第十四章整式的乘法与因式分解（基础卷）2023-2024学年八年级上册人教版（含解析）

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第十四章整式的乘法与因式分解（基础卷）2023-2024学年八年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则x的取值有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．以下各式的计算中，结果为的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．计算： ．
10．的个位上的数字是 ．
11． ．
12．若有理数满足，则的值为 ．
13．若，则 ．
14．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．

15．如果的乘积中不含项，则为 ．
16．已知二次三项式是一个完全平方式，则 ．
三、解答题
17．若，用表示．
18．（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
19．若n满足，求的值．
20．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
．
像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
阅读以上材料，解决下列问题．
(1)分解因式：．
(2)当a为何值时，二次三项式取得最小值．
21．若（，，m，n都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)若，，用含x的代数式表示y．
22．（阅读题）阅读下列材料：
因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0．
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？
(2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？
(3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据，再利用幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，得到的关系即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，即，
∴
故选：B
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，此题的关键是熟练掌握相关运算性质．
2．A
【分析】先计算积的乘方、幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】分类讨论：当，当时，当时，带入原式即可求解．
【详解】解：∵，
∴当，即时，原式；
当时，原式；
当时，原式，
故x的取值有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状．
【详解】解析：∵，
∴，
∴．
∵a，b，c是的三边长，
∴，∴，
∴，
即的是等腰三角形．
【点睛】题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
5．B
【分析】根据图形列出代数式，利用完全平方公式计算即可．
【详解】解析：根据题意，得
这个长方形的面积为
故选B．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6．C
【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．
【详解】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解且分解正确，符合题意；
D、，原式因式分解错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和公式法分解因式，熟知因式分解的定义和方法是解题的额关键．
7．B
【分析】利用整式乘法一一验证即可．
【详解】解：A、，故计算错误；
B、，故计算正确；
C、，故计算错误；
D、，故计算错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握．
8．C
【分析】根据多项式除以单项式法则逐一判断即可．
【详解】解：A. ，原式计算错误，不合题意；
B. ，原式计算错误，不合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，原式计算错误，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．
【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键．
10．6
【分析】将3变形为，便可连续运用平方差公式计算，根据末尾是2，4，8，6四个一组循环，由即可得答案．
【详解】解：
…
．
∵，，，，，…，
∴的个位上的数字以2，4，8，6为一个循环．
∵，
∴的个位上的数字为6，即原式个位上的数字为6．
故答案为：6
【点睛】本题考查平方差公式的应用，正确把3变形为，整理出平方差公式的形式是解题关键．
11．/
【分析】平方差公式：，据此进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握公式是解题的关键．
12．2028
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，
所以：
．
故答案为：2028．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，利用整体代入进行降次是解题的关键．
13．4048
【分析】设，，则，，进而根据完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：设，，则，，
所以
．
故答案为：4048
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式以及换元思想是解题的关键．易错点拨：本题易因缺乏整体思想，受条件中数较大的千扰，导致无法选择正确的变形．
14．
【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果．
【详解】解：根据图形得，长方形的长为，宽为m，面积为，
当图形分为两个长方形时，总面积为，
∴可得等式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用图象计算单项式乘以多项式，结合图形求解是解题关键．
15．/0.2
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开再合并同类项，令项的系数为，求出的值即可．
【详解】解：原式，
，
不含项，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握不含某一项，就是先将其合并，再让这一项的系数等于求解．
16．或
【分析】根据完全平方公式的形式即可求解．
【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键．
17．
【详解】．将代入上式，原式．
【易错点分析】碰到这类题，不知道如何去解，不知道45可以分成．
18．（1）；（2）
【分析】本题考查了分解因式，
（1）先提取公因式3，2利用完全平方公式进行分解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可；
先提取公因式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算是解此题的关键．
【详解】解：（1）；
（2）．
19．
【分析】将，分别看作完全平方公式中的a和b，则问题转化为已知，求的值，挖掘已知还可以得出，因此可求．
【详解】解：设，，
则，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
20．(1)
(2)时，二次三项式取得最小值，最小值为1
【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵，
又，
∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握配方法，是解题的关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）利同底数幂的乘法逆运算法则可得出答案；
（2）利用幂的乘方的逆用可得结果．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
22．(1)若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0
(2)M能被整除
(3)
【分析】（1）根据题意和多项式有因式，说明多项式能被整除，当时，多项式的值为0；
（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当时，M的值为0，M与代数式之间的关系；
（3）根据上面得出的结论，当时，，再求出k的值即可．
【详解】（1）若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0．
（2）根据（1）可得，M能被整除．
（3）因为能整除，
所以当时，，
即，解得．
【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
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