吉林省四平市2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学试题（含解析）

四平市2023-2024学年高一上学期12月第二次月考
数学试题
本试卷满分150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷（共12题，60分）
一．单项选择题（本题共8小题，每题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数，则该函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且满足，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
6．若是奇函数，且函数在有最大值8，则函数在有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
7．已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的零点分别为，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．所有幂函数的图象均过点
B．若幂函数的图象经过点，则解析式为
C．幂函数一定具有奇偶性
D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
10．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．角和角的终边重合，则
B．角和角的终边关于原点对称，则
C．角和角的终边关于轴对称，则
D．角和角的终边关于轴对称，则
11．已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A． B． C． D．1
第П卷（共10题，90分）
三．填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
14．已知命题；命题．若都是假命题，则实数的取值范围是______．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为______．
16．已知函数，若，且，给出下列结论：①，②，③，④，其中所有正确命题的编号是______．
四．解答题（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）求值；
（2）已知为正实数，，求的值．
18．（12分）
已知集合．
（1）若，存在集合使得，求这样的集合；
（2）若集合是集合的一个子集，求的取值范围．
19．（12分）
定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．己知函数．
（1）当时，求函数的不动点；
（2）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值．
20．（12分）
“凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物．某市2019年底为了净化某水库的水质，引入“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为，“凤眼蓝”覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型（且）与可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）经测得2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份．（参考数据：）
21．（12分）
已知函数，函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）
设函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，并判断的单调性（不需证明）；
（2）求不等式的解集；
（3）若，且在上的最小值为，求的值．
四平市2023-2024学年高一上学期12月第二次月考
数学答案
一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）
1 2 3 4 5 6
A B C C B A
7 8 9 10 11 12
D D BD ACD BCD AD
二．填空题（每小题5分，共4题，共20分）
13． 14． 15． 16．②③④
详解：
1．解：得，故选A．
2．解：由，解得或，所以函数的定义域为．令，则函数是由和复合而成，在定义域上单调递增，而函数在上是增函数，
根据复合函数单调性可知，函数的单调递增区间为．故选B．
3．解：因为扇形面积为，半径是1，所以扇形的弧长为，所以扇形的圆心角为．故选：C．
4．解：函数的定义域为，且满足为奇函数，当时，，故排除A，当时，，故排除BD，故选C．
5．解：，且满足，可得，当且仅当取得等号，则的最小值为4．故选：B．
6．解：和都是奇函数，也是奇函数，由在有最大值8，在有最大值6，在有最小值在有最小值，故选A．
7．解：函数单调递增，函数为奇函数，，．故选D．
8．解：由题意可得分别为方程的根，在同一直角坐标系中作出的图象，
由在轴上的位置可知，故选项C错误；
对于A，因为和互为反函数，且关于直线对称，
故与的交点和与的交点关于原点对称，所以，故A错误；对于B，因为函数，的零点分别为，所以，故，故B错误；
对于D，因为的零点为，所以，由以上选项分析可知，所以，又因为为增函数，所以，即，故D正确．故选：D．
9．解：对于选项B：设幂函数为，幂函数的图象经过点，则函数的解析式为，解得，整理得，故B正确；对于A：比如，图象不过点，故A错误；对于C：对于，无奇偶性，故C错误；对于D：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确；故选：BD．
10．解：终边相同，所以，即，故A正确；由与是终边关于原点对称的两个角，所以角和角的终边关于原点对称，必有角，即，B错误；
由与是终边关于轴对称的两个角，所以角和角的终边关于轴对称，必有角，即，C正确；由与是终边关于轴对称的两个角，与的终边相同，即，故D正确．故选ACD．
11．解：对任意两个不相等的正数，都有，设，则，当时，，即，函数在上单调递减，且函数为偶函数．即可判断B，C，D正确，故选：BCD．
12．解：根据定义作出函数的图象如图：（实线部分），
其中即，当时，当或时，由，得，即或，当时，当时，由，得，当或时，由，得，由图象知若在区间上的值域为，又，则区间长度的取值范围为，故选：AD．
13．解：，解得，则的定义域为．
14．解：命题的否定为真命题，当时恒成立，当时，可得，故．命题的否命题为真命题，所以，解得或，故范围是．
15．解：，又，则，则函数的值域为．
16．解：函数的图象如右图所示，则，故①错误；
由得，则，故②正确；，由得，则，，故③正确；又，，故④正确．
三．解答题（共6题，共70分）
17．解：（1）
．
（2）为正实数，，
．
18．解：（1）当时，方程的根的判别式，所以．
又，故．
由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为．
（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，有，所以．
当时，因为，所以当时，，即，此时，因为，所以不是的子集；
当时，，也不是的子集；
当时，，也不是的子集．
综上，满足条件的的取值范围是．
19．解：（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或4．
（2）令，即，则，
当时，，
，又，于是得，则，
令，则，所以，
当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12．
20．解：（1）若选：由题意，得，解得，所以；
若选由，所以，所以；
（2）若用，当时，，若用，当时，，所以用模型更合适．
令，即，
所以．
所以“凤眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份是10月．
21．解：（1），即的值域为．
（2）不等式，即对任意实数恒成立，．
，令，
设，当时，取得最小值，即，
，即，即，解得实数的取值范围为．
22．解：（1）是定义在上的奇函数，，得，经检验符合要求，在上为增函数．
（2），因为是奇函数，，
又因为是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为；
（3）因为，所以，解得或（舍），，令为增函数，因为，
所以，令，
当，则时，有最小值为，解得；
当时，则时，有最小值为，解得，所以舍去．综上所述，．