1
2023-2024 学年度上学期第二次月考 7 解：函数 = 单调递增，∵ = +
1 = 1 = ，∴函数 = 1为奇
= ( 2高一数学答案 函数， 2 ) = (
2
2 ) = (
9 ) 9 9 92 ，∵ 6 > ，∴ 26 > 2 ，∴ ( 2 ) < ( 6)，9 9 2 2 2 2 2
9
一.选择题（每小题 5 分，共 12 题，共 60 分） ∴ > ， 2 > 30.5， (
9
2 ) > (30.5)，∴ > ．∴ > > ．故选 D．2 2
1 2 3 4 5 6 8.解：由题意可得 ， ， 分别为方程2
= ，log2 = ，log2 = 2的根，在同一直角坐标系
中作出 = 2 ， = log ， = 22 ， = 的图象，A B C C B A
7 8 9 10 11 12
D D BD ACD BCD AD
二.填空题（每小题 5 分，共 4题，共 20 分）
13.[ 1,0] 14. [2, + ∞) 15. 3, 2, 1,0 16.②③④
由 ， ， 在 轴上的位置可知 < < ，故选项 C 错误；
详解： 对于 ，因为 = 2 和 = log2 互为反函数，且关于直线 = 对称，
1.解： = ∩ = ， ∩ = 得 ，故选 A．
故 = 与 = 2 的交点和 = 与 = log2 的交点关于原点对称，所以 + = 0，故 A 错误；
2.解：由 2 2 3 0，解得 1或 3，所以函数的定义域为( ∞, 1] ∪ [3, + ∞)．
对于 ，因为函数 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ，的零点分别为 ， ，所以2 = ，log2 = ，
令 = 2 2 3，则函数 ( ) = 2 2 3是由 = 和 = 2 2 3复合而成，
故2 + log2 = + = 0，故 B 错误;
( ) = 在定义域上单调递增，而函数 = 2 2 3在[3, +∞)上是增函数，
对于 ，因为 ( ) = 2 + log2 的零点为 ，所以 2 = log2 ，由以上选项分析可知2 = ，log2 =
根据复合函数单调性可知，函数 = 2 2 3的单调递增区间为[3, + ∞)．故选 B．
， + = 0，所以 2 = log2 ，2 = = = log2 ，又因为 < ， = log2 为增函数，所以
3 3 3
3.解：因为扇形面积为 ，半径是 1，所以扇形的弧长为 ，所以扇形的圆心角为 ．故选：C．
8 4 4 log2 < log2 ，即 2 < 2 ，故 D正确．故选：D．
4.解：∵函数 ( )的定义域为{ | ≠± 1}，且 ( )满足 ( ) = ( )，∴ ( )为奇函数，当 ∈ (0,1) 1 19.解：对于选项 B：设幂函数为 = ，幂函数的图象经过点( , 2)，则函数的解析式为 2 = ( ) ，
8 8
时， ( ) > 0，故排除 ，当 > 1时， ( ) < 0，故排除 ，故选 C． 1
解得 = 1，整理得 = 13，故 B 正确；对于 A：比如 = ，图象不过点(0,0)，故 A 错误；
3
5.解： > 0， > 0，且满足 = + ≤ ( + )2，可得 + ≥ 4，当且仅当 = = 2 取得等号，
2
对于 ：对于 = ，无奇偶性，故 C 错误；对于 ：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故 D
则 + 的最小值为 4．故选：B．
正确；故选：BD．
6.解： = 和 = 都是奇函数， + 也是奇函数，由 ( ) = + + 2 在(0, + ∞)
10.解：∵ , 终边相同，所以 = + × 360 , ∈ ，即 = × 360 , ∈ ，故 A 正
有最大值 8，∴ + 在(0, + ∞)有最大值 6，∴ + 在( ∞, 0)有最小值 6，∴ ( ) =
确;由180 + 与 是终边关于原点对称的两个角，所以角 和角 的终边关于原点对称，
+ + 2 在( ∞, 0)有最小值 4，故选 A．
必有角 = 180 + + × 360 , ∈ ，即 = × 360 + 180°, ∈ ， B 错误;
第二次月考 高一数学试题答案 第 1页 共 3 页
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由 与 2是终边关于 轴对称的两个角，所以角 和角 的终边关于 轴对称，必有角 = + × 16.解：函数 = 2 , ≤ 0| |, > 0 的图象如右图所示，则 x1 x2 2，故①错误；2
360 , ∈ ，即 + = × 360 , ∈ ， C 正确;由180 与 是终边关于 轴对称的两个角，∴
由 f (x3 ) f (x4 )得 | log x | | log x |， log 2 3 2 4 2
x3 log2 x4 ，则 log2 (x3x4 ) 0， x3x4 1，故②正确；
与180 的终边相同，即 = 360 + (180 ) , ∈ ' ∴ + = 360 + 180 ， ∈ ，故 D
x x x x 2 x 1 1 1 x x 2 ， 由 log x 1 得 x ， 则 x 1 ，
正确．故选 ACD． 1 2 3 4 3 4 3 x 2 2 2 33
∵ , 2 1 1 2 x x x x x
1 1
11.解： 对任意两个不相等的正数 1 2，都有 > 0，设 ( ) = ， > 0,则 ( 1) 1 2 3 4 3 2 (0, ) ， 故 ③ 正 确 ； 又 x
2
x 2 1
x2x3x4 x1x2 x1( 2 x1) x1 2x1 ，
2 1 3
( ) = 2 1 1 2 2 1 1 2 22 ，当0 < 2 1 1 < 2时， > 0 ，即 ( 1) > ( 2)，函数 ( ) = 在(0, + x1 ( 2, 1)， x1x2x3x4 x 2x (0,1)，故④正确．2 1 1 1
∞)上单调递减，且函数 为偶函数.即可判断 B，C，D 正确，故选：BCD．
12.解：根据定义作出函数 ( )的图象如图：(实线部分)，
三.解答题（共 6 题，共 70 分）
27 2 1 2 1
17.解：(1)( ) 3 + (0.002) 2 10( 5 2) 1 + ( 2 3)0 = ( 8 ) + ( 1 ) 103 2 + 1
8 27 500 5 2
= 4
1
+ 5002 10( 5 + 2) + 1 = 4 + 10 5 10 5 20 + 1 = 167． 5'
(1,1) (3,3) ( 3 , 3 ) ( ) = 3 | 3|, ≤ 1或 ≥ 3 ( ) = 3
9 9 9
其中 ， ， 即 ，当 时，当 ≥ 3或 ≤ 1
2 4 2 3 + 3,1 < < 3 4 (2) ∵ ， ， 为正实数， = = = > 0， ≠ 1．∴ = ， = = ， ，
时，由 3 | 3| = 3 9，得| 3| = ，即 = 3 或
21 7
= ，当 ( ) = 时，当 1 < < 3 时，由 24 4 4 4 4 3 +
∵ 1 + 1 + 1 = 0 + + lg( )
，
∴ = = 0
，∴ = 1． 10
'
3 = 7 5 7 17，得
4
= ，当 ≥ 3或 ≤ 1时，由 3 | 3| = ，得
2 4
= ，由图象知若 ( )在区间[ , ]
4
18.解：(1)当 = 4 时，方程 2 3 + = 0 的根的判别式 = ( 3)2 4 × 1 × 4 < 0，所以
3 7
上的值域为[ , ] = 5 3 = 7 = 5 3 = 1 = 21 17，又 ， ， = 1，则区间[ , ]4 4 2 4 4 2 2 4 4 = ． 1'
2 '
长度的取值范围为[1, 7 ]，故选：AD． 又 = { ∈ |( + 1)( + 3 4) = 0} = { 4, 1,1}，故 . 2
4
2 ≤ 2 ≤ 2 由已知，得 应是一个非空集合，且是 的一个真子集，用列举法可得这样的集合 共有 6个，分别
13.解： 1 2 ≥ 0 ，解得 1 ≤ ≤ 0，则 的定义域为[ 1,0]．
为{ 4}，{ 1}，{1}，{ 4, 1}，{ 4,1}，{ 1,1}． 5'
14.解：命题 的否定 ∈ , 2 + 1 > 0为真命题，当 = 0 时恒成立，当 ≠ 0时，可得 > 0，
(2)当 = 时， 是 的一个子集，此时对于方程 2 3 + = 0，有△= 9 4 < 0，所以
故 ≥ 0.命题 的否命题 ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0为真命题，所以 = 2 4 ≥ 0，解得 ≤ 2
> 9．
4 7
'
或 ≥ 2，故范围是[2, + ∞).
当 ≠ 时，因为 = { 4, 1,1}，所以当 1 ∈ 时，( 1)2 3 × ( 1) + = 0，即 = 4，此2 3 1
15.解： = +1 = (1
7
+1 )，又 1 + 2 +1 ∈ (1, +∞)，则 ∈ ( 3,
1 ),则函数 = [ ]
1+2 2 1+2 2
时 = { | 2 3 4 = 0} = {4, 1}，因为 4 ，所以 不是 的子集; 9'
的值域为 3, 2, 1,0 ．
第二次月考 高一数学试题答案 第 2页 共 3 页
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当 4 ∈ 时， = {7, 4}，也不是 的子集; 10' (2) ∵不等式 ( ) ( ) ≤ 0，即 ( ) ≤ ( ) 1对任意实数 ∈ [ , 2]恒成立，∴ ( ) ≤ ( ) '
2 min
． 6
当 1 ∈ 时， = {1,2}，也不是 的子集． 11'
( ) = 4 2 +1 3 = (2 )2 2 × 2 3 = (2 1)2 4，令 = 2 ，∵ ∈ [ 1 , 2]， ，
9 2
∴ ∈ [ 2, 4]
综上，满足条件的 的取值范围是{ | > }. 12'
4
设 ( ) = ( 1)2 4， ∈ [ 2, 4]，当 = 2时， ( )取得最小值 1 2 2，即 ( )min = 1 2 2，
19.解：(1)当 = 1, = 0时， ( ) = 2 8，令 ( ) = ，即 2 8 = ，解得 = 2或 = 4，
9'
所以 ( )的不动点为 2或 4． 5'
∴ ( ) ≤ 1 2 2，即(log2 1)2 4 ≤ 1 2 2，∴ 1 2 ≤ log2 1 ≤ 2 1，即 2 2 ≤
(2)令 ( ) = ，即 2 + ( 1) + 8 = ，则 2 + ( 2) + 8 = 0， ≠ 0， 6'
log2 ≤ 2，解得22 2 ≤ ≤ 2 2，∴实数 的取值范围为[22 2, 2 2]. 12'
∈ (1,3) = 8当 时， '1 2 ， 7 22.解：(1) ∵ ( ) = 是定义在 上的奇函数，∴ (0) = 0，得 = 1， 1'经检验符合要
0 < 1 < 2 = =
8 = =
2
，又 2 ，于是得 ，则 + 8， 9' 求， 2
' ∴ ( )在 上为增函数． 3'
1 2 1 1 1 1
2 (2) (2 1) + ( 5) > 0， (2 1) > ( 5)，因为 ( )是奇函数， (2 1) > (5 )，
令 = 1，则 0 < < 2， = + 1，所以 = +1 + 8 = + 1 + 10 ≥ 2 1 + 10 = 12， 11'
4'
1
当且仅当 = ，即 = 1， = 2 时取等号，所以实数 的最小值为 12．
12
'
又因为 ( )是增函数，所以 2 1 > 5 ，解得 > 2，所以不等式的解集为{ | > 2}； 6'
= 32 3 1 3
= 16 3 32 (3)因为 1 = ，所以 = ，解得 = 2
1
或 = (舍)， 7' = 22 + 2 2 2 2
20.解:(1)若选 = :由题意，得 4 = 54，解得 3 ,所以 = ·(
3 ) ; 3' 2 2 2
= 3 2
2 2 = 2 2 2 2 2 2 + 2，令 = 2 2 ， = 2 2 为增函数，因为 ≥ 1，
= 38
若选 = 2 + + = 16：由 ，所以 15 , = 38 2 + 202所以 ； 6'16 + = 54 202 所以 ≥ 1 =
3
，令 = 2 2 + 2 = 2 + 2 2, ( ≥ 3 )，
15 15 2 2 9
'
=
15
3
当 ≥ ，则 = 时， ( )有最小值为 2 2 = 2，解得 = 2； 10'
(2)若用 = 32 ·( 3 ) 38 202，当 = 5 时， = 81，若用 = 2 + ，当 = 5 时， = 76.8， 2
3 2 15 15
3 3 17
32 3 ' 当 < 时，则 = 时， ( )有最小值为 3 = 2，解得 =
25 > 3，所以舍去．综上所述，
所以用模型 = ·( ) 更合适. 8 2 2 4 12 23 2
= 2． 12'
32 3 log 60令 ·( ) ≥ 640 3，即( 3 ) ≥ 60 = ( 3 ) 2 ，3 2 2 2
≥ lg60 1+lg2+lg3 1.78所以 lg3 = ≈ ≈ 9.89lg3 lg2 0.18 ， 11
'
2
所以“风眼蓝”覆盖面积达到 640 2时的最小月份是 10月． 12'
21.解：(1) ( ) = (log2 3)(log 2 22 + 1) = (log2 ) 2log2 3 = (log2 1) 4 ≥ 4，即 ( )
的值域为[ 4, + ∞). 5'
第二次月考 高一数学试题答案 第 3页 共 3 页
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2023-2024 学年度上学期第二次月考 7.已知函数 = ，若 = log26
2
， = log ， = 30.52 ，则 ， ， 的大小关系为 9
高一数学试题 ( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
本试卷满分 150 分，共 2 页。考试时间为 120 分钟。考试结束后，只交答题卡。
8.已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ， ( ) = 2 + log2 的零点分别为 ， ， ，下列各式正
第Ⅰ卷 （共 12 题，60 分）
确的是 ( )
一.单项选择题（本题共 8 小题，每题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
A. + > 0 B. 2 + log > 0 C. > D. 2 2 > 2
符合题目要求的）
二.多项选择题（本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
1.“ ∩ = ”是“ = ”的 ( )
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.下列说法正确的是 ( )
2.已知函数 ( ) = 2 2 3，则该函数的单调递增区间为 ( )
A. 所有幂函数的图象均过点(0,0)
A. ( ∞,1] B. [3, + ∞) C. ( ∞, 1] D. [1, + ∞)
1 1
3 1 B. 若幂函数的图象经过点
( , 2)，则解析式为 = 3
3.已知扇形面积为 ，半径是 ，则扇形的圆心角是 ( ) 8
8
C. 幂函数一定具有奇偶性
3 3
A. B. C. 3 D. 3
16 8 4 2
D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限
4.我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
10.下列四个结论中，正确的是 ( )
分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来
A. 角 和角 的终边重合，则 = × 360 , ∈ Z
3
琢磨函数的图象的特征，如函数 ( ) = 的图象大致是 ( )
1 2 B. 角 和角 的终边关于原点对称，则 + = × 360 + 180 , ∈ Z
C. 角 和角 的终边关于 轴对称，则 + = × 360 , ∈ Z
A. B. C. D. D. 角 和角 的终边关于 轴对称，则 + = × 360
+ 180 , ∈ Z
2 1 1 2
11.已知偶函数 的定义域为 ，对任意两个不相等的正数 1, 2，都有 > 0 ,则下列结2 1
5.已知 > 0， > 0，且满足 = + ，则 + 的最小值是 ( ) 论正确的是 ( )
A. 2 B. 4 C.3 D. 6 2A. 3 > 2 4 1B. > 2 C. 1 < 3 1 D.2 3 > 6
3 2 3
6.若 = 是奇函数，且函数 ( ) = + + 2 在(0, + ∞)有最大值 8，则函数 = 在 , ≤
12.定义 { , } = , > ，若函数 ( ) = {
2 3 + 3, | 3| + 3}，且 ( )在区间[ , ]
( ∞, 0)有 ( )
3 7
A.最小值 4 B.最大值 8 C. 最小值 8 D. 最小值 6 上的值域为[ , ]，则区间[ , ]长度可以是 ( )4 4
7 7 11
A. B. C. D. 1
4 2 4
第二次月考 高一数学试题 第 1页 共 2 页
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第Ⅱ卷 （共 10 题，90 分） 20.（12 分）
三.填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分） “凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜
13.已知函数 的定义域为[ 2,2]，则函数 = 2 + 1 2 的定义域为 ． 在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物．某市 2019年底为了净化某水库的水质，引
14.已知命题 : ∈ , 2 + 1 ≤ 0;命题 : ∈ , 2 + + 1 > 0.若 , 都是假命题，则实数 入“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年 1月底“凤眼蓝”覆盖面积为 16 ，
的取值范围是 ． 到了 4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为 54 ，“凤眼蓝”覆盖面积 (单位： )与月份 (单位：
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的 月)的关系有两个函数模型 = ( > 0 且 > 1)与 = 2 + ( > 0)可供选择．
“高斯函数”为：设 ∈ ,[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称为高斯函数，例如： 2.1 = 3， (1)分别求出两个函数模型的解析式；
2 3.1 = 3 3，已知函数 = ,则函数 = [ ]的值域为 ． (2)经测得 2020年 5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为 80 ，从上述两个函数模型中选择更合适的
1+2 +1
2 2 , ≤ 0 一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到 640 时的最小月份．(参考数据：lg2 ≈ 0.30，lg3 ≈ 0.48)
16.已知函数 = | |, > 0 ，若 x1 x2 x3 x4 ，且 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (x4 )，给出下2
1
列结论：① x1 x2 1，② x3x4 1，③ 0 x1 x2 x3 x4 ，④ 0 x1x2x3x4 1，其中所有正确命2
题的编号是 ． 21.（12 分）
四.解答题（本题共 6 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 已知函数 ( ) = log2 log2(2 )8 ，函数 ( ) = 4
2 +1 3．
17.（10 分）
(1)求函数 ( )的值域；
2 1
(1) ( 27求值 ) 3 + (0.002) 2 10( 5 2) 1 + ( 2 3)0；
8 (2)若不等式 ( ) ( ) ≤ 0对任意实数 ∈ [ 1 , 2]恒成立，求实数 的取值范围．
2
1 1 1
(2)已知 ， ， 为正实数， = = ， + + = 0 ，求 的值．
18.（12 分）
已知集合 = { ∈ | 2 3 + = 0}， = { ∈ |( + 1)( 2 + 3 4) = 0}． 22.（12 分）
(1)若 = 4，存在集合 使得 ，求这样的集合 ； 设函数 ( ) = ( > 1)是定义在 上的奇函数．
(2)若集合 是集合 的一个子集，求 的取值范围． (1)求 的值，并判断 ( )的单调性（不需证明）；
19.（12 分） (2)求不等式 (2 1) + ( 5) > 0的解集；
定义：对于定义域为 的函数 ( )，若 0 ∈ ，有 0 = 0，则称 0为 ( )的不动点．己知函数 (3)若 (1) = 3，且 ( ) = 2 + 2 2 ( )在[1, + ∞)上的最小值为 2，求 的值．
2
( ) = 2 + ( 1) + 8, ≠ 0．
(1)当 = 1, = 0 时，求函数 ( )的不动点；
(2)设 ∈ (1,3)，若 ( )有两个不动点为 1， 2，且 1 2 = 1，求实数 的最小值．
第二次月考 高一数学试题 第 2页 共 2 页
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