5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式（一） 学案

中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）
班级 姓名
学习目标
1．能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明。
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点　二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 2α＝ S2α余弦cos 2α＝ ＝ ＝ C2α正切tan 2α＝ T2α【即时训练】(1)设α是第四象限角，已知sinα＝－，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为(　　)A．－，，－ B．，， C．－，－， D．，－，－(2)下列各式中，值为的是(　　)A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
给角求值 例1、求下列各式的值：(1)； (2)； (3)cos4－sin4； (4)－.
给值求值 例2、已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
二倍角公式的运用 例3、(1)已知sin＝，则sin 2α的值为(　　)A．－ B． C．－ D．(2)已知sin＝，那么cos等于(　　)A．－ B．－ C． D．
思考题 思考题：化简(1)= .(2)＝ .
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下列各式中，一定成立的是(　　)
A．sin 8α＝2sin 4α·cos 4α B．1－sin2α＝(sin α－cos α)2
C．sin2α＝ D．tan 2α＝
2．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．－2
3．的值是(　　)
A．　　　 B．－ C． D．－
4．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
5．已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为(　　)
A． B． C． D．
6．若＝，则tan 2α＝(　　)
A．－　 　 B． C．－ D．
7．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． B． C．－ D．－
8．已知sin 2α＝，则cos2＝ .
9．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝ .
10．已知<α<π，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；(2)求cos的值．
二、综合训练题
11．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
12．化简：＋＝________.
13．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sinxcosx.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin2α.
三、能力提升题
14．tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝(　　)
A．1 B．－1
C. D．2
15．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则sin α＝ ，
α＋2β＝ .
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）
参考答案
1、答案　AC
2、答案　A　
解析　由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.
3、答案　A　
解析　原式＝＝＝＝.
4、答案　C　
解析　∵sin α＝2sincos＝2××＜0，cos α＝cos2－sin2＝－＜0，
∴α是第三象限的角．
5、答案　C
解析　tan 2β＝＝，tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，所以α＋2β＝.
6、答案　B　
解析　因为＝，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝＝＝.
7、答案　A　
解析　设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.
8、答案　　
解析　cos2＝＝＝＝.
9、答案　－　
解析　∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝－，
∴tan α＝－或tan α＝2.∵α在第二象限，∴tan α＝－.
10、解　(1)由题意得cos α＝－，所以tan α＝－，所以tan 2α＝＝＝.
(2)因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，
sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－.
所以cos＝cos 2α·cos ＋sin 2α·sin ＝×＋×＝－.
11、答案　C
解析　因为cos＝sin＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
12、答案　－tan 2θ
解析　原式＝＝＝－＝－tan 2θ.
13、[解析] (1)f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ，k∈Z，∴cos＝，
∴sin2α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.
14、答案　B
解析　原式＝·cos 10°·＝·cos 10°·
＝·cos 10°·＝－·＝－1.
15、答案　　π　
解析　由题意得
①2＋②2得cos β＝，cos α＝，
由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，
∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.
又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)