SO2 [0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
解 根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
单位:μg/m3
PM2.5 SO2 [0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
解 根据抽查数据,可得2×2列联表:
单位:μg/m3
PM2.5 SO2 [0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
(3)依据α=0.01的独立性检验,分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关联.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解 零假设为H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度没有关联.
根据(2)的列联表得 ≈7.484>6.635=x0.01.根据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01.
增分技巧独立性检验的步骤
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
对点训练2
(2023全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
组别 对照组
试验组
②根据①中的列联表,依据α=0.05的独立性检验,分析环境对小白鼠体重的增加量是否有影响.
α 0.10 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
解 ①m=23.4.
列联表如下:
组别 对照组 6 14
试验组 14 6
②零假设为H0:环境对小白鼠体重的增加量没有影响.
=6.4>3.841=x0.05.根据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为环境对小白鼠体重的增加量有影响,此推断犯错误的概率不超过0.05.
考点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差
考向1 以超几何分布为背景的期望与方差
例3(2023湖南铅山三模)某商场举行有奖促销活动,顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球、8个白球的箱子中一次性取出2个小球,小球除颜色外其他均相同.若取出2个红球,得200元本商场购物券;若取出1个红球和1个白球,得80元本商场购物券;若取出2个白球,得10元本商场购物券.
(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列.
(2)为吸引更多的顾客,现在有两种改进方案,甲方案:在原方案上加一个红球和一个白球,其他不变.乙方案:在原方案的购物券上各加10元,其他不变.若你是顾客,你希望采用哪种方案
增分技巧求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练3
(2023湖北十堰二模)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子中,每个盒子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球进行交换,记交换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为Ei(X).证明:E1(X)+E3(X)=4.
考向2 以互斥或独立事件为背景的期望与方差
例4(12分)(2022全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
【规范解答】解(1)记甲学校获得冠军为事件A,
则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5
×0.4×0.8=0.6, 4分
所以甲学校获得冠军的概率是0.6.
(2)X的可能取值为0,10,20,30, 5分
则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,
P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,
P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06. 9分
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
10分
所以X的期望为E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. 12分
【教师讲评】1.从总得分最高分析,知甲学校获得冠军有两种情况,一是三个项目均获胜,二是其中的两个项目获胜,利用对立事件及相互独立事件的概率公式求解;
2.从甲学校获胜的项目个数出发,列出X的所有可能取值,再利用相互独立事件同时发生的概率公式计算相应概率,列出分布列,根据公式计算期望即可.
增分技巧求相互独立事件概率的两种方法
直接法 正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解
间接法 当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解,对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解
对点训练4
(1)求小明第一次抽中,但所得奖金归零的概率;
(2)设小明所得奖金总数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
考向3 以二项分布为背景的期望与方差
例5足球比赛淘汰赛阶段通常常规比赛时间为90分钟,若在90分钟结束时进球数持平,需进行30分钟的加时赛,若加时赛仍是平局,则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下:①两队各派5名队员,双方轮流踢点球,累计进球个数多者胜;②如果在踢满5轮前,一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数,则不需要再踢(例如:第4轮结束时,双方“点球大战”的进球数比为2∶0,则不需再踢第5轮);③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平,则从第6轮起,双方每轮各派1人罚点球,若均进球或均不进球,则继续下一轮,直到出现一方进球另一方不进球的情况,进球方胜出.
增分技巧破解有关二项分布的“四关”
对点训练5
(2023黑龙江大庆三模)某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练,训练内容由“太空发射”“自定义漫游”“全尺寸太阳能”“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成,训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习,并且学生间的选择互不影响,老师将班级学生分成四组,指定甲、乙、丙、丁为组长.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率;
(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数,求X的分布列及数学期望;
(3)如果班级有n个学生参与编程训练(其中n是能被5整除的正整数),则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少
考点四 预测与决策问题
例6(2023河北石家庄模拟)某旅游景区为吸引旅客,提供了A,B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价(“好”或“一般”),对300名旅客的路线选择和评价进行了统计,如下表:
单位:人
性别 A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般 男 20 55 120
女 90 40 180
合计 50 75 300
(1)填补上面的统计表中的空缺数据,并依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析能否认为对A,B两条路线的选择与性别有关联.
(2)某人计划到该景区旅游,预先在网上了解两条路线的评价,假设他分别看了两条路线各三条评价(评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的比例为参考),若评价为“好”的计5分,评价为“一般”的计2分,以期望作为参考,那么你认为这个人会选择哪一条线路 请用计算说明理由.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
解 (1)补全统计表如下:
单位:人
性别 A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般 男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
零假设为H0:对A,B两条路线的选择与性别无关联.
将所给数据整理,得到如下2×2列联表:
单位:人
性别 路线 合计
A B 男 30 90 120
女 120 60 180
合计 150 150 300
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为对A,B两条路线的选择与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
增分技巧利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据,建立相应的概率模型,然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等,通过比较得到最优方案,从而解决问题.解题的关键如下:
(1)建立模型,根据题意准确建立解决问题的概率模型,要注意各种概率模型的差异性,不能混淆;
(2)分析数据,分析题中的相关数据,确定概率模型中的相关参数;
(3)求值,利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征;
(4)做出决策,比较概率模型中的数字特征,确定解决问题的最优方案,做出决策.
对点训练6
(2023山东泰安一模)某公司为活跃气氛,年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定:每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄,阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元,其余3个均为200元,求员工所获得的奖励金额的分布列及数学期望.
(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元,并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡,请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
(2)根据公司预算,每个员工的平均奖励金额为1 000元,所以先寻找期望为
1 000元的可能方案.对于面值由800元和200元组成的情况,如果选择(200,200,200,800)的方案,因为1 000元是面值之和的最大值,所以期望不可能为1 000元;如果选择(800,800,800,200)的方案,因为1 000元是面值之和的最小值,所以期望不可能为1 000元;因此可能的方案是(800,800,200,200),记为方案一.
对于面值600元和400元的情况,同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,所以可能的方案是(400,400,600,600),记为方案二.(共15张PPT)
专题四 概率与统计
领航 备考路径
新课标核心考点 2020年 2021年 2022年 2023年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.古典概型、排列组合 第3题 第6题 第5题 第5题 第13题 第3题
2.二项式定理 第13题
3.正态分布、相互独立 第8题 第6题 第13题
4.统计图表信息、样本数字特征 第9题 第9题 第9题 第19题 第9题 第19题
5.统计案例 第19题 第19题 第20题
6.概率分布列、期望、方差 第18题 第21题 第19题 第21题 第12题
通览 主干知识
1.抽样方法
(1)对于简单随机抽样,从容量为N的总体中抽取容量为n(1≤n(2)分层随机抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本数量.
名师点析简单随机抽样、分层随机抽样都是等概率抽样,体现了抽样的公平性,但又各有其特点和适用范围.
等可能性,公平性
2.统计中的五个数据特征
(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.
(2)中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(5)百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
名师点析从频率分布直方图中得出有关数据的方法
3.数据的统计相关性
(1)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.
名师点析根据经验回归方程进行预报,得到的仅是一个预测值,而不是真实发生的值.
4.独立性检验
对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其2×2列联表是:
变量 y1 y2 合计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合计 a+c b+d n
随机变量
指的是对目标事件B有贡献的全部原因
误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.
2.二项分布的条件是独立性与重复性.
7.离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)pi≥0(i=1,2,…,n);
(2)p1+p2+…+pn=1.
2.期望公式
名师点析方差和标准差都是描述随机变量的离散程度的量,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
9.期望与方差的性质
(1)离散型随机变量期望的性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②若X~B(n,p),则E(X)=np;
③若X服从两点分布,则E(X)=p.
(2)离散型随机变量方差的性质
①D(aX+b)=a2D(X);
②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
10.正态分布
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.9973.
注意是σ2,不是σ
名师点析利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题是常见考法,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(共25张PPT)
培优拓展(六) 统计图表创新题中的数据分析素养
图表信息题是题设条件或结论中包含有图表的试题.用图表形式提供信息与以往通过单一文字提供信息比较,往往有直观、信息量大、数量之间关系明确等优点,成为近年命题的热点.一般以真实的生活实例为情境命题,如国家统计局公布的一些统计数据等,对考生读图、识图及数据处理的能力提出了较高的要求.解答这类试题,需要仔细观察,挖掘图表所含的信息,并对所得到的信息进行分类、合成、提取、加工,最终求得问题的答案.
高中数学除了最常见的频率分布直方图外,常见的统计图表还有扇形图(饼图)、条形图、折线图、雷达图等.
类型1 扇形图(饼图)
例1(多选题)(2023湖北武汉二模)某市2022年经过招商引资后,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的经济收入构成比例,得到如下扇形图:
招商引资前经济收入构成比例
招商引资后经济收入构成比例
则下列结论正确的是( )
A.招商引资后,工资净收入较前一年增加
B.招商引资后,转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
AD
增分技巧扇形图,又称扇形统计图,它用整个圆表示总数,用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数,通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
类型2 条形图
例2(2023广东湛江二模)现有A,B两个旅行社,统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据,并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的条形图,如图所示.假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元.
(1)通过计算,比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大;
(2)若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社,并都从这四个景点中选择一个去旅游,以这240人次去漓江的频率为概率,求甲、乙至少有一人去漓江的概率.
解 (1)A旅行社240人次的消费总额为
20×200+40×600+60×1000+120×1 200=232 000元,
B旅行社240人次的消费总额为
10×200+50×600+70×1 000+110×1 200=234 000元,
因为234 000>232 000,所以B旅行社240人次的消费总额更大.
误区警示条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形.条形图可以横置或纵置,纵置时也称为柱形图.要注意区分柱形图与频率分布直方图,不要混为一谈.
类型3 折线图
例3(多选题)近年来,我国人口老龄化持续加剧,为改善人口结构,保障国民经济可持续发展,国家出台了一系列政策,如2016年起实施全面两孩生育政策,2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图,下列结论正确的是
( )
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A.2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B.2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C.2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
AC
解析 对于A,由折线图可知,2010至2022年每年新生儿数量的总和大于8×
1 600+2×1 400+1 200+1 000+800=18 600,18 600÷13≈1 431,可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1 400万,故A正确;对于B,由图可知共有13个数据,因为13×25%=3.25,所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据,由折线图可知,第4个数据为2019年新生儿的数量,其值大于1 400万,故B错误;对于C,由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势,故C正确;对于D,由折线图可知,2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小,所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差,故D错误.故选AC.
增分技巧折线图可以显示随时间(根据常用比例设置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.
类型4 雷达图
例4(多选题)(2023山东潍坊模拟)十项全能是田径运动中全能项目的一种,是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的,总分多者为优胜者.如图,这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图,则下列说法正确的是
( )
A.在400米跑项目中,甲的得分比乙的得分低
B.在跳高和标枪项目中,甲、乙水平相当
C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡
D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
BD
解析 由雷达图可知,400米跑项目中,甲的得分比乙的得分高,故A错误;在跳高和标枪项目中,甲、乙得分一样,即甲、乙水平相当,故B正确;甲各项得分的波动较大,乙的各项得分均在区间(600,800]上,波动较小,故C错误;甲的各项得分最高为1 000,最低介于400与500之间,甲的极差大于500,乙的各项得分的极差小于200,故D正确.故选BD.
增分技巧雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法.轴的相对位置和角度通常是无信息的,它相当于平行坐标图,轴径向排列.
对点训练
(1)(2022全国甲,理2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
B
(2)(多选题)(2023江苏南京、盐城一模)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初,近年来发展迅速,连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则( )
2017~2022年我国新能源汽车年产量(单位:万辆)
2017~2022年我国新能源汽车占比(单位:%)
A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4
C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆
D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量
√
√
√
解析 对于A,由图可知,从2018年到2019年,我国新能源汽车年产量在下降,故A错误;
对于B,2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8-79.4=626.4,故B正确;
所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量,故D正确.
故选BCD.
(3)(多选题)(2023山东聊城二模)某短视频平台以讲故事、赞家乡、聊美食、展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活,吸引了众多粉丝,该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地,从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中,随机选取300人进行调查,其中青年人、中年人、其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示,各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示,则下列说法正确的有( )
图1
图2
A.该平台女性主播占比的估计值为0.4
B.从所调查的主播中,随机抽取一位参加短视频剪辑培训,则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C.按年龄段把所调查的主播分为三层,用分层随机抽样的方法抽取20名主播担当平台监管,则中年主播应抽取6名
D.从所调查的主播中,随机选取一位作为幸运主播,则该幸运主播是青年人的条件下,又是女性的概率为0.6
√
√
对于D,从所调查的主播中,随机选取一位作为幸运主播,设幸运主播是青年人为事件A,幸运主播是女性主播为事件B,(共13张PPT)
培优拓展(七) 非线性回归问题
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的回归关系,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先选择函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.
例题(2023福建质检)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
(1)根据散点图判断,y=bx+a与y=cln(x-2012)+d哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并根据表中数据建立经验回归方程,由此预测2023年该机场飞往A地航班的放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6.若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值,且2023年该机场飞往B地及其他地区(不包含A,B两地)航班放行准点率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:
①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率;
②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
解 (1)由散点图判断,y=cln(x-2 012)+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令t=ln(x-2 012),先建立y关于t的经验回归方程.
(2)设事件A1=“该航班飞往A地”,事件A2=“该航班飞往B地”,事件A3=“该航班飞往其他地区”,事件C=“该航班准点放行”,
则P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,
P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75.
①由全概率公式得,
P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)·P(C|A3)
=0.2×0.84+0.2×0.8+0.6×0.75=0.778,
所以该航班准点放行的概率约为0.778.
增分技巧非线性经验回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图(或观察题目中已经给出的散点图);
(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;
(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程;
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性经验回归方程.
对点训练
(2023山西临汾二模)一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表所示:
样本号i 1 2 3 4 5 6 7
温度xi/℃ 21 23 25 27 29 32 35
产卵数yi/个 7 11 21 24 66 115 325
(1)画出散点图,根据散点图判断y=c+dx与y=aebx哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程.
附:
解 (1)散点图如图所示,
根据散点图可以判断,y=aebx适宜作为产卵数y关于温度x的经验回归方程类型.(共43张PPT)
高考小题突破6 直线与圆
考点一 直线的方程及其应用
例1(1)(2023安徽黄山二模)“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5 =0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 ∵直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行,
∴a×(a-3)-1×4=0,解得a=4或a=-1.
当a=4时,两直线分别为4x+y+4=0,4x+y+9=0,两直线平行,符合题意;
当a=-1时,两直线分别为-x+y-1=0,4x-4y+4=0,即x-y+1=0,x-y+1=0,
此时直线重合,不符合题意.
综上所述,a=4.故“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行”的充要条件.
(2)(2023浙江湖州模拟)数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B(2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程是( )
A.x-y+1=0 B.x-y+3=0
C.x+y-5=0 D.3x+y-9=0
C
(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1), 为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为____________________.
延伸探究1
若本例(3)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
延伸探究2
若将本例(3)中的点B坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.
解 设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,
直线PB的斜率kBP=-1,当直线l由PB变化到PA的位置时,它的斜率的取值范围是[-1,1].
增分技巧1.求直线方程的两种方法
2.两直线的位置关系问题的解题策略
求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.
对点训练1
(1)(2023上海静安二模)设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是( )
A.11x+2y-22=0 B.11x+y+22=0
C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0
A
(2)(2023上海静安一模)若直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,则这两条直线间的距离是__________.
解析 由直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,可知m-2×2=0,即m=4,
故直线2x+my+10=0为2x+4y+10=0,即x+2y+5=0.
故这两条直线间的距离为
考点二 圆的方程
例2(1)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=2
D
(2)(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为___________________.
(x-2)2+(y-3)2=13
增分技巧求圆的方程的两种方法
几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程
代数法 用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,进而求得圆的方程
对点训练2
(2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________________.
(x-1)2+(y+1)2=5
即圆心M的坐标为(1,-1).
设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),
故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
考点三 直线与圆的位置关系
考向1 切线问题
例3(多选题)(2023湖北3月调研)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y+2=0,P为直线l上的动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B,则下列结论正确的是( )
A.当∠APB最大时,|PA|=
B.当∠APB最大时,直线AB的方程为x+y=0
C.四边形MAPB面积的最大值为8
D.四边形MAPB面积的最小值为4
BD
解析 如图,由圆的几何性质可得MA⊥PA,MB⊥PB.
因为PA,PB均为圆M的切线,所以|PA|=|PB|.
因为|MA|=|MB|,|MP|=|MP|,
所以△PAM≌△PBM,
所以S四边形MAPB=2S△PAM=|PA||AM|=2|PA|.
因为|MP|无最大值,即|PA|无最大值,所以四边形MAPB面积无最大值,故C错误.
故当|MP|最小时,∠APM最大,此时∠APB最大,此时|PA|=2,故A错误.
由上可知,当∠APB最大时,|PA|=|PB|=|MA|=|MB|=2且∠PAM=90°,
故四边形MAPB为正方形,且有MP⊥l,则MP的方程为y=x,
由正方形的几何性质可知,直线AB过线段MP的中点O(0,0),
此时直线AB的方程为y=-x,即x+y=0,故B正确.
故选BD.
增分技巧直线与圆相切问题的解题策略
(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.
(2)过圆外一点求解切线段长时,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
对点训练3
(1)(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0), B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
ACD
(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:__________.
x=-1
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.
设点O(0,0),O1(3,4),
由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
考向2 弦长问题
例4(1)(2023北京海淀一模)已知直线y+1=m(x-2)与圆(x-1)2+(y-1)2=9相交于M,N两点,则|MN|的最小值为( )
C
(2)已知直线3x+4y-a=0(a>0)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,若|AB|=2,则a=( )
B
增分技巧求解圆的弦长的三种方法
对点训练4
(2022天津,12)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.
2
考向3 直线与圆的位置关系
例5(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为__________.
对点训练5
(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
ABD
考点四 圆与圆的位置关系
例6(多选题)(2023湖南名校5月适应性测试)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:
(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是( )
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
BD
增分技巧几何法判断圆与圆的位置关系
设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:
(1)d>r1+r2 两圆外离;
(2)d=r1+r2 两圆外切;
(3)|r1-r2|(4)d=|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内切;
(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内含.
对点训练6
(多选题)(2023湖南常德一模)已知圆C:(x-a)2+y2=a2(a>0)与圆M:x2+(y-4)2 =4,P,Q分别为圆C和圆M上的动点,下列说法正确的是( )
A.过点(2,1)作圆M的切线有且仅有一条
B.不存在实数a,使得圆C和圆M恰有一条公切线
C.若圆C和圆M恰有3条公切线,则a=3
D.若|PQ|的最小值为1,则a=1
BC(共32张PPT)
高考小题突破7 圆锥曲线的方程与性质
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
例1(1)(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
B
解析 (1)设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.
由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,
所以xA+1=2,即xA=1,
(2)(2023广东揭阳模拟)已知A(0,4),双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线左支上一点,则|PA|+|PF2|的最小值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
C
B
解析 由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点.
增分技巧
应用圆锥曲线定义的技巧 对于椭圆、双曲线,如果涉及曲线上的点与焦点的距离,一般要利用定义进行转化.对于抛物线,如果涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化
求圆锥曲线方程的方法 先确定曲线类型,然后利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p
对点训练1
(1)(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
D
解析 因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在抛物线C上,
所以点M到准线x=-2的距离为|MF|.
又点M到直线x=-3的距离为5,
所以|MF|+1=5,故|MF|=4.
(2)(2023山东潍坊二模)如图,菱形架ABCD是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆l上滑动;另一根带滑槽的直杆DH长度为4,且一端记为H,另一端用铰链连接在D处,上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H,B固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD,则点P到点B距离的最大值为__________.
3
解析 如图,连接BD,PB,BH,因为四边形ABCD为菱形,则AC为线段BD的垂直平分线,故|PB|=|PD|,所以|PH|+|PB|=|PH|+|PD|=|DH|=4>|BH|,
故点P的轨迹为以B,H为焦点的椭圆,可得2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以|PB|的最大值为a+c=3.
考点二 圆锥曲线的几何性质
考向1 椭圆、双曲线的离心率问题
D
C
增分技巧求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a,c,直接利用公式 求解
方程法 根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式
(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)
对点训练2
C
考向2 圆锥曲线的几何性质
例3(1)(2023山东青岛一模)已知O为坐标原点,在抛物线y2=2px(p>0)上存在两点E,F,使得△OEF是边长为4的正三角形,则p=__________.
解析 根据抛物线的对称性,因为△OEF为等边三角形,
2
增分技巧求解与圆锥曲线的几何性质有关问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征,主要考虑用图形的几何性质求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最值
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
考向1 弦长问题
13
∴|AF1|=|F1F2|,∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,连接EF2,DF2,
则四边形ADF2E为轴对称图形,∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
对点训练3
考向2 中点弦问题
例5(2022新高考Ⅱ,16)已知直线l与椭圆 在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则直线l的方程为______________.
增分技巧处理中点弦问题常用的求解方法
对点训练4
(2023全国乙,理11)设A,B为双曲线 两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
D(共77张PPT)
解答题专项 圆锥曲线的综合问题
增分1 圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
考点一 最值问题
例1(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
增分技巧目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
对点训练1
考点二 范围问题
例2(2023辽宁大连三模)已知圆F2:(x-1)2+y2=16,定点F1(-1,0),M是圆F2上的一动点,线段F1M的垂直平分线交半径F2M于点P.
(1)求点P的轨迹Q的方程;
(2)若过F1,F2的直线l1,l2分别交轨迹Q于点A,C和B,D,且直线l1,l2的斜率之积为 ,求四边形ABCD面积的取值范围.
解 (1)因为线段F1M的垂直平分线交半径F2M于点P,所以|PM|=|PF1|,
所以|PF1|+|PF2|=|MF2|=4,|F1F2|=2<4,
所以点P的轨迹为椭圆,其长轴长为4,焦距为2,
所以点P的轨迹Q的方程为
增分技巧圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新的参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
对点训练2
(2023广东佛山二模)双曲线C: (a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程;
(2)M,N是双曲线C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
考点三 求值与证明问题
考向1 求值问题
即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.
∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,
此时直线PQ过点A(2,1),舍去,
∴k=-1,即直线l的斜率为-1. 6分
【教师讲评】1.点A在双曲线上→求a→kAP+kAQ=0→直线l的斜率.
对点训练3
考向2 证明问题
增分技巧解决证明问题的方法与步骤
解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
常用的证明方法有:
对点训练4
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.
增分2 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
考点一 定点问题
增分技巧解圆锥曲线中定点问题的常用方法
(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明.
(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b来证明.
对点训练1
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上.
考点二 定值问题
(1)求C的方程;
(2)直线l与坐标轴不垂直,且不过点P及点Q,设l与C交于A,B两点,点B关于原点的对称点为D,若PA⊥PD,证明:直线l的斜率为定值.
增分技巧参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤
对点训练2
考点三 探索性问题
例3(2023广东深圳一模)已知双曲线E: 与直线l:y=kx-3相交于A,B两点,M为线段AB的中点.
(1)当k变化时,求点M的轨迹方程.
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C,D两点,问:是否存在实数k,使得A,B是线段CD的两个三等分点 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
增分技巧有关存在性问题的求解策略
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).
对点训练3
(2023辽宁沈阳二中模拟)如图,小明同学先把一根直尺固定在画板上,把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿,再取一根细绳,它的长度与另一直角边相等,让细绳的一端固定在三角板的顶点A处,另一端固定在画板上点F处,用铅笔尖扣紧绳子,让细绳紧贴住三角板的直角边,然后将三角板沿着直尺上下滑动,这时笔尖在平面上留下轨迹C.已知细绳长度为3cm,经测量,当笔尖运动到点P处时,∠FAP=30°,∠AFP=90°.设直尺边沿所在直线为a,以过点F且垂直于直尺的直线为x轴,以过点F且垂直于直线a的垂线段的中垂线为y轴,以1cm为单位长度,建立平面直角坐标系.
(1)求C的方程.
(2)过点D(0,-3)且斜率为k的直线l与C交于M,N两点,k的取值范围为(0,2),探究:是否存在λ,使得 若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.
解 (1)依题意,笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等,
因此笔尖留下的轨迹为以F为焦点,a为准线的抛物线,
设其方程为y2=2px(p>0),(共14张PPT)
专题五 解析几何
领航 备考路径
新课标核心考点 2020年 2021年 2022年 2023年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.直线与圆 第11题 第11题 第14题 第15题 第6题 第15题
2.圆锥曲线的定义与方程 第9题 第13题 第10题 第14题 第5题 第14题 第3题 第16题 第5题 第16题
3.直线与椭圆的综合问题 第22题 第21题 第20题 第16题 第5题
4.直线与双曲线的综合问题 第21题 第21题 第21题 第21题
5.直线与抛物线的综合问题 第11题 第10题 第22题 第10题
通览 主干知识
1.两直线的位置关系和距离公式
名师点析1.求解直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0 (A2,B2不同时为0)平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除直线l1,l2重合的可能性.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
2.圆的定义与方程
3.圆锥曲线
知识点 内容
定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为点M到准线的距离)
若点F在准线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示1.在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二个条件但不满足第一个条件,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,如求交点、弦长、相交弦中点、相交弦斜率、对称或存在性问题,都应在“Δ>0”的条件下进行.(共12张PPT)
培优拓展(八) 隐形圆问题
有些数学问题,题设没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目条件中,需要我们通过分析、转化,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用圆的知识来求解,我们称这类问题为隐形圆问题,是近年高考题和各地模拟题命题的热点.
类型1 利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆
例1(2020全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
D
增分技巧如果一个四边形的对角互补,那么它就一定有外接圆,特别地,如果一组对角为直角,则外接圆的直径即直角所对的那条对角线.
类型2 由圆周角的性质确定隐形圆
例2(2023江苏常州模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2,A(-1,0),B(1,0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则正数r可以是__________.(只要写出一个符合条件的r即可)
5
解析 因为点A(-1,0),B(1,0),而点P满足∠APB=90°,所以点P的轨迹是以线段AB为直径的圆O(除点A,B外),圆O:x2+y2=1(y≠0),半径r1=1.又点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,圆C的圆心C(3,4),半径为r,|OC|= =5,依题意,圆O与圆C有公共点,所以|r-r1|≤|OC|≤r+r1,即|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.
增分技巧利用圆的性质、圆周角为直角即可得到:若PA⊥PB或∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆(除点A,B外).注意有时候轨迹中要删除不满足条件的点.
类型3 阿波罗尼斯圆
例3(多选题)(2023湖南娄底模拟)阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0,且λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),点P满足 .设点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是( )
A.曲线C的方程为(x+4)2+y2=16
B.当A,B,P三点不共线时,则∠APO=∠BPO
C.在曲线C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
D.若D(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4
ABD
增分技巧在平面上给定相异的两点A,B,设点P与点A,B在同一平面上,且满足|PA|=λ|PB|,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是一个圆.这是古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中证明的一个命题,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.